Un giocoliere lancia verticalmente una pallina. Nell’istante in cui raggiunge il punto più alto, al di sopra del punto di partenza, ne lancia un’altra con la stessa velocità iniziale. A quale altezza si incontrano le due palline? Che velocità hanno al momento dell’incontro?
Prima di procedere con la soluzione proviamo a inquadrare la situazione per capire quale tra le formule che conosciamo può essere la più efficace. Innanzitutto sappiamo che il punto di massima altezza è il punto in cui la pallina ha velocità nulla, quindi della prima pallina conosciamo la velocità iniziale, la posizione e l’accelerazione a cui è soggetta. Della seconda pallina invece conosciamo solo posizione e accelerazione a cui è soggetta. Osserviamo che le leggi orarie delle due palline potrebbero rispondere alla prima domanda, ma per poterle utilizzare ci serve la velocità iniziale della seconda pallina, che per ipotesi è uguale a quella della prima pallina, quindi determiniamo prima tale velocità. Per rispondere a questa domanda ci viene in supporto la formula
da cui
Una volta scoperta questa velocità procediamo con il nostro ragionamento. Le palline, nel momento in cui si incrociano, occupano la stessa posizione, ossia
che possiamo determinare utilizzando le leggi orarie. Prima di tutto fissiamo un sistema di riferimento, poniamo il punto dove parte la seconda pallina, e l’istante quando parte la seconda pallina (e la prima pallina si trova nel punto più alto). In questo sistema di riferimento le due leggi orarie diventano
per cui la condizione diventa
da cui
Inoltre con la definizione di accelerazione, siccome abbiamo già calcolato il tempo necessario per l’incontro, possiamo determinare le due velocità, infatti
al di sopra del punto di partenza, ne lancia un’altra con la stessa velocità iniziale. A quale altezza si incontrano le due palline? Che velocità hanno al momento dell’incontro?![\[\Delta s={v_f^2-v_i^2\over 2a}\Rightarrow v_i=\sqrt{v_f^2-\Delta s\cdot 2\cdot a}\]](https://www.brevilezioni.it/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-599af5f9f1363f22040d4844073e8434_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[v_i=\sqrt{v_f^2-\Delta s\cdot 2\cdot a}=\sqrt{(0\:m/s)^2-0,60\:m\cdot 2\cdot (-9,81\:m/s^2)}\approx 3,43\:m/s\]](https://www.brevilezioni.it/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-bd0b63a68870db216b0913f276e7ebae_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[s_1(t)=s_2(t)\]](https://www.brevilezioni.it/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-9ffecd13c765d064ea5f582085670840_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
dove parte la seconda pallina, e l’istante 
quando parte la seconda pallina (e la prima pallina si trova nel punto più alto). In questo sistema di riferimento le due leggi orarie diventano![\[s_1(t)=s_1(0)+v_1(0)t+{1\over 2}at^2=0,60\:m+0\:m/s\cdot t+{1\over 2}\cdot (-9,81\:m/s^2)\cdot t^2\]](https://www.brevilezioni.it/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-788d94d1ac196a4936394edd06b00e77_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[s_2(t)=s_2(0)+v_2(0)t+{1\over 2}at^2=0\:m+3,43\:m/s\cdot t+{1\over 2}\cdot (-9,81\:m/s^2)\cdot t^2\]](https://www.brevilezioni.it/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-682366bbe23bd337e0fe5678a1745709_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
diventa![\[0,60\:m-{1\over 2}\cdot 9,81\:m/s^2\cdot t^2=3,43\:m/s\cdot t-{1\over 2}\cdot 9,81\:m/s^2\cdot t^2\]](https://www.brevilezioni.it/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-4a3d52ded0af965aeccc721b0dbafe6c_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[0,60\:m=3,43\:m/s\cdot t\]](https://www.brevilezioni.it/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-ff01dd3da59d232c473ddb82e1907858_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[t={0,60\:m\over 3,43\:m/s}\approx 0,175\;s\]](https://www.brevilezioni.it/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-f4b56100a0756350a6c947696ee69861_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[s_1(0,175\:s)=s_2(0,175\:s)=0,60\:m-{1\over 2}\cdot 9,81\:m/s^2\cdot (0,175\:s)^2\approx 0,45\:m\]](https://www.brevilezioni.it/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-9eb4276c4ebf29ede4a402f1eb8ec959_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[a={\Delta v\over \Delta t}={v_f-v_i\over \Delta t}\Rightarrow v_f=a\cdot \Delta t+v_i\]](https://www.brevilezioni.it/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-55bd5094a9860acf4a613358fa80e275_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[v_{1f}=a\cdot \Delta t+v_{1i}=-9,81\:m/s^2\cdot 0,175\:s+0\:m/s\approx -1,7\:m/s\]](https://www.brevilezioni.it/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-28eca3e7f38efd2fb3c6395a5fde9522_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[v_{2f}=a\cdot \Delta t+v_{2i}=-9,81\:m/s^2\cdot 0,175\:s+3,43\:m/s\approx 1,7\:m/s\]](https://www.brevilezioni.it/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-f1fee5189eb81858df733ab765e6974a_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
