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Problema 34 con le equazioni – Esercizi svolti – MATEMATICA

La media aritmetica tra un numero naturale, il $40\%$ della sua metà e il $30\%$ del suo quadrato è uguale alla somma tra $90$ e il prodotto tra il $20\%$ del numero e la metà del suo precedente. Trova il numero.

SVOLGIMENTO

Quando si deve risolvere un problema utilizzando un’equazione occorre inizialmente decidere cosa rappresenta la nostro incognita. In generale l’incognita rappresenta quello che bisogna calcolare.
In questo esercizio poniamo la $x$ come il numero che dobbiamo calcolare. Grazie a quello che ci viene detto possiamo scrivere che

${x+{40\over 100}{x\over 2}+{30\over 100}x^2\over 3}=90+{20\over 100}x\cdot {1\over 2}(x-1)$

${x+{20\over 100}x+{30\over 100}x^2\over 3}=90+{10\over 100}x\cdot (x-1)$

${x+0,2x+0,3x^2\over 3}=90+0,1x\cdot (x-1)$

${1,2x+0,3x^2\over 3}=90+0,1x^2-0,1x$

$3\cdot {1,2x+0,3x^2\over 3}=(90+0,1x^2-0,1x)\cdot 3$

$1,2x+0,3x^2=270+0,3x^2-0,3x$

$1,5x=270$

$x=180$

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Problemi con le equazioni

Problema 33 con le equazioni – Esercizi svolti – MATEMATICA

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Un numero ha due cifre la cui somma è $12$ . Scambiando tra loro le cifre si ottiene un numero il cui triplo supera il numero iniziale di $24$ . Trova il numero.

SVOLGIMENTO

Quando si deve risolvere un problema utilizzando un’equazione occorre inizialmente decidere cosa rappresenta la nostro incognita. In generale l’incognita rappresenta quello che bisogna calcolare. In questo esercizio tuttavia (e in tutti gli esercizi nei quali si parla delle cifre dei numeri) bisogna utilizzare un “trucco”. Poniamo $x$ la cifra delle unità del numero e poniamo $y$ la cifra delle decine. In questa configurazione il nostro numero incognito, scritto in notazione decimale, sarà

$x\cdot 10^0+y\cdot 10^1=x+10y$

mentre il numero ottenuto invertendo la cifra delle unità e quella delle decine sarà

$y\cdot 10^0+x\cdot 10^1=y+10x$

Questo stratagemma ci permette di scrivere le due equazioni che risolveranno il problema, ossia

$x+y=12$

$3\cdot (y+10x)=x+10y+24$

Dalla prima equazioni scritta, ossia $x+y=12$ , ricaviamo che $y=12-x$ . Andando a sostituire questa equazione all’interno della seconda otteniamo un’equazione con una sola incognita

$3\cdot (y+10x)=x+10y+24$

$3\cdot (12-x+10x)=x+10\cdot (12-x)+24$

$3\cdot (12+9x)=x+120-10x+24$

$36+27x=-9x+144$

$27x+9x=144-36$

$36x=108$

$x=3$

Per cui, ricordando che $y=12-x$ , otteniamo

$y=12-x=12-3=9$

A questo punto il numero cercato sarà il numero $93$ .

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Problemi con le equazioni

Problema 32 con le equazioni – Esercizi svolti – MATEMATICA

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In un numero di due cifre, la cifra delle decine supera di $2$ quella delle unità. Scambiando le cifre si ottiene un numero il cui doppio supera di $28$ il numero iniziale. Quale è il numero?

SVOLGIMENTO

Quando si deve risolvere un problema utilizzando un’equazione occorre inizialmente decidere cosa rappresenta la nostro incognita. In generale l’incognita rappresenta quello che bisogna calcolare. In questo esercizio tuttavia (e in tutti gli esercizi nei quali si parla delle cifre dei numeri) bisogna utilizzare un “trucco”. Poniamo $x$ la cifra delle unità del numero e poniamo $y$ la cifra delle decine. In questa configurazione il nostro numero incognito, scritto in notazione decimale, sarà

$x\cdot 10^0+y\cdot 10^1=x+10y$

mentre il numero ottenuto invertendo la cifra delle unità e quella delle decine sarà

$y\cdot 10^0+x\cdot 10^1=y+10x$

Questo stratagemma ci permette di scrivere le due equazioni che risolveranno il problema, ossia

$y=x+2$

$2\cdot (y+10x)=x+10y+28$

Questo sistema di due equazioni in due incognite si risolve andando a sostituire $y=x+2$ nella seconda equazione, una volta fatto questo l’equazione diventa in una sola incognita e quindi è risolvibile.

