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Esercizio 64 sui vettori e le forze – Esercizi svolti – FISICA

I vettori $\vec{a}$ e $\vec{b}$ costituiscono rispettivamente l’ipotenusa e il cateto maggiore di un triangolo rettangolo. Il modulo di $\vec{a}$ vale $10$ e il cateto minore del triangolo è lungo $5,0$ . Calcola:
– l’ampiezza dell’angolo formato dalle direzioni dei due vettori;
– il modulo del vettore $\vec{b}$ ;
– il modulo del prodotto vettoriale $\vec{a}\times\vec{b}$ .

SVOLGIMENTO

Per le classiche formule di trigonometria sappiamo che se chiamiamo $c$ il cateto minore

$c=a\cdot \sin{\widehat{ab}}\Rightarrow \widehat{ab}=\sin^{-1}{c\over a}$

quindi

$\widehat{ab}=\sin^{-1}{5\over 10}=30^\circ$

Mentre

$b=a\cdot \cos{\widehat{ab}}=10\cdot \cos{30^\circ}\approx 8,7$

In fine sappiamo che il prodotto vettoriale tra due vettori è un vettore di modulo pari a

$a\cdot b\cdot\sin{\widehat{ab}}=10\cdot 8,7\cdot \sin{30^\circ}\approx 44$

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Esercizio 63 sui vettori e le forze – Esercizi svolti – FISICA

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I due vettori $\vec{a}$ e $\vec{b}$ hanno modulo rispettivamente di $5,0$ e $8,0$ . Il vettore $\vec{c}=\vec{a}\times\vec{b}$ ha modulo pari a $20$ .
Calcola l’ampiezza dell’angolo formato dalle direzioni dei due vettori $\vec{a}$ e $\vec{b}$ .
Il vettore $\vec{d}=\vec{b}\times\vec{a}$ ha lo stesso modulo di $\vec{c}$ ?

SVOLGIMENTO

Alla seconda domanda possiamo rispondere subito ricordandoci che il prodotto vettoriale è un vettore di modulo pari a

$c=a\cdot b \cdot \sin{\widehat{ab}}$

mentre

$d=b\cdot a \cdot \sin{\widehat{ba}}$

siccome la moltiplicazione tra numeri gode della proprietà commutativa e che l’angolo formato dal vettore $\vec{a}$ e il vettore $\vec{b}$ non può essere variato sicuramente i due moduli saranno uguali. L’unica osservazione che facciamo su questa nostra affermazione è che i moduli per definizione sono positivi, generalmente però si aggiunge un segno al modulo per dare indicazione del verso. Allora in questo senso qua i due moduli hanno sicuramente segno opposto, cioè i due vettori $\vec{c}$ e $\vec{d}$ hanno stessa direzione ma verso opposto.
Per quanto riguarda la prima domanda bisogna semplicemente invertire la prima formula che abbiamo fornito, infatti

$c=a\cdot b \cdot \sin{\widehat{ab}}\Rightarrow \sin{\widehat{ab}}={c\over a\cdot b }$

da cui

$\widehat{ab}=\sin^{-1}{c\over a\cdot b }=\sin^{-1}{20\over 5,0\cdot 8,0 }=30^\circ$

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Esercizio 62 sui vettori e le forze – Esercizi svolti – FISICA

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Il prodotto vettoriale tra i vettori $\vec{a}$ e $\vec{b}$ da un vettore di modulo uguale a $23$ . L’angolo tra $\vec{a}$ e $\vec{b}$ è $20^\circ$ e $\vec{a}$ ha modulo pari a $11$ . Determina la componente di $\vec{b}$ perpendicolare al vettore $\vec{a}$ e il modulo di $\vec{b}$ .

