Esercizio 119 sulla velocità e sul moto rettilineo uniforme – Esercizi svolti – FISICA

Un’auto parte da un casello autostradale mantenendo una velocità $v_A$ costante; contemporaneamente una seconda auto parte da un casello situato a una distanza $d$ più avanti del primo, e procede a velocità costante $v_B$ , con $v_B<v_A$ . Il casello successivo si trova a distanza $5d$ dal primo. Trova il punto in cui l’auto $A$ raggiunge l’auto $B$ . Quale velocità deve mantenere l’auto $A$ per raggiungere l’auto $B$ prima del casello successivo?

SVOLGIMENTO

Immaginiamo che l’autostrada sia in linea retta, quindi ci mettiamo nella situazione ideale di essere in un moto rettilineo uniforme. Per risolvere l’esercizio scriviamo le due leggi orarie. Ricordiamo che la legge oraria di un moto è una formula che permette di determinare la posizione in funzione del tempo. La legge oraria del moto rettilineo uniforme è:

$s(t)=s(0)+v\cdot t$

dove:
– $s(t)$ , indicato anche $x(t)$ , rappresenta la posizione all’istante $t$ ;
– $s(0)$ , indicato anche $x(0),\: s_0,\: x_0$ , rappresenta la posizione all’istante $t=0$ ;
– $v$ rappresenta la velocità.
Poniamo il sistema di riferimento con $s=0\: m$ nel casello in cui parte l’auto $A$ , ossia quello più indietro, e il tempo $t=0\:s$ l’istante in cui partono entrambe le macchine. In questo sistema di riferimento le due leggi orarie sono

$s_A(t)=v_A\cdot t$

$s_B(t)=d+v_B\cdot t$

Determiniamo prima l’istante in cui $A$ raggiunge $B$ e dopo calcoliamo in punto esatto. L’istante in cui $A$ raggiunge $B$ è caratterizzato dalla condizione fisica

$s_A(t)=s_B(t)$

quindi

$v_A\cdot t=d+v_B\cdot t$

$v_A\cdot t-v_B\cdot t=d$

$(v_A-v_B)\cdot t=d$

$t={d\over v_A-v_B}$

Una volta determinato l’istante in cui si incontrano, utilizzando una delle due leggi orarie (usiamo la prima perchè è più semplice) possiamo determinare a che punto si incontreranno

$s_A({d\over v_A-v_B})=v_A\cdot {d\over v_A-v_B}={v_A\over v_A-v_B}\cdot d$