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Giochi matematici

Esercizio 94 giochi matematici scuole medie – Esercizi svolti – MATEMATICA

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Lanciando alcune freccette sul bersaglio, Mirna ha ottenuto $24\:punti$ . Quante freccette ha lanciato al minimo?

Esercizio contenuto nella prova d’autunno del 2023

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Esercizio 93 giochi matematici scuole superiori – Esercizi svolti – MATEMATICA

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Dividete un triangolo equilatero in due triangoli in modo che questi abbiano tutti i loro lati misurati da un numero intero di $cm$ . Qual è, al minimo, la lunghezza del lato del triangolo iniziale?

Esercizio contenuto nella prova della finale italiana del 2016

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Per dividere un triangolo in due triangoli bisogna disegnare un segmento che parta da uno dei vertici e arrivi sul lato opposto, pertanto necessariamente il lato del triangolo iniziale (che sarà anche lato dei triangoli che si ottengono dopo) dovrà essere un numero intero maggiore o uguale a $2\:cm$ . Quindi proviamo a dividere tutti i triangoli con lato maggiore uguale a $2\:cm$ fino a che non troviamo il triangolo cercato.
$l=2\:cm$

Abbiamo un unico modo di dividere questo triangolo equilatero in due, ma questi triangoli non hanno tutti i lati interi, infatti l’altezza del triangolo di partenza la possiamo calcolare con il teorema di Pitagora

$h=\sqrt{(2\:cm)^2-(1\:cm)^2}\approx 1,7\:cm$

$l=3\:cm$

Anche in questo caso abbiamo un unico modo per dividere il triangolo di partenza, l’unica differenza dal caso precedente è che per calcolare il lato mancante non possiamo utilizzare il teorema di Pitagora su uno di questi due triangoli, ma dobbiamo prima calcolare l’altezza del triangolo grande e poi utilizzare il teorema di Pitagora sul triangolino formato dall’altezza e dal segmento disegnato, cioè

$h^2=(3\:cm)^2-(1,5\:cm)^2$

$l=\sqrt{h^2+(0,5\:cm)^2}=\sqrt{(3\:cm)^2-(1,5\:cm)^2+(0,5\:cm)^2}\approx 2,6\:cm$

$l=4\:cm$

Qui abbiamo due modo per dividere il triangolo di partenza, nel primo modo bisogna utilizzare la strategia vista precedentemente per determinare il lato, mentre nel secondo modo si utilizza il teorema di Pitagora per determinare l’altezza del triangolo grande. In entrambi i casi i due numeri sono numeri con la virgola.

Si procede in questo modo fino a trovare la soluzione cercata che è $l=8\:cm$ , vediamo subito questa.

Questo triangolo lo possiamo dividere in quattro modi, nei primi tre casi dobbiamo usare la strategia con il doppio teorema di Pitagora, mentre nell’ultimo un solo teorema. Vediamo i vari casi, innanzitutto calcoliamo calcoliamo l’altezza del triangolo equilatero che ci servirà in tutti e quattro i casi

$h^2=(8\:cm)^2-(4\:cm)^2=48\:cm^2$

da cui capiamo subito che l’ultima suddivisione non va bene perchè verrebbe $h\approx 6,9\:cm$ . Vediamo ora gli altri casi

$l_1=\sqrt{h^2+(3\:cm)^2}=\sqrt{57\:cm^2}\approx 7,5\:cm$

$l_2=\sqrt{h^2+(2\:cm)^2}=\sqrt{52\:cm^2}\approx 7,2\:cm$

$l_3=\sqrt{h^2+(1\:cm)^2}=\sqrt{49\:cm^2}=7\:cm$

Pertanto la soluzione cercata è la terza.

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Esercizio 92 giochi matematici scuole superiori – Esercizi svolti – MATEMATICA

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In figura vedete scritti in un certo modo i primi numeri interi non negativi. Qual è la somma dei primi cento numeri scritti in grassetto?

Esercizio contenuto nella prova della finale italiana del 2016

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Esercizio 91 giochi matematici scuole superiori – Esercizi svolti – MATEMATICA

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Nando vuole disegnare su un foglio quadrato di carta lo sviluppo di un cubo in modo che sia il più grande possibile. Comincia allora a considerare il caso in cui il segmento che individua l’asse di simmetria dello sviluppo del cubo è parallelo a un lato del foglio e la sua lunghezza coincide con quella del lato del foglio di carta. Poi si domanda se non può fare di meglio (aumentare le dimensioni dello sviluppo) collocando quest’asse su una diagonale del foglio. In questo modo, di quale percentuale aumenta al massimo il lato del cubo sviluppato sul foglio di carta? Se necessario, nel risultato sostituite $1,414$ al posto di $\sqrt 2$ e arrotondate la percentuale finale all’unità più vicina (ad esempio, se il risultato fosse $37,69\%$ , scrivete $38\%$ ).

Esercizio contenuto nella prova della finale italiana del 2016

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Esercizio 90 giochi matematici scuole superiori – Esercizi svolti – MATEMATICA

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Molti numeri di due cifre si possono scrivere come somma di due numeri primi. Quale numero di due cifre ammette il più grande numero di decomposizioni di questo tipo (somma di due numeri primi)?