SVOLGIMENTO

Ricordiamo che il prodotto vettoriale tra due vettori $\vec{a}$ e $\vec{b}$ è un vettore di modulo pari a

$\left |\vec{a}\times\vec{b}\right |=a\cdot b\cdot \sin{\widehat{ab}}$

pertanto il modulo del vettore $\vec{b}$ si può calcolare con la formula inversa

$b={\left |\vec{a}\times\vec{b}\right |\over a\cdot \sin{\widehat{ab}}}={23\over 11\cdot \sin{20^\circ}}\approx 6,1$

Per quanto riguarda il modulo della componente di $\vec{b}$ perpendicolare al vettore $\vec{a}$ bisogna ricordare che tale componente altro non è che

$b_a=b\cdot \sin{\widehat{ab}}= 6,1\cdot \sin{20^\circ}\approx 2,1$

Osserviamo che utilizzando la formula del modulo del prodotto vettoriale potevamo anche scrivere

$b_a={\left |\vec{a}\times\vec{b}\right |\over a}$

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Esercizio 61 sui vettori e le forze – Esercizi svolti – FISICA

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Il vettore $\vec{C}=2\hat{x}+5\hat{y}$ è il risultato della somma dei vettori $\vec{A}=\hat{x}-\hat{y}$ e $\vec{B}$ . Determina l’espressione di $\vec{B}$ in componenti cartesiane.

SVOLGIMENTO

Innanzitutto osserviamo che i due vettori $\vec{C}$ e $\vec{A}$ possono essere scritti anche nella forma

$\vec{C}=2\hat{x}+5\hat{y}=(2\:;\: 5)$

$\vec{A}=\hat{x}-\hat{y}=(1\:;\:-1)$

per cui se

$\vec{C}=\vec{A}+\vec{B}\Rightarrow \vec{B}=\vec{C}-\vec{A}$

da cui

$\vec{B}=(2\:;\: 5)-(1\:;\:-1)=(2-1\:;\:5+1)=(1\:;\:6)=\hat{x}+6\hat{y}$

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Esercizio 60 sui vettori e le forze – Esercizi svolti – FISICA

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Il vettore $\vec{u}$ è rivolto verso est mentre il vettore $\vec{v}$ forma con $\vec{u}$ un angolo di $60^\circ$ in senso antiorario (cioè verso nord). I loro moduli sono $u=15$ e $v=12$ . Determina l’intensità, la direzione e il verso del vettore $\vec{w}=\vec{u}\times\vec{v}$ .

SVOLGIMENTO

Prima di iniziare ricordiamo che il prodotto vettoriale tra due vettori $\vec{a}$ e $\vec{b}$ è un vettore che ha per modulo il numero ottenuto dalla formula

$a\cdot b\cdot \sin{\widehat{ab}}$

per direzione la direzione ortogonale a entrambi i vettori e per verso il verso determinato con la regola della mano destra. Un volta ricordato questo possiamo senza dubbio dire che la direzione del vettore $\vec{w}$ è quella della retta che buca il foglio formando un angolo retto con il vostro foglio, mentre il verso è quello che entra dentro il foglio, una volta detto questo possiamo facilmente calcolare il modulo del vettore, infatti

$w=15\cdot 12\cdot\sin{60^\circ}\approx 156$

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Esercizio 59 sui vettori e le forze – Esercizi svolti – FISICA

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Il vettore $\vec{S}$ è la somma del doppio del vettore $\vec{A}=2\hat{x}+5\hat{y}$ e del triplo del vettore $\vec{B}=-3\hat{x}-\hat{y}$ . Determina l’espressione di $\vec{S}$ in componenti cartesiane.

SVOLGIMENTO

Innanzitutto osserviamo che i vettori $\vec{A}$ e $\vec{B}$ possono essere scritti come

$\vec{A}=2\hat{x}+5\hat{y}=(2\:;\:5)$

$\vec{B}=-3\hat{x}-\hat{y}=(-3\:;\:-1)$

per cui

$\vec{S}=2\cdot(2\:;\:5)+3\cdot (-3\:;\:-1)$

$\vec{S}=(4\:;\:10)+(-9\:;\:-3)$

$\vec{S}=(4-9\:;\:10-3)=(-5\:;\:7)=-5\hat{x}+7\hat{y}$

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Esercizio 58 sui vettori e le forze – Esercizi svolti – FISICA

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Sono dati due vettori $\vec{a}=(6\: m)\; \hat{x}$ e $\vec{b}=(4\: m)\:\hat{x}+(3\: m)\:\hat{y}$ che hanno la coda nello stesso punto.
Calcola l’area del parallelogramma generato dai due vettori.
Calcola l’area del triangolo che si forma unendo le punte dei due vettori.

