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Frazioni equivalenti

Dopo aver svolto pochi esercizi sulle frazioni risulta evidente come due frazioni, nonostante siano scritte in maniera diversa, possono individuare la stessa parte dell’intero e quindi essere concettualmente “uguali”, due frazioni fatte in questo modo sono dette frazioni equivalenti. In realtà è abbastanza semplice passare da una frazione a una frazione equivalente infatti basta moltiplicare o dividere numeratore e denominatore per una stessa quantità diversa da $0$ , cioè:

la frazione ${7\over 4}$ sarà equivalente a tutte le frazioni del tipo

${7\over 4},\:{14\over 8},\:{21\over 12},\:{28\over 16}$

ottenute dalla prima moltiplicando sia numeratore che denominatore per uno stesso numero. Analogamente la frazione ${36\over 24}$ sarà equivalente a

${18\over 12},\: {12\over 8},\: {9\over 6},\: {6\over 4}, \:{ 3\over 2}$

ottenute dalla prima dividendo numeratore e denominatore per uno stesso numero ( $2$ , $3$ , $4$ , $6$ , $12$ ). Cerchiamo di capire graficamente cosa succede. Prendiamo come esempio la frazione ${2\over 3}$ ; un modello geometrico di questa frazione potrebbe essere

è evidente che se io al posto di dividere in tre parti l’intero (cioè al posto di prendere come denominatore $3$ ) dividessi l’intero in sei parti (quindi modificassi il denominatore da $3$ a $6$ ) per prendere la stessa quantità mi basterebbe prendere il doppio delle parti, cioè

In parole povere ogni parte del segmento blu equivale a due parti del segmento verde quindi le due parti blu equivalgono a quattro parti verdi. Da cui ${2\over 3}={4\over 6}$ . Lo stesso ragionamento funziona negli altri casi.

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Lezione

Calcolo a mente del M.C.D. e del m.c.m.

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Prima di procedere con la spiegazione della tecnica di calcolo a mente forniamo un calcolatore dell’m.c.m. e dell’ M.C.D. online per poter controllare i risultati ottenuti.

Calcolo MCD e mcm

Calcolo M.C.D. e m.c.m

Attenzione: le caselle vanno riempite nell’ordine dato: 1°, 2°, 3°, 4°, altrimenti i risultati potrebbero essere sbagliati!

Il calcolo del M.C.D. e del m.c.m. è un argomento rilevante per le scuole medie non tanto per la risoluzione di problemi specifici, presenti nei libri di testo ma tutti molto simili tra loro, ma piuttosto per l’utilizzo massiccio che se ne fa nelle frazione; infatti il M.C.D. è uno strumento fondamentale per ridurre ai minimi termini una frazione, mentre il m.c.m. lo è per il calcolo dei denominatori comuni da utilizzare nelle somme e nelle sottrazioni di frazioni. Vediamo pertanto una semplice tecnica per il calcolo del M.C.D. e del m.c.m. a mente e in maniera veloce.

Immaginiamoci di dover calcolare il M.C.D. tra i numeri $144$ e $84$ allora:

passo 1: prendiamo il numero più piccolo dei due, quindi l’ $84$ , infatti siccome il numero cercato deve essere un divisore di entrambi i numeri sicuramente il numero sarà minore o uguale a $84$ . A questo punto se il numero più grande, cioè il $144$ , sta nella tabellina del numero più piccolo abbiamo finito.

passo 2: se invece non è così andiamo a prendere il più grande divisore di $84$ , escluso ovviamente l’ $84$ , e andiamo a vedere se il $144$ sta nella tabellina di tale numero. Quindi prendiamo il $42$ ( $42$ è uguale a $84:2$ ), ma questo ancora non va bene.

passo 3: continuiamo con lo stesso ragionamento del passo 2, quindi prendiamo il più grande divisore di $84$ che ancora non abbiamo considerato e controlliamo se il $144$ sta nella sua tabellina. Quindi prendiamo il $28$ ( $28$ infatti è uguale a $84:3$ ), ma questo ancora non va bene.

passo 4: ripetiamo il passo 3 prendendo sempre divisori via via più piccoli fino ad arrivare al numero cercato che in questo caso è il $12$ .

Notiamo che questo procedimento a mente risulta più veloce della tecnica con la scomposizione in fattori prima solamente se i numeri sono piccoli e perciò hanno in generale pochi divisori.

