Esercizio 122 sul moto uniformemente accelerato – Esercizi svolti – FISICA

Lanci una moneta verso l’alto in verticale da un’altezza di $90\:cm$ dal suolo per decidere a testa o croce se fare o meno i compiti di fisica. La moneta sale fino a un’altezza massima di $30\:cm$ dal punto di lancio. Determina la velocità iniziale della moneta. Afferri la moneta in caduta alla stessa altezza dalla quale l’avevi lanciata: per quanto tempo resta in aria (tempo di volo)? Immagina invece di non afferrare la moneta nella posizione dalla quale l’avevi lanciata. Quanto tempo passa dall’istante del lancio iniziale a quando la moneta tocca il suolo?

SVOLGIMENTO

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Sappiamo che in questa tipologia di esercizi la condizione di altezza massima raggiunta ci da un’indicazione anche sulla velocità, infatti il punto di massima altezza coincide con quello di velocità nulla. Pertanto tra le formule che conosciamo è possibile rispondere alla prima domanda utilizzando la formula

$\Delta s={v_f^2-v_i^2\over 2a}\Rightarrow v_i=\sqrt{v_f^2-\Delta s\cdot 2\cdot a}$

da cui

$v_i=\sqrt{v_f^2-\Delta s\cdot 2\cdot a}=\sqrt{(0\:m/s)^2-0,3\:m\cdot 2\cdot (-9,81\:m/s^2)}\approx 2,4\:m/s$

Per calcolare il tempo necessario alla moneta per raggiungere il punto più alto e per tornare indietro analizziamo la velocità che la moneta avrà nel momento in cui torna alla quota di partenza, in quell’istante la moneta avrà percorso un tratto in salita di $0,3\:m$ che avrà portato la sua velocità da $2,4\:m/s$ a $0\:m/s$ e un tratto in discesa, sempre di $0,3\;m$ , che porterà la sua velocità da $0\:m/s$ a $-2,4\:m/s$ , cioè alla stessa velocità che aveva al momento della partenza ma diretta nella direzione opposta, cioè verso il basso. Pertanto per calcolare il tempo di volo possiamo usare la definizione di accelerazione, infatti

$a={\Delta v\over \Delta t}={v_f-v_i\over \Delta t}\Rightarrow \Delta t={v_f-v_i\over a}$

dove osserviamo esplicitamente che la velocità finale in questa formula è diversa dalla velocità finale della formula precedente perchè sono diversi i due moti che stiamo studiando. Da cui

$\Delta t={v_f-v_i\over a}={-2,4\:m/s-2,4\:m/s\over -9,81\:m/s^2}\approx 0,49\:s$

Infine rispondiamo all’ultima domanda dividendo il moto totale in due: il primo tratto in salita, di durata $\Delta t=0,49\:s:2\approx 0,25\;s$ , cioè la metà del tempo di volo calcolato nel punto due, e il secondo tratto in discesa di velocità iniziale $0\:m/s$ , distanza percorsa $0,3\:m+0,9\:m=1,2\:m$ e accelerazione uguale a quella di gravità. Con questi dati a disposizione possiamo utilizzare la legge oraria per determinare il tempo necessario alla moneta a percorrere questo tratto in discesa, infatti

$s(t)=s(0)+v(0)t+{1\over 2}at^2$