Carla ha un orologio che rimane indietro . Questa mattina, lo ha messo a posto alle . Che ora farà il suo orologio domani mattina alle ?

Esercizio contenuto nella prova d’autunno del 2005

SVOLGIMENTO

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Il quaderno di Nando ha tutte le pagine numerate. Comincia con la pagina (quella della copertina) e poi prosegue, via via, fino al retro della copertina. Sfogliando le varie pagine e guardando la loro numerazione, Nando legge la cifra “” esattamente . Quante pagine ha il quaderno di Nando?

Esercizio contenuto nella prova d’autunno del 2005

SVOLGIMENTO

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Abbiamo cominciato a scrivere il numero nella griglia del disegno. Voi adesso dovete sistemare in qualche modo i numeri , , e nelle altre quattro caselle, in modo che la somma dei tre numeri della linea orizzontale sia uguale alla somma dei tre numeri della linea verticale.

Esercizio contenuto nella prova d’autunno del 2005

SVOLGIMENTO

Per risolvere questa tipologia di esercizi basta semplicemente tentare fino a che il risultato non torna (siccome le possibili configurazione sono davvero poche), per semplificare il tutto possiamo ragionare sul numero centrale che siccome appartiene ad entrambe le somme è “inutile”. In definitiva le due possibili soluzioni sono

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Nando ha davanti a se’ una griglia rettangolare (composta da caselle quadrate, alcune delle quali già annerite). Ogni volta che schiaccia il tasto “invia”, il programma che ha installato “conserva” le caselle già annerite e annerisce quelle che sono adiacenti (per un lato) a due caselle già annerite. Quante caselle, al minimo, devono risultare annerite già all’inizio perché il programma, dopo un certo numero di passaggi, riesca ad annerire tutte le caselle della griglia?

Esercizio contenuto nella prova a squadre 2016

SVOLGIMENTO

Questa tipologia di esercizi sono difficili da risolvere in maniera analitica, l’unica cosa che possiamo fare è cercare una configurazione che contenga “poche” caselle iniziali (dimostrare che non esiste una configurazione con meno caselle che soddisfa i requisiti dell’esercizio è tutta un’altra storia). Partendo con una configurazione di questo tipo (ad esempio)

sicuramente la griglia si completa totalmente. Quindi diciamo che il numero minimo è sei.

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Con la sua bici da corsa, Desiderio raggiunge l’amata Fausta in mentre a piedi ci metterebbe ! Anche sua sorella Liliana ha una bici (non da corsa) con la quale impiegherebbe a raggiungere Fausta; se fora la bici da corsa, Liliana può prestare al fratello la sua. Domani, Desiderio ha appuntamento con Fausta alle esatte e sa che, se non arriverà in tempo, Fausta non l’aspetterà e se ne andrà per sempre. Parte allora in tempo con la bici da corsa ma una foratura è sempre in agguato. In questo caso, Desiderio può continuare a piedi oppure tornare a piedi da dove è partito, prendere la bici di Liliana e raggiungere così Fausta. A che ora deve partire, al più tardi, Desiderio per essere sicuro di trovare Fausta?

Esercizio contenuto nella prova a squadre 2016

SVOLGIMENTO

La situazione peggiore che può capitare si verifica quando tornare indietro, prendere la bicicletta di Liliana e terminare il viaggio con quella è esattamente analogo a continuare il tragitto a piedi. Cerchiamo quindi di convertire questa situazione in un’equazione. Se chiamiamo un numero da a che descrive quanto tragitto è stato compiuto da Desiderio prima che fori, allora il tempo necessario per tornare indietro, prendere la bicicletta di Liliana e terminare il viaggio è

   

infatti rappresenta il tempo utilizzato con la bici da corsa prima di forare, il tempo necessario per tornare a casa a piedi e il tempo necessario per arrivare da Fausta con la bici di Liliana. Mentre il tempo necessario per continuare a piedi è

   

infatti ancora una volta rappresenta il tempo utilizzato con la bici da corsa prima di forare mentre rappresenta il tempo necessario per terminare il tragitto a piedi. Quindi per determinare ci basta risolvere:

   

   

   

Pertanto il tempo massimo che può impiegare desiderio sarà il tempo che impiegherebbe se forasse esattamente dove aver percorso il del tragitto, quindi

   

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Luca si diverte a scrivere i numeri (positivi) di tre cifre che risultano divisibili per e la somma delle cui cifre è uguale a . Quanti sono questi numeri?

Esercizio contenuto nella prova a squadre 2016

SVOLGIMENTO

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Il numero di sei cifre (dove le lettere e indicano due cifre diverse) è un multiplo di . Quanto vale al minimo ?

Esercizio contenuto nella prova del 2020

SVOLGIMENTO

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Angelo si diverte scrivendo un numero pari, poi diminuendolo di e scrivendo il risultato sotto il primo numero. In seguito, ripete queste operazioni: calcola la somma dei numeri scritti, diminuisce questa somma di e scrive il nuovo numero così ottenuto sotto quelli già scritti. Se l’ultimo numero scritto è , qual era il primo numero di Angelo?

Esercizio contenuto nella prova del 2020

SVOLGIMENTO

Se chiamiamo il primo numero pari che scegliamo possiamo osservare che la sequenza di numeri sarà:

   

quindi se dopo passi (esclusi i due passi e ) arrivo al numero vuol dire che

   

quindi necessariamente e per cui il numero di partenza è .

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Linda e Luca hanno oggi deciso di preparare dei biscotti e in cucina hanno trovato uno stampo per cui i biscotti, quando usciranno dal forno, avranno la forma indicata in figura. La parte centrale è un cerchio di diametro , mentre, nella regione più in alto e in quella più in basso, i segmenti che escono dall’angolo retto sono tangenti alla circonferenza che delimita la parte centrale del biscotto.

Quanto vale l’area in di un biscotto? (Utilizzate al posto di e arrotondate il risultato al più vicino)

Esercizio contenuto nella prova del 2020

SVOLGIMENTO

La difficoltà dell’esercizio consiste nel gestire l’area dei due “dentini” sopra e sotto. Possiamo osservare che tali dentini si possono ottenere partendo dal quadrato grande togliendogli il cerchio, ossia

Pertanto per calcolare l’area di un singolo “dentino” posso fare

   

A questo punto l’area dei biscotti la possiamo ottenere partendo dall’area del quadrato e togliendo due “dentini” o dall’area del cerchio aggiungendo due “dentini”. Utilizziamo l’area del quadrato che è più semplice a livello di calcolo

   

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Qual è il più grande numero intero che potete sostituire al posto di in modo che l’espressione sia esattamente uguale a ?

Esercizio contenuto nella prova del 2020

SVOLGIMENTO

L’esercizio sostanzialmente ci chiede di risolvere l’equazione fratta

   

da cui, imponendo diverso da e moltiplicando per , otteniamo l’equazione di secondo grado

   

che ha soluzioni

   

da cui

   

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