Iniziamo il nostro ragionamento cercando di capire che caratteristiche devono avere i numeri che inseriamo nei vari cerchi. Se osserviamo i cerchi in alto a sinistra vediamo che nel quadrato abbiamo già , quindi i due numeri che vanno aggiunti devono avere come somma , pertanto o sono oppure . Un ragionamento simile si può fare in basso a sinistra e riusciamo a capire che quei due numeri devono essere necessariamente . Notiamo anche che nonostante siamo riusciti a capire esattamente che nei cerchi in alto a sinistra ci vadano i numeri e e in quelli in basso a sinistra e non ne sappiamo ancora l’ordine. Una volta fatto questo ragionamento osserviamo che i numeri che ci sono rimasti sono , , . Cerchiamo di completare il quadrato in alto a destra, abbiamo già il numero l’unico modo per ottenere usando due tra , e e uno tra e è usare , e . A questo punto i tre numeri che completano il quadrato in basso a destra sono , e . Quindi la configurazione finale è

e pertanto il numero cercato è il .

Questa tipologia di esercizi si risolve generalmente lavorando a tentativi, come sempre i tentativi che facciamo non devono essere completamente casuali, ma dobbiamo utilizzare le (poche) informazioni che ci vengono fornite per ridurre i tentativi. Ad esempio possiamo notare che nella cifra delle unità del primo fattore non possiamo metterci il , infatti non abbiamo il tra le nostre cifre e quindi non potremmo completare il risultato. Osserviamo anche che la cifra delle decine del primo fattore non può avere il riporto, altrimenti la cifra delle centinaia del risultato non potrebbe essere , quindi quella cifra è obbligata ad essere un . Come ultima informazione utile osserviamo che le coppie di e le coppie di devono essere usate (con molto probabilità) nella stessa posizione, infatti e . Utilizzando queste informazioni e facendo pochissimi tentativi si arriva alla moltiplicazione cercata che è

La prima frase e la quinta (così come la seconda e la quarta) non possono essere contemporaneamente vere in quanto dicono cose contrapposte tra loro. La terza e la sesta frase invece non sono in contrasto e possono tranquillamente essere entrambe vere. Pertanto, siccome dobbiamo determinare quante frasi possono essere vere al massimo, abbiamo una frase tra la prima e la quinta, una frase tra la seconda e la quarta e poi la terza e la sesta, pertanto ne abbiamo al massimo quattro.

Risolviamo l’esercizio andando a ritroso dal numero , più grande numero che Milena può scrivere, fino a trovare un numero che soddisfi le condizioni richieste.

Primo numero	Secondo numero	Terzo numero	Quarto numero

Quindi il numero cercato è il .

Vediamo se è possibile ottenere la cifra di con sei monete, facendo ottengo la cifra cercata con sei monete. Vediamo ora se riusciamo ad ottenere quella cifra con sette monete, facendo ottengo la cifra cercata. Vediamo se riusciamo ad ottenere la cifra cercata con otto monete. Sicuramente una delle monete non potrebbe essere , infatti in quel caso rimarrebbero che dovrebbero essere ottenuti con sette monete. Vediamo ora che questo non può succedere, infatti se una delle sette monete fosse da i restanti non possono essere ottenuti con sei monete da . Con una sola moneta da non possiamo raggiungere la cifra cercata, infatti se mettessimo cinque monete da raggiungeremmo la cifra con sette monete, se invece mettessimo solamente quattro monete da raggiungeremmo la cifra con dieci monete. Vediamo se riusciamo a raggiungere la cifra cercata con due monete da , in questo caso dovremmo riuscire ad ottenere con sei monete, ma abbiamo già visto prima (quando parlavamo della moneta da ) che li possiamo raggiungere con cinque monete, con otto monete oppure con undici monete, ma non con sei. Quindi otto è la risposta cercata.

Il numero iniziale scelto da Milena non può essere più grande di , infatti se fosse maggiore o uguale a il numero di tre cifre ottenuto sarebbe sopra al e quindi non potrebbe mai arrivare a sottraendogli un numero di due cifre. Inoltre il numero non può essere minore di , infatti se fosse o minore il numero di tre cifre che si ottiene sarebbe tra il e il . In definitiva la cifra delle decine scelta da Milena deve essere .

Cerchiamo di capire che cammino fa Jacob colorando il percorso corretto sul labirinto. Vediamo che il percorso definitivo sarà il seguente

quindi la risposta è F.

Per rispondere a questa domanda ci basta svolgere le addizioni, una volta svolte le addizioni vediamo che mentre pertanto la risposta corretta è .

Il numero di divisori dipende esclusivamente dalla fattorizzazione in fattori primi. In particolare per avere un gran numero di divisori bisogna che la fattorizzazione contenga tanti fattori primi (anche se uguali, ad esempio ). Ricordiamo anche che a priori non esiste una formula per determinare il numero di divisori quindi per risolvere questo esercizio dovremo usare tanta pazienza e alcune strategie per ridurre il numero di tentativi. La strategia che utilizziamo è quella di costruire il numero partendo dalla sua fattorizzazione prima, quindi facciamo innanzitutto a questo punto il primo successivo al sarebbe l’, ma facendo saremmo già in un numero compreso tra il e il , quindi decidiamo di moltiplicare ancora per fattori primi già usati, in particolare facciamo (notiamo che non posso moltiplicare solamente per perché passerei dal numero al numero che non mi vanno bene) e questo, per come è stato ottenuto, è sicuramente il numero cercato.

Per passare da una struttura alla struttura successiva il punto aggiuntivo che dobbiamo aggiungere deve essere al centro di uno dei triangoli che già abbiamo, cioè

infatti in questo modo aggiungiamo due triangoli ogni volta che aggiungiamo un punto. Osservato questo è facile determinare la formula che ci permette di contare il numero di triangoli, infatti dopo la configurazione con quattro punti ogni volta che aggiungiamo un punto i triangoli aumentano di due, pertanto se è il numero dei punti la formula è