Esercizio 92 sul moto in due dimensioni – Esercizi svolti – FISICA

Mattia si trova nel punto di coordinate $A(-5,0\:m\:;\:4,0\:m)$ e si muove verso il punto $B(1,0\:m\:;\: 2,0\:m)$ come indicato nella figura. L’angolo fra i due segmenti disegnati nella figura vale $90^\circ$ . Calcola la lunghezza del vettore spostamento. Calcola la distanza totale percorsa.

SVOLGIMENTO

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La differenza tra vettore spostamento e spostamento totale sta nel fatto che il primo è la distanza geometrica che c’è tra il punto A e il punto B, e pertanto la possiamo calcolare utilizzando il teorema di Pitagora nel seguente modo

$s=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}=\sqrt{(1\:m-(-5\:m))^2+(2\:m-4\:m)^2}\approx 6,3\:m$

Per calcolare lo spostamento complessivo dobbiamo invece determinare le lunghezze dei due spostamenti rossi e poi sommarle e per cui dobbiamo determinare la coordinata $x$ del vertice dell’angolo retto. Per fare questo ci sono diversi modi noi ne proponiamo uno formale e uno grafico. Per determinare la coordinata dal punto di vista grafico basta fare il disegno e osservare che tale coordinata è $x=-1$ , ovviamente questo metodo non possiamo considerarlo attendibile pertanto proponiamo anche un metodo geometrico. Osserviamo che trovare tale coordinata è uguale a determinare la $x$ in questo problema geometrico

In questo problema compaiono quattro triangoli rettangoli sui quali possiamo scrivere il teorema di Pitagora e ottenere (per semplicità non riportiamo le unità di misura)

$s_1^2+s_2^2=6^2+2^2=40$

$s_1^2=4^2+(6-x)^2=x^2-12x+52$

$s_2^2=x^2+2^2=x^2+4$

che sostituendo alla prima le altre due diventa

$x^2-6x+8=0$

questa equazione di secondo grado ha due soluzioni che sono $x_1=2$ e $x_2=4$ che rappresentano i due triangoli rettangoli di cateti rispettivamente $2\:m$ e $4\:m$ e viceversa. La nostra soluzione cercata è la prima, da cui risulta che la coordinata $x$ del punto cercato è $x=-1$ . Una volta osservato questo possiamo calcolare i due spostamenti $s_1$ e $s_2$ con il teorema di Pitagora e poi sommarli, da cui

$s_{tot}=s_1+s_2=\sqrt{(4\:m)^2+(4\:m)^2}+\sqrt{(2\:m)^2+(2\:m)^2}\approx 8,5\:m$

Brevi lezioni

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