Esercizio 89 sul moto uniformemente accelerato – Esercizi svolti – FISICA

In una gara sui $100\:m$ piani, un atleta accelera in modo uniforme per i primi $4,0\:secondi$ e poi mantiene la velocità raggiunta fino al traguardo. La corsa ha una durata complessiva di $10,50\:s$ . Calcola l’accelerazione del corridore nei primi $4,0\:s$ della corsa. Calcola in quanto tempo il corridore percorre i primi $50,0\:m$ . Scrivi la legge oraria del moto complessivo.

SVOLGIMENTO

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Immaginiamo la gara divisa in due parti completamente distinte tra di loro, la prima di durata $t_1=4,0\:s$ durante la quale l’atleta tiene un moto uniformemente accelerato. La seconda della durata di $t_2=10,50\:s-t_1=6,50\:s$ di moto rettilineo uniforme. Possiamo schematizzare il problema con il seguente disegno

Dal punto di vista matematico le incognite di questo problema sono quattro, ossia $s_1$ , $s_2$ , $a$ e $v$ , pertanto serviranno quattro equazioni per risolvere il problema. Tali equazioni dovranno essere trovate utilizzando le caratteristiche fisiche dei movimenti. Quello che sicuramente possiamo dire è che

$s_1+s_2=100\:m$

infatti il corridore percorre tutto il tragitto della gara. Inoltre sappiamo che il corridore nel primo tratto si muove di moto uniformemente accelerato con accelerazione $a$ , mentre nel secondo tratto si muove di moto rettilineo uniforme con velocità $v$ , pertanto le due leggi che descrivono $s_1$ e $s_2$ saranno

$s_1(t)={1\over 2}\cdot a\cdot t^2$

$s_2(t)=v\cdot t$

Infine sappiamo che $a$ e $v$ sono tra loro legate, infatti dalla definizione di accelerazione ricaviamo che

$v(t)=a\cdot t$

A questo punto siamo di fronte a un sistema con quattro equazioni e quattro incognite, in dettaglio siamo di fronte a questo sistema

$\begin{cases} s_1+s_2&=100\:m \\ s_1(t_1) &={1\over 2}\cdot a\cdot t_1^2 \\ s_2(t_2) &=v\cdot t_2 \\ v(t_1)&=a\cdot t_1\end{cases}$

che possiamo tranquillamente risolvere

$\begin{cases} * \\ ** \\ *** \\ v(4)=v=a\cdot 4\:s\end{cases}$

$\begin{cases} * \\ ** \\ s_2(t_2) =a\cdot 4\:s\cdot t_2 \\****\end{cases}$

$\begin{cases} {1\over 2}\cdot a\cdot (4\:s)^2 +a\cdot 4\:s\cdot 6,5\:s=100\:m \\ ** \\ *** \\ ****\end{cases}$

$\begin{cases} a\cdot 8\:s^2 +a\cdot 26\:s^2=100\:m \\ ** \\ *** \\ ****\end{cases}$

$\begin{cases} a\cdot 34\:s^2 =100\:m \\ ** \\ *** \\ ****\end{cases}$

$\begin{cases} a \approx 2,9\:m/s^2 \\ ** \\ *** \\ ****\end{cases}$

Ovviamente potremmo già fermarci qui in quanto la prima domanda chiede esclusivamente di determinare $a$ .

$\begin{cases} a &=2,9\:m/s^2 \\ s_1(4) &={1\over 2}\cdot 2,9\:m/s^2\cdot (4\:s)^2=23,2\:s \\s_2(6,5) &=11,6\:m/s\cdot 6,5\:s=75,4\:m \\ v(4)&=v=2,9\:m/s^2\cdot 4\:s=11,6\:m/s\end{cases}$

Dove osserviamo esplicitamente che $s_1+s_2$ non fa esattamente $100\:m$ solamente perchè abbiamo approssimato sia $a$ che $v$ pertanto viene introdotto un leggero errore. Rispondiamo ora alla seconda domanda. Nei primi $4\:s$ sappiamo che il corridore ha percorso circa $23\:m$ pertanto per rispondere alla domanda dobbiamo chiederci quanto ci mette un corridore che corre con velocità costante $v=11,6\:m/s$ a percorrere $50\:m-23\:m=27\:m$ , per cui usando la legge oraria scritta prima

$t={s\over v}={27\:m\over 11,6\:m/s}\approx 2,3\:s$

da cui il corridore arriva a $50\:m$ dopo $4\:s+2,3\:s=6,3\:s$ . Scriviamo infine la legge oraria complessiva del moto che ovviamente dovrà essere definita a tratti nel seguente modo

$\begin{cases} s(t)&={1\over 2}\cdot 2,9\:m/s^2\cdot t^2\qquad se\:t\leq 4\:s \\ s(t)&=23,2\:m+11,6\:m/s\cdot t\qquad se\:t>4\:s\end{cases}$

Brevi lezioni

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