$2\cdot (y+10x)=x+10y+28$

$2\cdot (x+2+10x)=x+10\cdot (x+2)+28$

$2\cdot (2+11x)=x+10x+20+28$

$4+22x=11x+48$

$11x=44$

$x=4$

Per cui, ricordando che $y=x+2$ , otteniamo

$y=x+2=4+2=6$

A questo punto il numero cercato sarà il numero $64$ .

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Problemi con le equazioni

Problema 31 con le equazioni – Esercizi svolti – MATEMATICA

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In un numero di due cifre la cifra delle decine supera di $2$ quella delle unità. Scambiando tra loro le due cifre, si ottiene un numero che sommato a quello iniziale da $66$ . Trova il numero iniziale.

SVOLGIMENTO

Quando si deve risolvere un problema utilizzando un’equazione occorre inizialmente decidere cosa rappresenta la nostro incognita. In generale l’incognita rappresenta quello che bisogna calcolare. In questo esercizio tuttavia (e in tutti gli esercizi nei quali si parla delle cifre dei numeri) bisogna utilizzare un “trucco”. Poniamo $x$ la cifra delle unità del numero e poniamo $y$ la cifra delle decine. In questa configurazione il nostro numero incognito, scritto in notazione decimale, sarà

$x\cdot 10^0+y\cdot 10^1=x+10y$

mentre il numero ottenuto invertendo la cifra delle unità e quella delle decine sarà

$y\cdot 10^0+x\cdot 10^1=y+10x$

Questo stratagemma ci permette di scrivere le due equazioni che risolveranno il problema, ossia

$y=x+2$

$(x+10y)+(y+10x)=66$

$x+10\cdot (x+2)+x+2+10x=66$

$x+10x+20+x+2+10x=66$

$22x+22=66$

$22x=44$

$x=2$

Per cui, ricordando che $y=x+2$ , otteniamo

$y=x+2=2+2=4$

A questo punto il numero cercato sarà il numero $42$ .

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Problemi con le equazioni

Problema 30 con le equazioni – Esercizi svolti – MATEMATICA

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In un numero razionale il denominatore supera di $3$ la metà del numeratore. Determina quel numero, sapendo che il prodotto della somma tra il numeratore e il denominatore per la loro differenza è uguale alla differenza tra il triplo del quadrato del denominatore e $276$ .

SVOLGIMENTO

In questo particolare esercizio dobbiamo calcolare il numeratore e il denominatore di una frazione, quindi due numeri. Poniamo $n$ e $d$ rispettivamente tali numeri. Allora dalla consegna dell’esercizio possiamo ricavare le seguenti equazioni che dovranno essere soddisfatte entrambe

$d={n\over 2}+3$

$(n+d)\cdot (n-d)=3d^2-276$

Per risolvere questo sistema di due equazioni in due incognite sostituiamo all’interno della seconda equazione $d={n\over 2}+3$ , una volta fatto questo la seconda equazione conterrà come unica incognita la $n$ e quindi sarà risolvibile

$(n+d)\cdot (n-d)=3d^2-276$

$(n+{n\over 2}+3)\cdot (n-({n\over 2}+3))=3({n\over 2}+3)^2-276$

${2n+n+6\over 2}\cdot {2n-n-6\over 2}={3(n+6)^2\over 4}-276$

${3n+6\over 2}\cdot {n-6\over 2}={3(n+6)^2-1104\over 4}$

${(3n+6)\cdot (n-6)\over 4}={3(n+6)^2-1104\over 4}$

$(3n+6)\cdot (n-6)=3(n+6)^2-1104$

$3n^2-18n+6n-36=3n^2+36n+108-1104$

$-12n-36=+36n-996$

$-12n-36n=-996+36$

$-48n=-960$

$n=20$

da cui, ricordando che $d={n\over 2}+3$ , otteniamo

$d={n\over 2}+3={20\over 2}+3=13$

Per cui la frazione cercata sarà ${20\over 13}$ .

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Problemi con le equazioni

Problema 29 con le equazioni – Esercizi svolti – MATEMATICA

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Suddividi il numero $512$ in quattro parti tali che, dalla seconda in poi, ciascuna di esse superi di $4$ la metà della precedente.

SVOLGIMENTO

Leggendo il problema può sembrare in prima istanza che le incognite di questo problema siano quattro. Questo concettualmente è vero, però tutti e quattro i numeri possono essere scritti in funzione del primo. Infatti se poniamo $x$ come il primo dei quattro numeri abbiamo che il secondo sarà

