Archivi categoria: Problemi con le equazioni

Problema 14 con le equazioni – Esercizi svolti – MATEMATICA

In un numero di tre cifre, la cifra delle centinaia supera di $1$ il doppio della cifra delle decine, la cifra delle unità supera di $1$ la cifra delle centinaia e la cifra delle decine è la sesta parte della soma delle tre cifre. Determina il numero.

SVOLGIMENTO

Quando si deve risolvere un problema utilizzando un’equazione occorre inizialmente decidere cosa rappresenta la nostro incognita. In generale l’incognita rappresenta quello che bisogna calcolare. In questo esercizio tuttavia dobbiamo determinare tre incognite, cioè le tre cifre che compongono il numero, poniamo $x$ come la cifra delle unità, $y$ come la cifra delle decine e $z$ come la cifra delle centinaia. Una volta determinato questo possiamo scrivere le tre equazioni:

$z=2y+1$

$x=z+1$

$y={1\over 6}(x+y+z)$

Questo è un sistema di tre equazioni in tre incognite, per risolverlo bisogna cercare di ridurre il numero di incognite presenti nelle varie equazioni. Per prima cosa sostituiamo all’interno della seconda equazione la prima, ossia siccome $z=2y+1$ l’equazione $x=z+1$ (da cui $z=x-1$ ) la possiamo scrivere come

$x-1=2y+1$

$x=2y+2$

Infine andiamo nella terza equazione a sostituire $z=2y+1$ e $x=2y+2$ , una volta fatto questo l’ultima equazione conterrà come unica incognita la $y$ e sarà possibile risolverla

$y={1\over 6}(x+y+z)$

$y={1\over 6}(2y+2+y+2y+1)$

$y={1\over 6}(5y+3)$

$6y={1\over 6}(5y+3)\cdot 6$

$6y=5y+3$

$y=3$

Da cui

$z=2y+1=6+1=7$

$x=2y+2=6+2=8$

Per cui il numero cercato sarà $738$ .

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Problema 13 con le equazioni – Esercizi svolti – MATEMATICA

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Determina la frazione in cui il numeratore è uguale al denominatore aumentato di $7$ e la somma tra numeratore e denominatore vale $17$ .

SVOLGIMENTO

In questo particolare esercizio dobbiamo calcolare il numeratore e il denominatore di una frazione, quindi due numeri. Poniamo $n$ e $d$ rispettivamente tali numeri. Allora dalla consegna dell’esercizio possiamo ricavare le seguenti equazioni che dovranno essere soddisfatte entrambe

$n=d+7$

$n+d=17$

Una volta osservato questo basta sostituire all’interno della seconda equazione l’informazione che $n=d+7$ , da cui

$d+7+d=17$

$2d=17-7$

$2d=10$

$d=5$

da cui $n=d+7=5+7=12$ , per cui la frazione cercata è ${12\over 5}$ .

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Problema 12 con le equazioni – Esercizi svolti – MATEMATICA

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Determina due numeri pari consecutivi, sapendo che la metà del secondo diminuita dell’ottava parte del primo è uguale alla somma dei due numeri diminuita di $53$ .

SVOLGIMENTO

Quando si deve risolvere un problema utilizzando un’equazione occorre inizialmente decidere cosa rappresenta la nostro incognita. In generale l’incognita rappresenta quello che bisogna calcolare.
In questo particolare esercizio i numeri da calcolare sono due, nonostante questo risulta evidente che la conoscenza di uno dei due numeri porta immediatamente a conoscere l’altro. Poniamo quindi $x$ come il numero più piccolo che dobbiamo calcolare. Grazie a quello che ci viene detto possiamo scrivere che

${1\over 2}(x+2)-{1\over 8}x=x+(x+2)-53$

${1\over 2}x-{1\over 8}x-x-x=2-53-1$

${4-1-8-8\over 8}x=-52$

$-{13\over 8}x=-52$

$x=-52\cdot (-{8\over 13})$

$x=32$

Quindi i due numeri cercati saranno $32$ e $34$ .

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Problema 11 con le equazioni – Esercizi svolti – MATEMATICA

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La metà di un numero aumentata della sua terza parte è uguale a un quarto del numero aumentato di $21$ . Quale è il numero?

SVOLGIMENTO

Quando si deve risolvere un problema utilizzando un’equazione occorre inizialmente decidere cosa rappresenta la nostro incognita. In generale l’incognita rappresenta quello che bisogna calcolare.
In questo esercizio poniamo la $x$ come il numero che dobbiamo calcolare. Grazie a quello che ci viene detto possiamo scrivere che

${1\over 2}x+{1\over 3}x={1\over 4}x+21$

${1\over 2}x+{1\over 3}x-{1\over 4}x=21$

${6+4-3\over 12}x=21$

${7\over 12}x=21$

$x=21\cdot {12\over 7}$

$x=36$

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Problema 10 con le equazioni – Esercizi svolti – MATEMATICA

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Il prodotto di due numeri dispari consecutivi è uguale al quadrato del primo numero aumentato di $42$ . Determina i due numeri.

