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Problema 24 con le equazioni – Esercizi svolti – MATEMATICA

Il quadrato di un numero intero supera di $119$ il quadrato del numero che lo precede. Quanto valgono i due numeri? E i loro rispettivi quadrati?

SVOLGIMENTO

Quando si deve risolvere un problema utilizzando un’equazione occorre inizialmente decidere cosa rappresenta la nostro incognita. In generale l’incognita rappresenta quello che bisogna calcolare.
In questo esercizio poniamo la $x$ come il numero che dobbiamo calcolare. Grazie a quello che ci viene detto possiamo scrivere che

$x^2=(x-1)^2+119$

$x^2=x^2-2x+1+119$

$2x=120$

$x=60$

Quindi il numero cercato è il $60$ e il numero che lo precede è il $59$ . A questo punto è facile trovare i due quadrati che saranno rispettivamente $3600$ e $3481$ .

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Problemi con le equazioni

Problema 23 con le equazioni – Esercizi svolti – MATEMATICA

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La somma tra il quadrato di un numero intero $x$ e il quadrato del suo successivo è uguale al doppio prodotto dei due numeri. Determina la $x$ .

SVOLGIMENTO

$x^2+(x+1)^2=2\cdot x\cdot (x+1)$

$x^2+x^2+2x(x+1)+1=2x^2+2x$

$x^2+x^2+2x^2+2x+1=2x^2+2x$

$1=0$

Quindi, siccome l’equazione, anche il problema sarà impossibile. Ossia non esiste un numero intero capace di soddisfare la richiesta assegnata.

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Problema 22 con le equazioni – Esercizi svolti – MATEMATICA

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Determina due numeri, sapendo che la loro differenza è $29$ e che sottraendo al triplo del minore i ${6\over 7}$ del maggiore ottieni $48$ .

SVOLGIMENTO

In questo esercizio dobbiamo determinare due numeri. Poniamo $y$ il numero maggiore e $x$ il numero minore. Le due informazioni che ci vengono fornite, scritte con il linguaggio delle equazioni, saranno

$y-x=29$

dove osserviamo esplicitamente che l’ordine è fondamentale. E

$3x-{6\over 7}y=48$

Una volta determinato questo possiamo osservare che la prima equazione può essere scritta anche come $x=y-29$ , quindi per sostituzione ottengo

$3x-{6\over 7}y=48$

$3\cdot (y-29)-{6\over 7}y=48$

$3y-87-{6\over 7}y=48$

$3y-{6\over 7}y=48+87$

${21-6\over 7}y=135$

${15\over 7}y=135$

$y=135\cdot {7\over 15}$

$y=63$

Da cui

$x=y-29=63-29=34$

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Problema 21 con le equazioni – Esercizi svolti – MATEMATICA

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Determina un numero intero sapendo che la differenza tra il prodotto di quel numero con il suo precedente e il prodotto di quel numero con il suo successivo è uguale a $-16$ .

SVOLGIMENTO

$[x\cdot (x-1)]-[x\cdot (x+1)]=-16$

$x^2-x-[x^2+x]=-16$

$x^2-x-x^2-x=-16$

$-2x=-16$

$x=8$

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Problema 20 con le equazioni – Esercizi svolti – MATEMATICA

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Determina il numero naturale $x$ che diviso per $4$ dà come quoziente la differenza tra ${1\over 3}$ del numero stesso e $8$ e come resto $3$ .

SVOLGIMENTO

$x=4\cdot ({1\over 3}x-8)+3$

$x={4\over 3}x-32+3$

$x-{4\over 3}x=-29$

$-{1\over 3}x=-29$

$x=-29\cdot (-3)$

$x=87$

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Problema 19 con le equazioni – Esercizi svolti – MATEMATICA

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La differenza tra due numeri vale $29$ . Se si divide il maggiore per il minore, si ottiene come quoziente $2$ e come resto $13$ . Trova i due numeri.

SVOLGIMENTO

$y-x=29$

dove osserviamo esplicitamente che l’ordine è fondamentale. E

$y=x\cdot 2+13$

Infatti questa scrittura è quella che traduce il fatto che per ottenere $y$ bisogna prendere due volte $x$ e poi aggiungergli $2$ . Una volta determinato questo osserviamo che $y=x+29$ e quindi

$x+29=2x+13$

$x=16$

Da cui

$y=x+29=16+29=45$

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Problema 18 con le equazioni – Esercizi svolti – MATEMATICA

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Il doppio del prodotto di un numero naturale per il suo successivo è uguale al doppio della somma tra il quadrato del numero e $9$ . Determina il numero.

SVOLGIMENTO

$2\cdot x\cdot (x+1)=2\cdot (x^2+9)$

$x\cdot (x+1)=x^2+9$

$x^2+x=x^2+9$

$x=9$

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Problema 17 con le equazioni – Esercizi svolti – MATEMATICA

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Dividendo un numero per $3$ , si ottiene lo stesso risultato che si ha sottraendo $21$ alla metà del numero. Quale è il numero?

SVOLGIMENTO

${x\over 3}={x\over 2}-21$

${x\over 3}={x-42\over 2}$

$3\cdot 2\cdot {x\over 3}={x-42\over 2}\cdot 3\cdot 2$

$2x=3(x-42)$

$2x=3x-126$

$x=126$

Osserviamo esplicitamente che l’equazione

${x\over 3}=21-{x\over 2}$

risolve il problema “dividendo un numero per $3$ , si ottiene lo stesso risultato che si ha sottraendo la metà del numero a $21$ “.

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Problema 16 con le equazioni – Esercizi svolti – MATEMATICA

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Il quadruplo del prodotto tra un numero e il suo successivo supera di $31$ il quadrato della somma di quel numero con il suo precedente. Quale è il numero?

SVOLGIMENTO

$4\cdot x(x+1)=(x+x-1)^2+31$

$4x^2+4x=(2x-1)^2+31$

$4x^2+4x=4x^2-4x+1+31$

$4x=-4x+1+31$

$4x+4x=32$

$8x=32$

$x=4$

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Problema 15 con le equazioni – Esercizi svolti – MATEMATICA

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Trova quel numero di due cifre che ha la cifra delle decine che è il doppio di quella delle unità ed è tale che la somma tra la cifra delle decine e quella delle unità vale $12$ .

SVOLGIMENTO

Quando si deve risolvere un problema utilizzando un’equazione occorre inizialmente decidere cosa rappresenta la nostro incognita. In generale l’incognita rappresenta quello che bisogna calcolare. In questo esercizio tuttavia dobbiamo determinare due incognite, cioè le due cifre che compongono il numero, poniamo $x$ come la cifra delle unità e $y$ come la cifra delle decine. Una volta determinato questo possiamo scrivere le due equazioni:

$y=2x$