Desiderio ha nascosto il regalo per il suo amico Amerigo in una delle cinque scatole che vedete in figura (le altre sono vuote). Poi, su ciascuna di queste scatole ha attaccato un’etichetta, ma solo una di queste corrisponde alla realtà. In quale scatola si trova il regalo per Amerigo?

Esercizio contenuto nella prova d’autunno del 2024

SVOLGIMENTO

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Se disegniamo due circonferenze e una retta, otteniamo al massimo 6 punti di intersezione. Quanti punti di intersezione otteniamo al massimo disegnando due circonferenze e due rette? (Attenzione: bisogna contare le intersezioni tra le due rette, tra le due circonferenze e tra le rette e le circonferenze).

Esercizio contenuto nella prova d’autunno del 2024

SVOLGIMENTO

Considerando che lo schema con due circonferenze e una retta è la seguente

Il seguente schema con due rette e due circonferenze che ha 11 punti di intersezione è quello cercato

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Liliana ha le dodici carte che vedete in figura. Nel 2025, la prima data dell’anno che potrà formare con queste carte (utilizzandone due per il giorno, due per il mese e quattro per l’anno) sarà il 13 gennaio: 13 01 2025. Quale sarà l’ultima data del 2025 che potrà formare utilizzando otto di queste dodici carte?

Esercizio contenuto nella prova d’autunno del 2024

SVOLGIMENTO

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Scrivete i numeri 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8 nei cerchietti in modo che ciascun numero di un cerchietto grigio sia la somma dei numeri scritti nei due cerchietti bianchi a cui il cerchietto grigio è collegato. Quale numero, in particolare, avete scritto nel cerchietto indicato con x?

Esercizio contenuto nella prova d’autunno del 2024

SVOLGIMENTO

Partiamo posizionando i vari numeri, la strategia migliore è quella di partire dai numeri o molto bassi o molto alti in quanto i modi di scomporli come somma di due numeri sono minori. Partiamo dal numero 3 il quale è ottenibile esclusivamente come somma ; inoltre, siccome manca il numero 7, sappiamo anche come sono posizionati questi due numeri, ossia

da cui poi risulta facile posizionare tutti i numeri

Pertanto il numero cercato è 8.

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Aiutate Lavinia a completare la cornice del quadrato di sinistra con le sei tessere che vedere a destra, rispettando la regola del gioco del domino: due quadrati che si toccano devono contenere lo stesso numero di punti. In particolare, quanti sono i punti nel quadrato indicato con x?

Esercizio contenuto nella prova d’autunno del 2024

SVOLGIMENTO

L’unico modo che abbiamo per completare il domino in figura è il seguente

Quindi il numero cercato è il quattro.

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L’acquario di Jacopo ospita alcuni polpi, che hanno 8 braccia, e alcune stelle marine che hanno 5 braccia. Quante stelle marine ci sono nell’acquario di Jacopo, tenendo conto che il numero totale delle braccia di tutti gli animali dell’acquario è 23?

Esercizio contenuto nella prova d’autunno del 2024

SVOLGIMENTO

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Con 2024 cubetti arancioni e 2024 cubetti verdi, Milena ha costruito una piramide seguendo questo procedimento: in alto, 1 cubetto di uno dei due colori; subito sotto, 4 cubetti dell’altro colore a formare un quadrato; a seguire, sempre scendendo, 9 cubetti del primo colore; poi 16 cubetti dell’altro ecc. continuando ad alternare i due colori. A un certo punto, dopo aver completato un ultimo piano della piramide, Milena si accorge di aver utilizzato tutti i 2024 cubetti arancioni. Quanti gliene restano di verdi?

Esercizio contenuto nella prova d’autunno del 2023

SVOLGIMENTO

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Amerigo e Renato giocano con alcune biglie, blu o rosse, contenute in un sacchetto. Il gioco prevede che Amerigo estragga due biglie dal sacchetto e che vinca se le due biglie hanno lo stesso colore; altrimenti vince Renato. Qual è il numero massimo di biglie del sacchetto, compreso tra 2 e 24, sapendo che Amerigo e Renato hanno la stessa probabilità di vincere?

Esercizio contenuto nella prova d’autunno del 2023

SVOLGIMENTO

Se chiamiamo il numero di palline blu nel sacchetto e il numero di palline rosse allora Il numero di casi in cui Amerigo può estrarre due palline di colore uguale si calcola con la formula

   

infatti il termine rappresenta il numero di casi in cui Amerigo estrae una pallina blu come prima estrazione (quindi scelte) e una pallina blu come seconda estrazione (quindi scelte), stesso ragionamento per il termine . Mentre i numeri di casi in cui i le due biglie hanno colore diverso sono . Pertanto noi dobbiamo trovare due numeri naturali e tali che e che

   

   

Per fare questo poniamo a un valore qualunque minore di e cerchiamo di capire quale deve essere per soddisfare l’equazione di secondo grado scritta sopra, ossia

Valore della	Equazione	Soluzioni della	Somma
		con la virgola	con la virgola
		con la virgola	con la virgola
		e	e
		con la virgola	con la virgola
		con la virgola	con la virgola
		con la virgola	con la virgola
		con la virgola	con la virgola
		con la virgola	con la virgola
		e	e
		con la virgola	con la virgola
		con la virgola	con la virgola
		con la virgola	con la virgola
		con la virgola	con la virgola
		e	e

Quindi il numero massimo di biglie è suddivise con biglie di un colore e dell’altro.

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I triangoli che vedete in figura nella regione scura sono rettangoli e isosceli. I quattro quadrilateri bianche al centro sono dei rombi in cui la diagonale minore misura esattamente la metà della diagonale maggiore

Qual è il rapporto (sotto forma di una frazione irriducibile) della superficie bianca rispetto alla superficie totale del grande quadrato?

Esercizio contenuto nella prova d’autunno del 2023

SVOLGIMENTO

Siccome dobbiamo calcolare la frazione ridotta ai minimi termini possiamo mettere un valore a caso ai lati congruenti del triangolo isoscele e rettangolo che sono posizionati nei quattro angoli del quadrato grande e poi calcolare tutte le aree. Per comodità (non di calcolo che comunque avrà i radicali) mettiamo tale lato uguale a . Una volta fatto questo possiamo determinare tutti i lati dei poligoni utilizzando il teorema di Pitagora (nella figura qui sotto non riportiamo tutti i lati ma solo alcuni)

Una volta fatto questo l’area totale del quadrato è , mentre l’area bianca è formata da quattro triangoli rettangoli e isosceli di cateto e quindi di area , poi quattro rombi di diagonale maggiore e diagonale minore e quindi area , infine la parte bianca all’interno della figura è la metà del quadrato centrale privato dei rombi, quindi ha area . In definitiva l’area della parte bianca è , quindi la frazione è .

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Nell’uguaglianza ogni lettera corrisponde sempre a una stessa cifra e due lettere diverse corrispondono sempre a due cifre diverse; inoltre, la prima cifra di ogni numero non può mai essere uguale a zero. Quanto vale al minimo ?

Esercizio contenuto nella prova d’autunno del 2023

SVOLGIMENTO

Siccome la cifra delle unità dei due fattori è uguale alla cifra delle unità del risultato allora le uniche cifre possibili per la lettera sono , e . Una volta osservato questo facciamo una tabella dove mettiamo tutte i casi possibili (osserviamo che non sono tanti perchè il risultato deve avere necessariamente quattro cifre e inoltre la cifra delle unità e la cifra delle migliaia deve essere uguale)

Operazione	Valore

Quindi abbiamo solamente due casi possibili e il valore minimo del numero è .

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