Proviamo ora a calcolare a mente il mcm tra i numeri $36$ e $48$ :

passo 1: partiamo in questo caso dal numero più alto, cioè il $48$ , infatti il mcm sarà un multiplo sia di $36$ che di $48$ pertanto non potrà essere più piccolo di $48$ . Se il numero più alto sta nella tabellina del numero più piccolo abbiamo finito.

passo 2: andiamo a prendere la tabellina del numero più alto e ci fermiamo quando troviamo un numero che sta anche nella tabellina del numero più piccolo. Quindi prendiamo $48$ – $96$ – $144$ e notiamo che il $144$ sta nella tabellina del $36$ .

Notiamo che ancora una volta questo procedimento a mente risulta più veloce della tecnica con la scomposizione in fattori primi solo nel caso di numeri piccoli in quanto il calcolo delle tabelline risulta più immediato.

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Lezione

Approfondimento relazione tra addizione e sottrazione

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Nella lezione precedente abbiamo visto come risolvere facilmente una problema del tipo

$x+24=36$

attraverso la relazione che lega addizione e sottrazione. In questo breve approfondimento vogliamo vedere come è possibile risolvere altrettanto facilmente un esercizio del tipo

$34+x-12=99$

Per spiegare questo in maniera intuitiva e semplice immaginiamo che i numeri in questione siano soldi, ovviamente i numeri preceduti da un segno $+$ sono soldi guadagnati (come potrebbe essere una paghetta o uno stipendio) mentre i numeri preceduti da un meno sono soldi spesi. L’espressione scritta sopra vista in questa nuova luce diventa:

ho 34 euro mi vengono regalati un po’ di soldi (la quantità $x$ ) e dopo spendo 12 euro, se nel portafogli mi rimangono 99 euro, quanti soldi avevo?

Risulta evidente che quindi $22+x=99$ , dove $22$ viene dalla sottrazione $34-12$ , e che quindi questa situazione la posso risolvere con una delle regole viste in precedenza.

Riassumendo: possiamo fare l’operazione con i numeri che conosciamo lasciando da parte la $x$ , però dobbiamo fare attenzione al segno presente davanti a ogni numero, l’operazione corretta è $34-12$ , cioè dobbiamo ricordarci sempre che quei 12 euro sono soldi spesi.

ESEMPI

$99-x+12=13$ : faccio l’operazione $99+12=111$ e scrivo
$111-x=13 \:da\; cui\: x=111-13$
$103+x-45=98$ : faccio l’operazione $103-45=58$ poi scrivo
$58+x=98 \:da\; cui\: x=98-58$

Lezione

Proprietà che legano moltiplicazioni e divisioni

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La moltiplicazione e la divisione sono due operazioni chiamate operazioni inverse, cioè per “tornare indietro” dopo aver fatto una moltiplicazione bisogna fare una divisione e viceversa, detto questo vediamo la tecnica per fare questo passaggio.

Fin dalle scuole elementari sappiamo che la divisione è definita tramite la moltiplicazione nel seguente modo

$6:2=3 \:perchè\: 3\cdot 2=6$

oppure scritta nello schema generale

$a:b=c \:perchè\: c\cdot b=a$

Vediamo che questa semplice proprietà risulta evidente tramite un disegno

se il singolo pezzettino ( $x$ ) si ottiene dividendo in parti uguali (in questo caso 5) il segmento di partenza, allora ripetendo (cioè moltiplicando) il singolo pezzettino ( $x$ ) per lo stesso numero di volte (5) si riottiene il segmento di partenza.

Vediamo che questa proprietà risulta particolarmente utile per risolvere problemi del tipo:

Che numero deve stare al posto della $x$ se: $x\cdot 6=42$
Che numero deve stare al posto della $x$ se: $6\cdot x=42$

Che numero deve stare al posto della $x$ se: $x:6=12$
Che numero deve stare al posto della $x$ se: $48:x=12$

Vediamo come affrontare questi problemi con questa relazione.

Caso 1/2

I primi due casi, $x\cdot6$ e $6\cdot x$ , sono esattamente lo stesso caso, questo a livello teorico segue dalla proprietà commutativa della moltiplicazione che ci dice che invertendo l’ordine dei fattori il prodotto non cambia, pertanto li analizzeremo come unico caso.

La domanda, posta in italiano, consiste nel capire per che numero bisogna moltiplicare 6 per ottenere 42, quindi risulta chiaro dalla proprietà vista prima (attenzione che la proprietà è letta al contrario cioè da destra a sinistra) che

$6\cdot x =42 \:allora\: x=42:6$

ATTENZIONE: questa numero può anche essere trovato facendo la tabellina del 6 fino a giungere al numero 42, ciò non toglie che l’operazione che concettualmente abbiamo risolto sia una divisione e NON una moltiplicazione

Infatti facendo un disegno risulta chiaro

se il segmento nero (42) lo abbiamo ottenuto ripetendo 6 volte il pezzettino ( $x$ ) allora il segmento nero è diviso in 6 parti uguali ognuna grande quanto il pezzettino $x$ , cioè $x$ è il risultato della divisione.