${x\over 2}+4={x+8\over 2}$

il terzo

${{x+8\over 2}\over 2}+4={x+8\over 4}+4={x+24\over 4}$

e il quarto sarà

${{x+24\over 4}\over 2}+4={x+24\over 8}+4={x+56\over 8}$

Per cui la nostra equazione sarà

$x+{x+8\over 2}+{x+24\over 4}+{x+56\over 8}=512$

$8x+{4x+32\over 8}+{2x+48\over 8}+{x+56\over 8}=512$

${8x+4x+32+2x+48+x+56\over 8}=512$

${15x+136\over 8}=512$

$8\cdot {15x+136\over 8}=512\cdot 8$

$15x+136=4096$

$15x=3960$

$x=264$

Da cui risulta facile trovare gli altri tre numeri

${x+8\over 2}={264+8\over 2}=136$

${x+24\over 4}={264+24\over 4}=72$

${x+56\over 8}={264+56\over 8}=40$

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Problemi con le equazioni

Problema 28 con le equazioni – Esercizi svolti – MATEMATICA

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Diminuendo un numero naturale del $20\%$ si ottiene il $60\%$ del suo successivo. Trova il numero.

SVOLGIMENTO

Quando si deve risolvere un problema utilizzando un’equazione occorre inizialmente decidere cosa rappresenta la nostro incognita. In generale l’incognita rappresenta quello che bisogna calcolare.
In questo esercizio poniamo la $x$ come il numero che dobbiamo calcolare. Grazie a quello che ci viene detto possiamo scrivere che

$x-{20\over 100}x={60\over 100}(x+1)$

$x-0,2x=0,6(x+1)$

$0,8\cdot x=0,6\cdot (x+1)$

$0,8\cdot x=0,6\cdot x+0,6$

$0,2\cdot x=0,6$

$x=3$

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Problemi con le equazioni

Problema 27 con le equazioni – Esercizi svolti – MATEMATICA

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La media aritmetica tra un numero, il suo doppio, la sua metà e il suo quadruplo è uguale a $90$ . Trova il numero.

SVOLGIMENTO

Quando si deve risolvere un problema utilizzando un’equazione occorre inizialmente decidere cosa rappresenta la nostro incognita. In generale l’incognita rappresenta quello che bisogna calcolare.
In questo esercizio poniamo la $x$ come il numero che dobbiamo calcolare. Grazie a quello che ci viene detto possiamo scrivere che

${x+2x+{x\over 2}+4x\over 4}=90$

${{2x+4x+x+8x\over 2}\over 4}=90$

${2x+4x+x+8x\over 8}=90$

${15x\over 8}=90$

${15\over 8}x=90$

$x=90\cdot {8\over 15}$

$x=48$

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Problemi con le equazioni

Problema 26 con le equazioni – Esercizi svolti – MATEMATICA

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Dimostra che non esiste un numero di due cifre in cui una è il doppio dell’altra e la cui somma è $18$ .

SVOLGIMENTO

Quando si deve risolvere un problema utilizzando un’equazione occorre inizialmente decidere cosa rappresenta la nostro incognita. In generale l’incognita rappresenta quello che bisogna calcolare. In questo esercizio tuttavia dobbiamo determinare due incognite, cioè le due cifre che compongono il numero, poniamo $x$ come la cifra delle unità e $y$ come la cifra delle decine. Una volta determinato questo possiamo scrivere le due equazioni:

$x=2y$

$x+y=18$

Osserviamo esplicitamente che la scelta di quale sia la cifra delle unità e quella delle decine è totalmente arbitraria, il problema potrebbe essere posto dicendo: esistono due numeri di una cifra tali che uno sia il doppio dell’altro e la cui somma è $18$ ?
Una volta osservato questo andiamo a risolvere il problema sostituendo $x=2y$ all’interno della seconda equazione, in questo modo otteniamo

$2y+y=18$

$3y=18$

$y=6$

quindi gli unici due numeri che soddisfano la nostra richiesta sono $6$ e $12$ , quindi il nostro problema è irrisolvibile perchè $12$ è un numero di due cifre.
Osserviamo infine che per rendere possibile il problema la seconda condizione doveva essere del tipo

$x+y=12$

oppure minore (ma sempre un multiplo di $3$ ).

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Problemi con le equazioni

Problema 25 con le equazioni – Esercizi svolti – MATEMATICA

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La differenza dei quadrati di due numeri dispari consecutivi è uguale a $96$ . Trova i due numeri.

SVOLGIMENTO

Quando si deve risolvere un problema utilizzando un’equazione occorre inizialmente decidere cosa rappresenta la nostro incognita. In generale l’incognita rappresenta quello che bisogna calcolare.
In questo particolare esercizio i numeri da calcolare sono due, nonostante questo risulta evidente che la conoscenza di uno dei due numeri porta immediatamente a conoscere l’altro. Poniamo quindi $x$ come il numero più piccolo che dobbiamo calcolare. Grazie a quello che ci viene detto possiamo scrivere che

$(x+2)^2-x^2=96$

$x^2+4x+4-x^2=96$

$4x=96-4$

$4x=92$

$x=23$

Quindi il secondo numero cercato, cioè il dispari successivo al $23$ , sarà il $25$ .

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