Esercizio 83 sul moto in due dimensioni – Esercizi svolti – FISICA

In un laboratorio una biglia è lanciata due volte con lo stesso modulo della velocità e con due angoli complementari. Un sistema di fotocellule misura che le due altezze massime delle traiettorie della biglia sono $y_1=10\:cm$ e $y_2=42\:cm$ . Calcola le componenti orizzontali e verticali delle velocità iniziali della biglia. Determina le gittate dei due lanci.

SVOLGIMENTO

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Sappiamo che il moto di un proiettile è un particolare moto in due dimensioni dove lungo l’asse $x$ l’oggetto si muove di moto rettilineo uniforme mentre lungo l’asse $y$ si muove di moto uniformemente accelerato con accelerazione $g$ . Pertanto per determinare l’altezza massima dobbiamo ragionare esclusivamente sul moto che avviene lungo la direzione $y$ e utilizzando le formule del moto uniformemente accelerato possiamo determinare che

$v_{0y}=\sqrt{2y_{max}g}$

quindi possiamo determinare le due componenti $y$ della velocità

$v_{0y1}=\sqrt{2y_{1}g}=\sqrt{2\cdot 0,1\;m\cdot 9,81\;m/s^2}\approx 1,4\;m/s$

$v_{0y2}=\sqrt{2y_{2}g}=\sqrt{2\cdot 0,42\;m\cdot 9,81\;m/s^2}\approx 2,87\;m/s$

una volta determinate le due componenti determiniamo l’angolo $\alpha$ che viene utilizzato nel primo lancio sapendo che

$v_{0y1}=\sin{\alpha}v$

$v_{0y2}=\sin{(90^\circ -\alpha)}v=\cos(\alpha)v$

da cui osserviamo che $v_{0y2}=v_{x2}$ e viceversa, quindi

${v_{0y1}\over\sin{\alpha}}={v_{0y2}\over\cos\alpha}$

${v_{0y1}\overv_{0y2}}={\sin{\alpha}\over\cos\alpha}=\tan{\alpha}$

$\alpha=\tan^{-1}({v_{0y1}\over v_{0y2}})=\tan^{-1}({1,4\;m/s\over 2,87\;m/s})\approx 26^\circ$

Una volta determinato l’angolo di lancio determiniamo il modulo della velocità iniziale e poi, tramite la formula della gittata, determiniamo le due gittate

$v={v_{0y1}\over \sin{\alpha}}={1,4\;m/s\over \sin{26^\circ}}\approx 3,2\:m/s$