Esercizio contenuto nella prova della finale italiana del 2016

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Esercizio 89 giochi matematici scuole superiori – Esercizi svolti – MATEMATICA

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Si è svolto recentemente un importante summit interplanetario a cui hanno partecipato la delegazione dei marziani e quella dei terrestri. I marziani hanno due gambe come i terrestri (compresi i piedi e le loro dieci dita) ma non hanno lo stesso numero di mani dei terrestri e una loro mano non ha lo stesso numero di dita (dei terrestri). Al summit, la delegazione dei marziani si è presentata con $6$ componenti in più di quella dei terrestri. Inoltre, il numero totale di dita delle mani e dei piedi della delegazione marziana è inferiore di $1$ unità al corrispondente numero della delegazione terrestre. Quanti erano in totale i partecipanti al summit?

Esercizio contenuto nella prova della finale italiana del 2016

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Esercizio 88 giochi matematici scuole superiori – Esercizi svolti – MATEMATICA

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Cinque numeri interi relativi sono tali che le dieci somme che si ottengono addizionandoli a tre a tre in tutti i modi possibili valgono $3$ , $4$ , $6$ , $7$ , $9$ , $10$ , $11$ , $14$ , $15$ , $17$ . Quali sono il più piccolo e il più grande di questi cinque numeri?

Esercizio contenuto nella prova della finale italiana del 2016

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Esercizio 87 giochi matematici scuole superiori – Esercizi svolti – MATEMATICA

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Dopo aver coperto a velocità costante metà della distanza che separa Math-landia dall’isola di Mate, capitan Renato decide di aumentare la velocità del suo traghetto del $25\%$ . Il traghetto arriva così a destinazione mezz’ora prima del previsto. Quanti minuti è durata in totale la traversata?

Esercizio contenuto nella prova della finale italiana del 2016

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Esercizio 86 giochi matematici scuole medie e superiori – Esercizi svolti – MATEMATICA

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Quello che vedete in figura è un esempio di quadrato semi-magico: utilizzando tutti i numeri interi da $1$ a $9$ , presenta la stessa somma ( $15$ ) su ciascuna riga e su ciascuna colonna. Non è magico perché le due diagonali presentano invece due somme ( $18$ e $6$ ) diverse da $15$ ; in questo caso la somma di queste due somme dà un totale di $24$ . Qual è il più grande totale che si può ottenere addizionando le somme degli elementi delle due diagonali di un quadrato semi-magico?

Esercizio contenuto nella prova della finale italiana del 2016

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Esercizio 85 giochi matematici scuole medie e superiori – Esercizi svolti – MATEMATICA

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Nel cronometro di Carla ciascuna cifra si “accende” tramite un certo numero di barrette illuminate, come vedete per le cifre riportate in figura (sei barrette per $0$ , due barrette per $1$ , cinque barrette per $2$ ecc.). Tra i secondi $00$ e $59$ , quante volte vedete acceso un numero di barrette uguale alla somma delle due cifre dei secondi?

Esercizio contenuto nella prova della finale italiana del 2016

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$n$	1	2	3	4	5	6	7	8	9
$S(n)$	0	2	7	16	30	50	77	112	156
relazione			${n\over 3}\cdot 7$	${n\over 3}\cdot 12$	${n\over 3}\cdot 18$	${n\over 3}\cdot 25$	${n\over 3}\cdot 33$	${n\over 3}\cdot 42$	${n\over 3}\cdot 52$

Numero	Decomposizioni	Numero di decomposizioni
$10$		$0$
$11$		$0$
$12$	$5+7$	$1$
$13$	$11+2$	$1$
$14$	$11+3=7+7$	$2$
$15$	$13+2$	$1$
$16$	$13+3=11+5$	$2$
$17$		$0$
$18$	$13+5=11+7$	$2$
$19$	$17+2$	$1$
$20$	$17+3=13+7$	$2$
$21$	$19+2$	$1$
$22$	$19+3=5+17=13+9=11+11$	$4$
$23$		$0$
$24$	$19+5=17+7=13+11$	$3$
$25$	$23+2$	$1$
$26$	$23+3=19+7=13+13$	$3$
$27$		$0$
$28$	$23+5=17+11$	$2$
$29$		$0$
$30$	$23+7=19+11=17+13$	$3$
$31$	$29+2$	$1$
$32$	$29+3=19+13$	$2$
$33$	$31+2$	$1$
$34$	$31+3=29+5=23+11=17+17$	$4$
$35$		$0$
$36$	$31+5=29+7=23+13=17+19$	$4$
$37$		$0$
$38$	$31+7=19+19$	$2$
$39$	$37+2$	$1$

