Per risolvere l’esercizio lavoriamo con le scomposizioni in fattori primi. Tutti i numeri già inseriti, eccetto il , sono numeri primi, mentre . Detto questo proviamo a inserire i numeri in maniera tale da tenere i numeri più bassi possibili. Partiamo con la gestione del fattore primo , per fare in modo che in ogni linea ci sia lo stesso numero di dobbiamo inserirli nel seguente modo

In questo modo possiamo osservare che ogni singola linea contiene come fattori primi un . Possiamo osservare che questo ragionamento funziona per ogni singolo “vertice” del pentagono, quindi il fattore primo lo possiamo gestire nello stesso modo, ossia

e poi lo stesso sia con il che con il per ottenere la configurazione finale seguente.

Quindi il numero più grande che otteniamo è .

Per risolvere l’esercizio possiamo pensare al nostro pavimento pavimentato con delle mattonelle fatte in questo modo

queste nuove mattonelle sono tutte uguali e contengono esattamente esagoni e triangoli. Pertanto la frazione che esprime il rapporto tra il numero di triangoli e quello delle figure totali è .

Per risolvere questo esercizio ci basta trovare le unità dei due fattori in maniera tale che il loro prodotto termini con (notiamo esplicitamente che non possono essere ad esempio e perché il è già stato usato) e poi inserire le altre cifre facendo in modo che non ci sia una ripetizione di cifre. Una volta osservato questo le unità dei due fattori possono essere solamente , , oppure . Adesso dobbiamo necessariamente procedere per tentativi, mettiamo a caso le cifre del primo fattore e controlliamo il risultato. Ad esempio

che non va bene perché vengono ripetute delle cifre. L’unica cosa che possiamo osservare per non procedere completamente a caso è di non mettere cifre che sicuramente daranno una ripetizione (come ad esempio non mettere l’ affianco al ). Comunque dopo un numero limitato di tentativi si trovano le uniche due soluzioni possibili che sono:

Per risolvere questi esercizi non c’è un vero modo standard per procedere. Sicuramente osservare la figura nella sua interezza osservando se ci sono punti con delle forme particolari (che ovviamente dovranno corrispondersi) può aiutare, ma quasi sempre bisogna procedere per tentativi successivi provando ad arrivare alla soluzione. In questo esercizio la soluzione è la seguente.

L’esercizio consiste nel fare la tabellina del fino a che non si giunge a un numero che contenga esattamente quelle cinque cifre, nonostante questo alcune osservazioni ci possono evitare del lavoro inutile. La tabellina del , unità del numero non finisce mai per , quindi la cifra delle unità deve essere necessariamente o oppure . Una volta osservato i possibili numeri sono: , , e quelli che finiscono con il mentre , , , , , , , , , , e quelli che finiscono con . Quindi con un semplice ragionamento sulla cifra delle unità ci siamo ridotti a dover controllare numeri. Con un numero così ristretto di opzioni si può tranquillamente fare tutte le divisioni. Allora

   

   

   

   

quindi la soluzione non termina con il numero . Controlliamo ora gli altri

   

   

   

   

   

   

   

   

   

Quindi questo è il numero cercato.

Ci troviamo davanti a una situazione del tipo

	T	A	T	A	+
	T	A	T	A	=
O	T	I	T	E

Questo ci suggerisce subito che la lettera T deve nascondere un numero maggiore o uguale a , altrimenti la somma non potrebbe guadagnare una cifra. Inoltre, grazie alla cifra delle decine, possiamo capire che la T deve essere necessariamente , infatti siccome le tre decine sono tutte sicuramente quando facciamo ci deve essere di riporto. Una volta capito questo i numeri possibili possono essere solamente . Partiamo dal più piccolo e vediamo quale tra questi quattro numeri soddisfa le nostre ipotesi. quindi non va bene perché sia la O che la I assumono il valore . quindi questo è il più piccolo numero che può rappresentare il codice OTITE.

La prima cosa che possiamo osservare è che dovremmo gestire bene i numeri ed alternare i numeri maggiori e i numeri minori. In particolare sia sulle due circonferenze che sui tre raggi dovranno esserci sia numeri grandi che numeri piccoli. Seguendo questo ragionamento andiamo a posizionare i numeri (si possono fare anche diversi tentativi) ed otteniamo la seguente configurazione

quindi la risposta è .

Se non fosse un esercizio destinato ad alunni della scuola media questo esercizio si risolverebbe in maniera veloce con un’equazione. Infatti chiamato il numero di monete dello stesso tipo presenti nel gruzzolo di Luca allora vale:

   

   

   

Siccome le equazioni sono argomento di fine scuole medie vediamo come risolvere questo esercizio anche senza il loro utilizzo. Sicuramente il risultato è un numero naturale (in quanto non possiamo avere monete da , non avrebbe senso) per cui basta utilizzare un metodo a tentativi

Numero di monete	Totale da	Totale da	Totale da	Soldi totali

Osserviamo anche che la colonna dei soldi totali è la tabellina del da cui è chiaro il perchè la risoluzione tramite l’equazione ci chiedeva di fare la divisione .

Siccome due cifre ci vengono messe possiamo capire che come primo passo possiamo solamente ottenere questa configurazione

questo perchè l’unica cifra che moltiplicata per termina con il numero è il . Quindi in automatico possiamo anche scrivere il tra il e l’.

A questo punto le cifre che dobbiamo ancora mettere sono e possiamo determinare la cifra delle decine del primo numero, infatti quando facciamo otteniamo con riporto di , quindi lo messo in ultima fila è un per cui arriva necessariamente da un , quindi possiamo scrivere le due cifre delle decine del primo e secondo numero. Ossia

A questo punto i numeri rimasti da mettere sono per cui l’unica soluzione possibile è:

Quindi il numero nella seconda riga è il .

La figura si compone di quadrati. Infatti ci sono quadrati formati da un singolo quadrato, quadrati , quadrati e infine il quadrato grande .