L’acquario di Jacopo ospita alcuni polpi, che hanno 8 braccia, e alcune stelle marine che hanno 5 braccia. Quante stelle marine ci sono nell’acquario di Jacopo, tenendo conto che il numero totale delle braccia di tutti gli animali dell’acquario è 23?
Esercizio contenuto nella prova d’autunno del 2024
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Con 2024 cubetti arancioni e 2024 cubetti verdi, Milena ha costruito una piramide seguendo questo procedimento: in alto, 1 cubetto di uno dei due colori; subito sotto, 4 cubetti dell’altro colore a formare un quadrato; a seguire, sempre scendendo, 9 cubetti del primo colore; poi 16 cubetti dell’altro ecc. continuando ad alternare i due colori. A un certo punto, dopo aver completato un ultimo piano della piramide, Milena si accorge di aver utilizzato tutti i 2024 cubetti arancioni. Quanti gliene restano di verdi?
Esercizio contenuto nella prova d’autunno del 2023
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Amerigo e Renato giocano con alcune biglie, blu o rosse, contenute in un sacchetto. Il gioco prevede che Amerigo estragga due biglie dal sacchetto e che vinca se le due biglie hanno lo stesso colore; altrimenti vince Renato. Qual è il numero massimo di biglie del sacchetto, compreso tra 2 e 24, sapendo che Amerigo e Renato hanno la stessa probabilità di vincere?
Esercizio contenuto nella prova d’autunno del 2023
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I triangoli che vedete in figura nella regione scura sono rettangoli e isosceli. I quattro quadrilateri bianche al centro sono dei rombi in cui la diagonale minore misura esattamente la metà della diagonale maggiore
Qual è il rapporto (sotto forma di una frazione irriducibile) della superficie bianca rispetto alla superficie totale del grande quadrato?
Esercizio contenuto nella prova d’autunno del 2023
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Nell’uguaglianza 
ogni lettera corrisponde sempre a una stessa cifra e due lettere diverse corrispondono sempre a due cifre diverse; inoltre, la prima cifra di ogni numero non può mai essere uguale a zero. Quanto vale al minimo 
?
Esercizio contenuto nella prova d’autunno del 2023
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I numeri interi positivi 
, 
e 
soddisfano l’uguaglianza:
![\[(2024-x)\cdot (2024-y)\cdot (2024-z)=1\]](https://www.brevilezioni.it/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-105fc9273da4f5d0801af4b2ef1872db_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
?
Esercizio contenuto nella prova d’autunno del 2023
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Nando ha diviso un numero di 4 cifre per un altro numero di 2 cifre. Nell’uguaglianza che vedete, le lettere A e B corrispondono a due cifre diverse, entrambe diverse da zero. Il calcolo di Nando è corretto, ma due macchie ci impediscono di vedere 2 cifre del risultato.
Quanto vale al massimo ABBA?
Esercizio contenuto nella prova d’autunno del 2023
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Una gallina matematica si trova davanti a un mucchio di 2024 uova che si mette a contare uno per uno, fino a quando ha finito di contarle. Ogni volta però che ha contato quattro uova, che mette da parte in un altro mucchio (quello delle uova già contate), ne depone uno nuovo nel mucchio delle uova ancora da contare. Alla fine, quante uova avrà contato?
Esercizio contenuto nella prova d’autunno del 2023
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Nel calendario di un anno di questo secolo, a partire dal primo venerdì di marzo e solamente a partire da quel giorno ma poi fino alla fine dell’anno, i giorni della settimana coincidevano curiosamente con quelli del futuro calendario del 2024. Per esempio, il 2 marzo è un sabato in tutti e due i calendari, il 3 marzo è una domenica in tutti e due i calendari e così via. Ricordando che siamo nel 2023, qual è l’anno più recente il cui calendario registra questo curioso fenomeno?
Esercizio contenuto nella prova d’autunno del 2023
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Nel suo borsellino, Luca ha 24 monete che vuole ordinare in diverse pile che contengano però monete dello stesso valore; da sinistra a destra, mette una sola moneta da 
, poi forma una pila con alcune monete da 
. poi ancora una pila con monete da 
e infine una pila con monete da 
. Ogni pila contiene un numero maggiore rispetto alla pila situata alla sua sinistra. Quale somma di denaro, al massimo, possiede Luca?
