Esercizio 125 sull’equilibrio dei fluidi – Esercizi svolti – FISICA

Una molla di costante elastica $k=1600\: N/m$ è agganciata a un supporto orizzontale da cui viene lasciata pendere $(a)$ . Un blocco di ferro ( $d_{Fe}=7860\: kg/m^3$ ) di volume $1,0\cdot 10^{-3}\: m^3$ viene agganciato alla molla e questa si allunga di un tratto $x_1$ $(b)$ . Il blocco viene poi immerso completamente in un recipiente pieno d’acqua. All’equilibrio, la molla si è allungata di un tratto $x_2$ $(c)$ .

Determina la diminuzione percentuale dell’allungamento della molla quando il blocco è in acqua rispetto a quando non lo è.

SVOLGIMENTO

Dobbiamo calcolare la diminuzione percentuale dell’allungamento, quindi dal punto di vista matematico dobbiamo calcolare il valore

$v_\%={x_1-x_2\over x_1}\cdot 100$

Osserviamo esplicitamente che questa percentuale può essere calcolata con la proporzione

$x_1-x_2 : v_\%=x_1 : 100$

Una volta capito quello che dobbiamo calcolare andiamo a risolvere il problema pensando a come determinare $x_1$ e $x_2$ . Per determinare $x_1$ possiamo utilizzare esattamente la legge di Hooke dove la forza che tenderà a far allungare la molla, ossia l’opposto della forza elastica di richiamo, sarà esattamente la forza peso del cubetto. Ossia

$F_e=F_p=x_1\cdot k$

$x_1={F_e\over k}={F_p\over k}={m\cdot g\over k}={V\cdot d\cdot g\over k}$

$x_1={1,0\cdot 10^{-3}\: m^3\cdot 7860\: kg/m^3\cdot 9,81\: N/kg\over 1600\: N/m}\approx 0,048\: m$

Nel calcolo di $x_2$ dobbiamo invece considerare che la forza che allungherà la molla sarà la risultante tra la forza peso (la stessa di prima) e la spinta di Archimede che tenderà a “sollevare” il cubetto. Ossia

$F_e=F_p-F_A=x_2\cdot k$

$x_2={F_p-F_A\over k}={m\cdot g-V\cdot d_{acqua}\cdot g\over k}={V\cdot d_{Fe}\cdot g-V\cdot d_{acqua}\cdot g\over k}$

$x_2={1,0\cdot 10^{-3}\: m^3\cdot 7860\: {kg\over m^3}\cdot 9,81\: {N\over kg}-1,0\cdot 10^{-3}\: m^3\cdot 1000\: {kg\over m^3}\cdot 9,81\: {N\over kg}\over 1600\: N/m}\approx 0,042\: m$

Da cui

$v_\%={0,048\: m-0,042\: m\over 0,048\: m}\cdot 100\approx 12,7\: \%$

Voglio osservare esplicitamente che tutti gli esercizi nei quali c’è la necessità di calcolare una percentuale conviene tenere le formule. Infatti, avendo un rapporto tra due grandezze similari, la formula si semplifica praticamente tutta, nel dettaglio di questo esercizio avremmo

$v_\%={x_1-x_2\over x_1}\cdot 100$

$v_\%={{V\cdot d_{Fe}\cdot g\over k}-{V\cdot d_{Fe}\cdot g-V\cdot d_{acqua}\cdot g\over k}\over {V\cdot d_{Fe}\cdot g\over k}}\cdot 100$