Caso 3

Il caso 3, cioè $x:6=12$ , utilizza esattamente la proprietà vista sopra, infatti

$x:6=12 \:perchè\: 6\cdot 12=x$

Ancora una volta un disegno è assolutamente chiarificatore

se dividendo il segmento nero ( $x$ ) in 6 parti uguali otteniamo come risultato 12 (singolo pezzettino) allora il segmento grande lo possiamo ottenere ripetendo (cioè moltiplicando) il numero 12 per 6 volte.

Caso 4

Vediamo infine il caso 4, ossia $48:x=12$ , e anche qui utilizziamo esattamente la proprietà vista precedentemente, infatti

$48:x=12 \:perchè\: 12\cdot x=48 \:da\; cui\; usando\; il\; caso\; 1/2\: x=48:12$

Anche qui vediamo di spiegare il tutto attraverso un disegno

se il segmento nero (48) viene diviso in un numero di parti ignoto ( $x$ ) e come risultato ottengo 12, allora devo trovare quante volte devo ripetere il 12 per ottenere 48 come risultato, cioè devo risolvere la divisione 48:12, cioè capire quante volte il 12 entra dentro il 48.

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Proprietà che legano addizione e sottrazione

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L’addizione e la sottrazione sono due operazioni chiamate operazioni inverse, cioè per “tornare indietro” dopo aver fatto una addizione bisogna fare una sottrazione e viceversa, detto questo vediamo la tecnica per fare questo passaggio.

Sappiamo tutti fin dalle scuole elementari che la sottrazione viene definita nel seguente modo

$64-46=18 \:perchè\: 18+46=64$

e scritta nello schema generale possiamo dire che

$a-b=c \:perchè\: c+b=a$

Notiamo che con un disegno questo risulta particolarmente immediato

cioè se il segmento nero (a) meno il segmento rosso (b) è uguale al segmento blu (c) allora il segmento nero è uguale al segmento rosso più il segmento blu.

Questa proprietà si dimostra molto utile per risolvere i problemi del tipo:

Che numero deve stare al posto della $x$ se: $x+23=75$
Che numero deve stare al posto della $x$ se: $23+x=75$

Che numero deve stare al posto della $x$ se: $x-54=12$
Che numero deve stare al posto della $x$ se: $54-x=12$

Vediamo come affrontare questi problemi con questa relazione.

Caso 1/2

I primi due casi, $x+23$ e $23+x$ , sono esattamente lo stesso caso, questo a livello teorico segue dalla proprietà commutativa dell’addizione che ci dice che invertendo l’ordine degli addendi la somma non cambia, pertanto li analizzeremo come unico caso.

La domanda, posta in italiano, consiste nel capire che numero bisogna sommare al numero 23 per ottenere come risultato 54, quindi risulta chiaro dalla proprietà vista prima (attenzione che la proprietà è letta al contrario cioè da destra a sinistra) che

$x+23=54 \:allora\: x=54-23$

Infatti facendo un disegno risulta chiaro

se il segmento nero (54) è uguale a quello rosso ( $x$ ) più quello blu (23) allora il segmento rosso lo potrò ottenere facendo quello nero meno quello blu.

Caso 3

Il caso 3, cioè $x-54=12$ , utilizza esattamente la proprietà vista sopra, infatti

$x-54=12 \:perchè\: 54+12=x$

Ancora una volta un disegno è assolutamente chiarificatore

se al segmento nero ( $x$ ) togliamo il segmento rosso (54) e quello che rimane è il segmento blu (12) allora necessariamente il segmento nero è uguale alla somma tra il segmento rosso e quello blu.

Caso 4

Vediamo infine il caso 4, ossia $54-x=12$ , e anche qui utilizziamo esattamente la proprietà vista precedentemente, infatti

$54-x=12 \:perchè\: 12+x=54 \:da\;cui\;usando\;il\;caso\;1/2\: x=54-12$

Anche qui vediamo di spiegare il tutto attraverso un disegno

se il segmento nero (54) meno il segmento rosso ( $x$ ) è uguale al segmento blu (12) allora necessariamente anche il segmento rosso è uguale al segmento nero meno il segmento blu.

Approfondimento sulla risoluzione di esercizi del tipo $67+x-13=102$ .

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