Esercizio contenuto nella prova d’autunno del 2023
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![\[5+5+5+8=23\]](https://www.brevilezioni.it/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-70128daa810b456f67d30f290ef46dc3_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
pertanto ne restano 
da posizionare.![\[x\cdot (x-1)+y\cdot (y-1)\]](https://www.brevilezioni.it/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-2b5d477ced5da0bb249ee2511d2eb54d_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
rappresenta il numero di casi in cui Amerigo estrae una pallina blu come prima estrazione (quindi 
scelte), stesso ragionamento per il termine 
. Mentre i numeri di casi in cui i le due biglie hanno colore diverso sono 
. Pertanto noi dobbiamo trovare due numeri naturali 
e che ![\[x\cdot (x-1)+y\cdot (y-1)=2xy\]](https://www.brevilezioni.it/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-b3ed6a35dd92048cade7bcf800ba1904_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[x^2-x+y^2-y-2xy=0\]](https://www.brevilezioni.it/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-b0a1e9b1b0dc6c39e8e811fb07ff4149_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
e cerchiamo di capire quale deve essere 
e 
e 
e 
e 
dell’altro.
. Una volta fatto questo possiamo determinare tutti i lati dei poligoni utilizzando il teorema di Pitagora (nella figura qui sotto non riportiamo tutti i lati ma solo alcuni)
, mentre l’area bianca è formata da quattro triangoli rettangoli e isosceli di cateto 
, poi quattro rombi di diagonale maggiore 
, infine la parte bianca all’interno della figura è la metà del quadrato centrale privato dei rombi, quindi ha area 
, quindi la frazione è 
.
sono 
e 
. Pertanto la somma ![\[2025+2025+2023=6073\]](https://www.brevilezioni.it/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-843bf63319785724c0af02abfa1237ec_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
, però con un attimo di ragionamento possiamo escludere alcune possibilità. Infatti ogni qualvolta B è un numero pari allora anche A lo deve essere, altrimenti ABBA sarebbe dispari e quindi non potrebbe essere divisibile per un numero pari. Una volta osservato questo cerchiamo di determinare ABBA in maniera tale che sia più grande possibile. Il numero più grande possibile è 
, però per quello detto prima 
è un numero con la virgola. Procediamo pertanto a controllarli tutti ![\[9779:77=127\]](https://www.brevilezioni.it/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-6381bb38433565c1373b418e98b1cc40_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
.
, attenzione però a non fare l’errore di dire che le uova contate dalla gallina sono 
, infatti mentre la gallina conta le 
uova in più deposte ancora ogni quattro uova ne depone un’altra, pertanto quando avrà contato le prime 
uova ne avrà deposte altre 
e quindi ne avrà ancora altre 
da contare, quando avrà contato queste ne avrà deposte altre 
, quando avrà contato queste ne avrà deposte altre 
e finalmente contate queste 
. Pertanto le uova complessive contate sono ![\[2024+506+126+32+8+2=2698\]](https://www.brevilezioni.it/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-d4720bd69e1cc57c6bc5598d52eac294_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
(oppure resto 2 nel caso di anno bisestile), se un anno il primo marzo è un venerdì allora l’anno prima è un giovedì (o un mercoledì se l’anno è bisestile). Osservato questo è facile fare una tabella per vedere quale è il primo anno del passato ad avere come primo giorno di marzo un venerdì
avrei un numero molto basso). Posta la prima monete rimangono 23 monete che devono essere messe in pile che abbiano sempre un numero di monete maggiori delle precedenti perciò, dopo la prima, le tre pile hanno rispettivamente 6 monete, 8 monete e 9 monete (infatti se la seconda pila avesse 7 monete ne servirebbero 24, ma noi ne abbiamo solamente 23). Quindi i soldi che Luca possiede al massimo sono ottenibili con la formula ![\[1\cdot 1\:euro+6\cdot 0,50\;euro+8\cdot 0,20\;euro+9\cdot 0,10\:euro=6,50\:euro\]](https://www.brevilezioni.it/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-de7bc71b7d880b588a734756e84c09be_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")