$40$	$37+3=29+11$	$2$
$42$	$37+5=31+11=29+13=23+19$	$4$
$44$	$41+3=37+7=31+13$	$3$
$46$	$43+3=41+5=29+17=23+23$	$4$
$48$	$43+5=41+7=37+11=31+17=19+29$	$5$
$50$	$47+3=43+7=37+13=31+19$	$4$
$52$	$47+5=41+11=29+23$	$3$
$54$	$47+7=43+11=41+13=37+17=31+23$	$5$
$56$	$53+3=43+13=37+19$	$3$
$58$	$53+5=47+11=41+17=29+29$	$4$
$60$	$53+7=47+13=43+17=41+19=37+23=29+31$	$6$
$62$	$59+3=43+19=31+31$	$3$
$64$	$61+3=59+5=53+11=47+17=41+23$	$5$
$66$	$61+5=59+7=53+13=47+19=43+23=37+29$	$6$
$68$	$61+7=37+31$	$2$
$70$	$67+3=59+11=53+17=47+23=41+29$	$5$
$72$	$67+5=61+11=59+13=53+19=43+29=41+31$	$6$
$74$	$71+3=67+7=61+13=43+31=37+37$	$5$
$76$	$73+3=71+5=59+17=53+23=47+29$	$5$
$78$	$73+5=71+7=67+11=61+17=59+19=47+31=41+37$	$7$
$80$	$73+7=67+13=61+19=43+37$	$4$
$82$	$79+3=71+11=59+23=53+29=41+41$	$5$
$84$	$79+5=73+11=71+13=67+17=61+23=53+31=47+37=43+41$	$8$
$86$	$83+3=79+7=73+13=67+19=43+43$	$5$
$88$	$83+5=71+17=59+29=47+41$	$4$
$90$	$83+7=79+11=73+17=71+19=67+23=61+29=59+31=53+37=43+47$	$9$
$92$	$89+3=79+13=73+19=61+31$	$4$
$94$	$89+5=83+11=71+23=53+41=47+47$	$5$
$96$	$89+7=83+13=79+17=73+23=67+29=59+37=53+43$	$7$
$98$	$79+19=67+31=61+37$	$3$

Numero	somma cifre secondi	barrette illuminate
$00$	$0+0=0$	$6+6=12$
$01$	$0+1=1$	$6+2=8$
$02$	$0+2=2$	$6+5=11$
$03$	$0+3=3$	$6+5=11$
$04$	$0+4=4$	$6+4=10$
$05$	$0+5=5$	$6+5=11$
$06$	$0+6=6$	$6+6=12$
$07$	$0+7=7$	$6+3=9$
$08$	$0+8=8$	$6+7=13$
$09$	$0+9=9$	$6+6=12$
$10$	$1+0=1$	$2+6=8$
$11$	$1+1=2$	$2+2=4$
$12$	$1+2=3$	$2+5=7$
$13$	$1+3=4$	$2+5=7$
$14$	$1+4=5$	$2+4=6$
$15$	$1+5=6$	$2+5=7$
$16$	$1+6=7$	$2+6=8$
$17$	$1+7=8$	$2+3=5$
$18$ NUMERO CERCATO	$1+8=9$	$2+7=9$
$19$	$1+9=10$	$2+6=8$
$20$	$2+0=2$	$5+6=11$
$21$	$2+1=3$	$5+2=9$
$22$	$2+2=4$	$5+5=10$
$23$	$2+3=5$	$5+5=10$
$24$	$2+4=6$	$5+4=9$
$25$	$2+5=7$	$5+5=10$
$26$	$2+6=8$	$5+6=11$
$27$	$2+7=9$	$5+3=8$
$28$	$2+8=10$	$5+7=12$
$29$ NUMERO CERCATO	$2+9=11$	$5+6=11$
$30$	$3+0=3$	$5+6=11$
$31$	$3+1=4$	$5+2=7$
$32$	$3+2=5$	$5+5=10$
$33$	$3+3=6$	$5+5=10$
$34$	$3+4=7$	$5+4=9$
$35$	$3+5=8$	$5+5=10$
$36$	$3+6=9$	$5+6=11$
$37$	$3+7=10$	$5+3=8$
$38$	$3+8=11$	$5+7=12$
$39$	$3+9=12$	$5+6=11$
$40$	$4+0=4$	$4+6=10$
$41$	$4+1=5$	$4+2=8$
$42$	$4+2=6$	$4+5=9$
$43$	$4+3=7$	$4+5=9$
$44$ NUMERO CERCATO	$4+4=8$	$4+4=8$
$45$ NUMERO CERCATO	$4+5=9$	$4+5=9$
$46$ NUMERO CERCATO	$4+6=10$	$4+6=10$
$47$	$4+7=11$	$4+3=7$
$48$	$4+8=12$	$4+7=11$
$49$	$4+9=13$	$4+6=10$
$50$	$5+0=5$	$5+6=11$
$51$	$5+1=6$	$5+2=7$
$52$	$5+2=7$	$5+5=10$
$53$	$5+3=8$	$5+5=10$
$54$ NUMERO CERCATO	$5+4=9$	$5+4=9$
$55$ NUMERO CERCATO	$5+5=10$	$5+5=10$
$56$ NUMERO CERCATO	$5+6=11$	$5+6=11$
$57$	$5+7=12$	$5+3=8$
$58$	$5+8=13$	$5+7=12$
$59$	$5+9=14$	$5+6=11$