SVOLGIMENTO

Quando si deve risolvere un problema utilizzando un’equazione occorre inizialmente decidere cosa rappresenta la nostro incognita. In generale l’incognita rappresenta quello che bisogna calcolare.
In questo particolare esercizio i numeri da calcolare sono due, nonostante questo risulta evidente che la conoscenza di uno dei due numeri porta immediatamente a conoscere l’altro. Poniamo quindi $x$ come il numero più piccolo che dobbiamo calcolare. Grazie a quello che ci viene detto possiamo scrivere che

$x\cdot (x+2)=x^2+42$

$x^2+2x=x^2+42$

$2x=42$

$x=21$

Quindi i due numeri cercati sono $21$ e $23$ .

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Problema 9 con le equazioni – Esercizi svolti – MATEMATICA

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Determina quel numero che sommato al doppio del suo successivo dà come risultato $74$ .

SVOLGIMENTO

Quando si deve risolvere un problema utilizzando un’equazione occorre inizialmente decidere cosa rappresenta la nostro incognita. In generale l’incognita rappresenta quello che bisogna calcolare.
In questo esercizio poniamo la $x$ come il numero che dobbiamo calcolare. Grazie a quello che ci viene detto possiamo scrivere che

$x+2(x+1)=74$

$x+2x+2=74$

$3x=74-2$

$3x=72$

$x=24$

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Problema 8 con le equazioni – Esercizi svolti – MATEMATICA

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Determina quel numero che sommato alla sua metà è uguale al suo triplo diminuito di $39$ .

SVOLGIMENTO

Quando si deve risolvere un problema utilizzando un’equazione occorre inizialmente decidere cosa rappresenta la nostro incognita. In generale l’incognita rappresenta quello che bisogna calcolare.
In questo esercizio poniamo la $x$ come il numero che dobbiamo calcolare. Grazie a quello che ci viene detto possiamo scrivere che

$x+{1\over 2}x=3x-39$

$x+{1\over 2}x-3x=-39$

${2+1-6\over 2}x=-39$

$-{3\over 2}x=-39$

$x=-39\cdot (-{2\over 3})$

$x=26$

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Problema 7 con le equazioni – Esercizi svolti – MATEMATICA

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In un numero di due cifre, la somma delle cifre è $12$ e la cifra delle unità supera di $6$ quella delle decine. Quale è il numero?

SVOLGIMENTO

Quando si deve risolvere un problema utilizzando un’equazione occorre inizialmente decidere cosa rappresenta la nostro incognita. In generale l’incognita rappresenta quello che bisogna calcolare. In questo esercizio tuttavia dobbiamo determinare due incognite, cioè le due cifre che compongono il numero, poniamo $x$ come la cifra delle unità e $y$ come la cifra delle decine. Una volta determinato questo possiamo scrivere le due equazioni:

$x+y=12$

$x=6+y$

Una volta osservato questo possiamo sostituire la $x=6+y$ all’interno della prima equazione ed ottenere

$6+y+y=12$

$2y=12-6$

$y=3$

da cui ricordando che $x=6+y$ otteniamo che $x=9$ e quindi il numero cercato è $39$ .

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Problema 6 con le equazioni – Esercizi svolti – MATEMATICA

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Di un numero naturale di due cifre si sa che la somma della cifra delle decine con quella delle unità è $12$ e che la cifra delle decine è uguale a quella delle unità aumentata di $2$ . Trova il numero.

SVOLGIMENTO

Quando si deve risolvere un problema utilizzando un’equazione occorre inizialmente decidere cosa rappresenta la nostro incognita. In generale l’incognita rappresenta quello che bisogna calcolare. In questo esercizio tuttavia dobbiamo determinare due incognite, cioè le due cifre che compongono il numero, poniamo $x$ come la cifra delle unità e $y$ come la cifra delle decine. Una volta determinato questo possiamo scrivere le due equazioni:

$x+y=12$

$y=x+2$

Da cui, andando a sostituire la $y=x+2$ nella prima equazione, troviamo

$x+x+2=12$

$2x=12-2$

$x=5$

Per cui $y=x+2=5+2=7$ e pertanto il numero cercato è il $75$ .

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Problemi con le equazioni

Problema 5 con le equazioni – Esercizi svolti – MATEMATICA

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Se ai ${3\over 4}$ di un numero naturale si aggiungono i suoi ${2\over 3}$ , si ottiene $34$ . Determina il numero.

SVOLGIMENTO

Quando si deve risolvere un problema utilizzando un’equazione occorre inizialmente decidere cosa rappresenta la nostro incognita. In generale l’incognita rappresenta quello che bisogna calcolare.
In questo esercizio poniamo la $x$ come il numero che dobbiamo calcolare. Grazie a quello che ci viene detto possiamo scrivere che

${3\over 4}x+{2\over 3}x=34$

${9+8\over 12}x=34$

${17\over 12}x=34$

$x=34\cdot {12\over 17}$

$x=24$

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