Se analizziamo la salita della lumaca possiamo notare che in sale solamente di , infatti nella prima ne sale tre e poi ne riperde due nella seconda. Quindi la lumaca salirà i primi in , una volta arrivata a questo punto qua le mancano solamente da salire, pertanto nell’ora successiva riuscirà ad arrivare in cima al pozzo, quindi se deve salire per ci metterà .

Per il livello delle scuole medie la tecnica migliore per risolvere questo esercizio è costruirsi una tabella e andare a tentativi, vediamo come possiamo costruire questa tabella

Desiderio (sei volte quelle di Liliana)	Jacob (il doppio di Marco)	Liliana	Marco	Somma caramelle (che deve essere 24)
6	2	1	1	10
6	4	1	2	13
12	4	2	2	20
12	2	2	1	17
6	6	1	3	16
12	6	2	3	23
18	6	3	3	30
18	4	3	2	27
18	2	3	1	24

quindi Desiderio ha 18 caramelle. L’unica attenzione che dobbiamo fare risolvendo l’esercizio in questo modo è partire dal numero di caramelle di Liliana e Marco e procedere via via senza scordarsi delle possibili configurazioni.

Seguendo le particolarità di questa figura (i due dentini che ci sono in alto a destra e in basso a sinistra) si arriva a pensare a una suddivisione di questo tipo

Quindi nel foglio delle risposte dobbiamo scrivere , cioè la somma di tutti i numeri della regione arancione.

Risulta relativamente facile completare la figura con le tessere A-B-D-E, pertanto quella con cui Nadia non riesce è la lettera C.

La risposta cercata è la numero 3. Infatti un libro con la copertina gialla e un libro con la copertina rossa potrebbero esistere nella biblioteca (ovviamente dovrebbero essere romanzi con meno di 100 pagine). Anche un libro con la copertina verde di 85 pagine potrebbe esserci. Mentre un libro con la copertina arancione di 120 pagine non ci può essere, infatti tale libro o è una raccolta di giochi matematici, che hanno tutti la copertina bianca, oppure è un romanzo con più di 100 pagine, che quindi hanno anche loro la copertina bianca.

Siccome ci domandano il numero minimo di freccette che Mirna può aver lanciato, vuol dire che il punteggio che Mirna ha fatto per ogni lancio deve essere il più alto possibile. Pertanto immaginiamo che Mirna i primi due lanci abbia fatto quindi per completare i mancanti le servirebbero altre tre freccette in maniera tale da utilizzare cinque freccette totali. Vediamo però che questa non è la configurazione cercata, infatti se Mirna facesse con solamente la prima freccetta allora le mancherebbero ottenibili con tre lanci. Quindi la risposta corretta è quattro freccette ().

Per dividere un triangolo in due triangoli bisogna disegnare un segmento che parta da uno dei vertici e arrivi sul lato opposto, pertanto necessariamente il lato del triangolo iniziale (che sarà anche lato dei triangoli che si ottengono dopo) dovrà essere un numero intero maggiore o uguale a . Quindi proviamo a dividere tutti i triangoli con lato maggiore uguale a fino a che non troviamo il triangolo cercato.

Abbiamo un unico modo di dividere questo triangolo equilatero in due, ma questi triangoli non hanno tutti i lati interi, infatti l’altezza del triangolo di partenza la possiamo calcolare con il teorema di Pitagora

   

Anche in questo caso abbiamo un unico modo per dividere il triangolo di partenza, l’unica differenza dal caso precedente è che per calcolare il lato mancante non possiamo utilizzare il teorema di Pitagora su uno di questi due triangoli, ma dobbiamo prima calcolare l’altezza del triangolo grande e poi utilizzare il teorema di Pitagora sul triangolino formato dall’altezza e dal segmento disegnato, cioè

   

   

Qui abbiamo due modo per dividere il triangolo di partenza, nel primo modo bisogna utilizzare la strategia vista precedentemente per determinare il lato, mentre nel secondo modo si utilizza il teorema di Pitagora per determinare l’altezza del triangolo grande. In entrambi i casi i due numeri sono numeri con la virgola.

Si procede in questo modo fino a trovare la soluzione cercata che è , vediamo subito questa.

Questo triangolo lo possiamo dividere in quattro modi, nei primi tre casi dobbiamo usare la strategia con il doppio teorema di Pitagora, mentre nell’ultimo un solo teorema. Vediamo i vari casi, innanzitutto calcoliamo calcoliamo l’altezza del triangolo equilatero che ci servirà in tutti e quattro i casi

   

da cui capiamo subito che l’ultima suddivisione non va bene perchè verrebbe . Vediamo ora gli altri casi

   

   

   

Pertanto la soluzione cercata è la terza.

Ancora una volta non è impossibile determinare la somma sommando effettivamente tutti e i numeri, tuttavia proviamo a vedere se è possibile trovare una formula. Vediamo che la successione dei numeri che dobbiamo sommare è del tipo , , , , , , , ecc, quindi progressivamente si somma prima poi poi e così via. Proviamo a cercare una relazione tra la successione delle somme, quando sommiamo i primi due numeri abbiamo , quando sommiamo i primi tre , poi , poi , poi , poi , poi quindi se mettiamo tutto all’interno di una tabella vediamo che

	1	2	3	4	5	6	7	8	9
	0	2	7	16	30	50	77	112	156
relazione

Da questa tabella è possibile vedere la formula che ci permetterà di determinare il risultato dell’esercizio. Infatti , , e così via, quindi la formula cercata è

   

da cui

   

Quando posizioniamo lo sviluppo del cubo con gli spigoli del cubo paralleli ai lati del quadrato (che ipotizziamo misuri ), come in figura,

allora lo spigolo massimo del cubo misura . Più difficile è capire se messo in diagonale lo sviluppo piano occupa perfettamente il quadrato. Per capirlo notiamo che la diagonale del quadrato misura pertanto lo spigolo dello sviluppo piano, per entrare in diagonale nel quadrato, dovrà essere . In queste condizioni lo sviluppo piano entra perfettamente dentro il quadrato, come mostrato in figura.

In definitiva abbiamo da una parte uno spigolo pari a mentre nella seconda configurazione abbiamo uno spigolo di che corrisponde ad un aumento del . Ricordiamo che tale aumento lo possiamo calcolare con la proporzione

   

da cui otteniamo (circa) .

Siccome i numeri da a sono relativamente pochi per risolvere questo esercizio possiamo determinare tutte le decomposizioni dei numeri di due cifre (notiamo che per fare questo esercizio è indispensabile sapere i numeri primi minori , tuttavia è abbastanza facile determinare tali numeri).

Numero	Decomposizioni	Numero di decomposizioni

Prima di proseguire vediamo che i numeri dispari hanno o una decomposizione oppure zero, questo dipende dal fatto che tutti i primi eccetto il numero sono dispari e pertanto quando andiamo a sommare due numeri dispari viene necessariamente un numero pari. Pertanto proseguendo la tabella non considereremo i numeri dispari.

Il numero cercato è sicuramente il siccome è possibile decomporlo utilizzando praticamente ogni primo minore di .