Esercizio 71 giochi matematici scuole superiori – Esercizi svolti – MATEMATICA

Siamo nel $2016$ e l’età di Amerigo, che ha appena compiuto gli anni, è un divisore di $2016$ . Se Amerigo somma questa età con tutti i suoi multipli (il doppio, il triplo, ecc.) minori di $365$ , trova il suo anno di nascita. In che anno è nato Amerigo?

Esercizio contenuto nella prova delle semifinali italiane del 2016

SVOLGIMENTO

Visualizza la soluzione

Prima di tutto scomponiamo il $2016$ in fattori primi per cercare di capire come sono i suoi divisori. Allora

$2016=2^5\cdot 3^2\cdot 7$

ora procediamo cercando il divisore che corrisponde all’età di Amerigo, l’unica accortezza che utilizziamo è la modalità di calcolo della somma dei suoi multipli. Immaginiamo che l’età di Amerigo sia $7$ , allora i multipli di $7$ minori di $365$ sono $52<365:7<53$ pertanto dobbiamo calcolare

$7+7\cdot 2+7\cdot 3+…….+7\cdot 52=7\cdot (1+2+3+…..+52)=7\cdot {52\cdot (52+1)\over 2}=9646$

quindi per calcolare la somma dei multipli prima raccogliamo e poi usiamo la formula di Gauss. Detto questo facciamo un paio di tentativi sull’età di Amerigo. Ipotizziamo che sia $2$ , allora $182<365:2<183$ quindi la somma dei divisori sarà

$2\cdot {182\cdot (182+1)\over 2}=33306$

osserviamo anche che più i numeri sono piccoli e più la somma dei divisori è alta, pertanto adesso proviamo a prendere un numero relativamente alto. Ad esempio $21$ , allora $17<365:21<18$ , quindi la somma dei divisori sarà

$21\cdot {17\cdot (17+1)\over 2}=3213$