SVOLGIMENTO

Se andiamo a disegnare i due vettori nel piano cartesiano possiamo benissimo vedere che i vettori $\vec{a}=(6\:;\:0)\: m$ e $\vec{b}=(4\:;\: 3)\: m$ formano un classico parallelogramma di base $6\: m$ e altezza $3\: m$ pertanto

$A_p=6\: m\cdot 3\: m=18\: m^2$

mentre il triangolo che viene formato è un triangolo di base $6\: m$ e altezza $3\: m$ , e osserviamo che sono le stesse identiche viste in precedenza, per cui

$A_t={6\: m\cdot 3\: m\over 2}=9\: m^2$

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Esercizio 57 sui vettori e le forze – Esercizi svolti – FISICA

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Considera i vettori $\vec{A}=-3\hat{x}+7\hat{y}$ e $\vec{B}=-2\hat{x}-15\hat{y}$ . Determina il loro prodotto scalare $\vec{A}\cdot \vec{B}$ .

SVOLGIMENTO

Sappiamo che il prodotto scalare tra due vettori $\vec{a}=(a_x\:;\: a_y)$ e $\vec{b}=(b_x\:;\: b_y)$ è un numero scalare che possiamo ottenere con le due formule

$\vec{a}\cdot \vec{b}=a\cdot b\cdot \cos{\widehat{ab}}$

oppure

$\vec{a}\cdot \vec{b}=a_x\cdot b_x+a_y\cdot b_y$

Risulta evidente che in un esercizio di questo tipo la prima formulazione del prodotto scalare sia impossibile da applicare in quanto non conosciamo l’angolo formato. Possiamo però utilizzare la seconda formula, infatti

$\vec{A}=-3\hat{x}+7\hat{y}=(-3\:;\:7)$

$\vec{B}=-2\hat{x}-15\hat{y}=(-2\:;\:-15)$

da cui

$\vec{A}\cdot \vec{B}=A_x\cdot B_x+A_y\cdot B_y=-3\cdot (-2)+7\cdot (-15)=-99$

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Esercizio 56 sui vettori e le forze – Esercizi svolti – FISICA

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Il vettore $\vec{a}$ è rivolto verso nord e ha intensità $a=4,0$ . Il vettore $\vec{b}$ è rivolto verso est e ha modulo $b=6,5$ . Determina il modulo, la direzione e il verso del prodotto vettoriale $\vec{c}=\vec{a}\times\vec{b}$ .

SVOLGIMENTO

Il prodotto vettoriale tra due vettori è un vettore il cui modulo si può calcolare con la formula

$\vec{a}\times\vec{b}=a\cdot b\cdot \sin{\widehat{ab}}$

dove $\widehat{ab}$ è l’angolo formato dai vettori $\vec{a}$ e $\vec{b}$ . Per quanto riguarda la direzione il vettore prodotto vettoriale è sempre perpendicolare ai due vettori, mentre il verso invece si determina utilizzando la regola della mano destra, cioè si fa combaciare il pollice della mano destra con il vettore $\vec{a}$ , l’indice con il vettore $\vec{b}$ e il vettore $\vec{a}\times\vec{b}$ avrà il verso del dito medio della mano destra. In questo esercizio il verso del vettore sarà quello che entra dentro il foglio e lo buca. Per quanto riguarda il modulo possiamo utilizzare la formula vista in precedenza, pertanto

$\vec{a}\times\vec{b}=4,0\cdot 6,5\cdot \sin{90^\circ}=26$

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Esercizio 55 sui vettori e le forze – Esercizi svolti – FISICA

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Il vettore $\vec{S}$ è la somma dei vettori $\vec{A}=2\hat{x}-\hat{y}$ e $\vec{B}=-3\hat{x}+2\hat{y}$ . Determina l’espressione di $\vec{S}$ in componenti cartesiane.

SVOLGIMENTO

Sappiamo che la somma di due vettori di cui conosciamo le compenti si fa componente per componente, ossia

$\vec{S}=\vec{A}+\vec{B}=(2\:;\:-1)+(-3\:;\: 2)=(2-3\:;\: -1+2)=(-1\:;\:1)=-\hat{x}+\hat{y}$

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