Esercizio 107 sui vettori e le forze – Esercizi svolti – FISICA

Una molla si allunga di $3,6\: cm$ sotto l’azione di una forza $F$ . Se la forza aumenta di $1,4\: N$ , la molla si allunga del $15\:\%$ in più. Calcola la costante elastica della molla.

SVOLGIMENTO

Nelle molle l’allungamento è direttamente proporzionale alla forza che genera tale allungamento secondo la legge di Hooke, ossia

$F_e=-k\cdot \Delta x$

dove il segno meno indica il fatto che il vettore forza elastica e il vettore allungamento/contrazione della molla sono di verso opposto.
Una volta ricordato questo risolviamo l’esercizio in due modi, il primo modo totalmente matematico. Allora poniamo

$F_1=F+1,4\: N$

$\Delta x_1=\Delta x+15\:\%\Delta x=\Delta x+{15\over 100}\cdot\Delta x=\Delta x+0,15\cdot\Delta x=1,15\cdot \Delta x$

allora

$F_1=k\cdot \Delta x_1\Rightarrow k={F+1,4\: N\over 1,15\cdot \Delta x}={F\over 1,15\cdot \Delta x}+{1,4\: N\over 1,15\cdot \Delta x}={1\over 1,15}\cdot{F\over \Delta x}+{1,4\: N\over 1,15\cdot \Delta x}$

Una volta ricavato questo e osservato che

${F\over \Delta x}=k$

la nostra formula diventa la seguente equazione in $k$

$k={1\over 1,15}\cdot k+{1,4\: N\over 1,15\cdot 0,036\: m}$

$k-{1\over 1,15}\cdot k={1,4\: N\over 1,15\cdot 0,036\: m}$

${1,15\over 1,15}\cdot k-{1\over 1,15}\cdot k={1,4\: N\over 1,15\cdot 0,036\: m}$

${0,15\over 1,15}\cdot k={1,4\: N\over 1,15\cdot 0,036\: m}$

$k={1,4\: N\over 1,15\cdot 0,036\: m}\cdot {1,15\over 0,15}= {1,4\: N\over 0,15\cdot 0,036\: m}\approx 260\: N$

Vediamo come ragionando per via fisica l’esercizio sarebbe stato più semplice, infatti l’allungamento del $15\:\%$ di $3,6\: cm$ , ossia di $0,54\: cm$ , è tutto da imputare alla forza aggiuntiva di $1,4\: N$ . Una volta osservato questo e osservato che il legame che lega allungamento e forza è un legame di proporzionalità diretta, potevamo calcolare

$k={-F_e\over \Delta x}={-(-1,4\: N)\over 0,0054\: m}\approx 260\: N/m$

dove osserviamo che la forza elastica non è $F$ , infatti la forza elastica è quella che si oppone ad $F$ , pertanto se il modulo di $F$ aumento di $1,4\: N$ il modulo della forza elastica, che ancora continua a opporsi a $F$ , aumenta di $-1,4\: N$ .

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