Osserviamo che i quadrati non devono essere tutti diversi, ma non devono essere tutti uguali. I modi per suddividere in nove quadrati il quadrato di partenza sono diversi, ad esempio

Siccome un quadrato grande di dimensione non possiamo inserirlo (altrimenti rimarrebbero fuori quadratini di lato ) la risposta è .

Il resto che ottiene Jacopo è di mentre il resto che avrebbe dovuto ottenere è di , pertanto Jacopo con questo errore guadagna .

La differenza tra due numeri è massima quando il primo termine della sottrazione (minuendo) è il più grande possibile e il secondo termine della sottrazione (sottraendo) è il più piccolo possibile. Con le quattro cifre a nostra disposizione questa situazione si verifica con la sottrazione

   

La domanda ci chiede quanti triangoli equilateri di lato riusciamo a costruire utilizzando cento segmenti lunghi . La strategia per costruire il maggior numero di triangoli possibili è quella di fare in modo che i lati di ogni triangolo siano coinvolti in più triangoli contemporaneamente, quindi la struttura dovrà crescere in questo modo:

dove la configurazione successiva si ottiene aggiungendo lo strato esterno di triangoli. Una volta capito questo è facile vedere che con cento segmenti si riescono a costruire esattamente triangoli equilateri.

Chiamiamo i due numeri di tre cifre e , per cui dobbiamo risolvere l’equazione

   

Una volta visto questo sappiamo che

   

per cui possiamo restringere enormemente le casistiche. Supponiamo che e , questo è un sistema in due equazioni e due incognite che ci da come soluzione e che quindi non va bene perchè non hanno tre cifre. Proviamo e , questo sistema in due equazioni e due incognite ha come soluzione e che quindi sono due soluzioni valide. Vediamo se anche l’ultima configurazione ci fornisce due soluzioni valide, quindi supponiamo che e , allora questo sistema ha come soluzione e che sono altre due soluzioni valide.

I triangoli e sono due triangoli simili, infatti hanno tre angoli congruenti, pertanto

   

   

A questo punto, tracciando la parallela a passante per , ossia

si forma un altro triangolo rettangolo che è simile ai due triangoli considerati in precedenza. Pertanto determinare ci permette di terminare l’esercizio. Trovare è un classico esercizio di geometria piana, cioè determinare l’altezza relativa all’ipotenusa di un triangolo rettangolo di cui si conoscono i due cateti e quindi otteniamo

   

da cui . A questo punto possiamo terminare l’esercizio sapendo che

   

Una prima strategia potrebbe essere quella di scriverli tutti. Mentre li scriviamo è facile vedere la regola che ci permetterà di velocizzare molto la nostra soluzione. Il numero più piccolo possibile è il , infatti per ottenerlo bisogna posizionare le cifre più alte nelle posizioni più a destra, andando avanti possiamo scrivere tutti i numeri che iniziano con la cifra

20468	20486	20648	20684	20846	20864	24068	24086
24608	24680	24806	24860	26048	26084	26408	26480
26804	26840	28046	28064	28406	28460	28604	28640

Una volta elencati questi 24 numeri notiamo che i prossimi 24 saranno costruiti nello stesso modo avendo come prima cifra il , i 24 successivi invece avranno come prima cifra il e così via. Siccome vogliamo sapere quale sia il 50.esimo numero ci basta indagare quale sia il secondo numero più piccolo che inizia con la cifra . Sicuramente il più piccolo (49.esimo nella nostra lista) è e quello dopo è .

Se chiamiamo e rispettivamente il numero di mattonelle nere e il numero di mattonelle bianche allora possiamo scrivere attraverso un’equazione la formula che ci permette di calcolare e . Per quanto riguarda le mattonelle bianche dobbiamo semplicemente calcolare l’area del rettangolo bianco, per cui:

   

dove e sono le due dimensioni della terrazza. Per ricavare invece le mattonelle scure sottraiamo a tutte le mattonelle totali le mattonelle bianche, ossia:

   

Per cui se vogliamo che sia uguale a dobbiamo risolvere l’equazione

   

Una volta determinato questo lavoriamo inserendo “casualmente” una delle due dimensioni e determinando l’altra. Ad esempio, se allora la condizione diventerebbe

   

facendo un paio di tentativi si nota che le uniche scelte di che determinano un intero sono , infatti

   

e che viene

   

Ci troviamo di fronte a un classico sistema in due equazioni e due incognite, infatti chiamando e i due numeri, sappiamo che:

   

   

A questo punto lavoriamo sulla seconda equazione e abbiamo che

   

   

   

da cui, unendo anche le informazioni contenute nella prima equazione, otteniamo l’equazione di secondo grado

   

che ha soluzioni

   

da cui vengono fuori le due soluzioni dell’esercizio che sono e . Osserviamo che per ottenere questa bisogna fare diverse operazioni in colonna visto che nella prova non si può utilizzare la calcolatrice, quella più complessa è senza dubbio l’estrazione della radice quadrata, nonostante questo (tenendo presente che l’esercizio sappiamo tornare) possiamo determinare la radice facendo dei quadrati.

Per trovare le possibili soluzioni possiamo andare a tentativi, rendendoci però conto che necessariamente uno dei due numeri dovrà essere più piccolo di e l’altro più grande di , altrimenti non potrebbe mai succedere che

   

Pertanto immaginiamoci che il primo numero sia , allora la nostra condizione diventa

   

quindi una coppia di soluzioni è la coppia . Supponiamo ora invece che , allora la condizione diventa

   

quindi la seconda coppia di soluzioni è la coppia . Supponiamo ora invece che , allora la condizione diventa

   

quindi la terza coppia di soluzioni è la coppia . Supponiamo ora invece che , allora la condizione diventa

   

quindi la quarta coppia di soluzioni è la coppia . Supponiamo ora invece che , allora la condizione diventa

   

quindi la quinta e ultima coppia di soluzioni è la coppia .