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Esercizio 114 sui vettori e le forze – Esercizi svolti – FISICA

Uno sciatore di massa $82\: kg$ scende lungo una pista di pendenza $30^\circ$ . Calcola il suo peso. Calcola l’intensità dei vettori componenti della forza peso lungo le direzioni parallela e perpendicolare al piano inclinato.

SVOLGIMENTO

La forza peso è la forza con cui gli oggetti dotati di massa vengono attratti dal pianeta in cui sono, nel dettaglio il modulo della forza peso si calcola

$F_p=m\cdot g=82\: km\cdot 9,81\: N/kg\approx 804\: N$

Generalmente la forza peso nei piani inclinati si scompone nelle due componenti cartesiane parallela e perpendicolare al piano inclinato. Questa scomposizione è molto utile perchè la componente parallela al piano inclinato è quella che determina lo spostamento lungo il piano, mentre la componente perpendicolare è quella che determina lo “schiacciamento” dell’oggetto sul piano. Nel dettaglio, una volta conosciuto l’angolo $\alpha$ che il piano inclinato fa con la direzione orizzontale, i moduli delle due forze sono

$F_\perp=\cos{\alpha}\cdot F_p=\cos{30^\circ}\cdot 804\: N\approx 696\: N$

$F_\parallel=\sin{\alpha}\cdot F_p=\sin{30^\circ}\cdot 804\: N=402\: N$

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Esercizi di fisica, Vettori e forze

Esercizio 113 sui vettori e le forze – Esercizi svolti – FISICA

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Una mela di $320\: g$ è su un ramo. Un colpo di vento applica alla mela una forza orizzontale di $12,0\: N$ e la fa staccare dal ramo. Calcola la forza totale sulla mela quando si stacca dal ramo.

SVOLGIMENTO

Sulla mela agiscono due forze, la prima è la forza peso mentre la seconda è la forza del vento. Per sommare queste due forze immaginiamo di posizionare un piano cartesiano sulla mela, allora l’asse $y$ avrà la direzione della forza peso, ma verso opposto, mentre la forza del vento avrà la stessa direzione dell’asse $x$ e scegliamo che abbia anche lo stesso verso. In questo piano cartesiano le due forze avranno componenti

$\vec{F}_v=(12,0\: N\:;\:0\: N)$

$\vec{F}_p=(0\: N\:;\:-m\cdot g)=(0\: N\:;\:-0,320\: km\cdot 9,81\: N/kg)\approx (0\: N\:;\:-3\:N)$

Per cui la forza risultante avrà componenti

$\vec{F}_v+\vec{F}_p=(12,0\: N\:;\:0\: N)+(0\: N\:;\:-3\:N)=(12\: N\:;\:-3\:N)$

il cui modulo è determinabile con il teorema di Pitagora

$\left |\vec{F}_v+\vec{F}_p\right |=\sqrt{(12\: N)^2+(-3\: N)^2}\approx 12,4\: N$

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Esercizio 112 sui vettori e le forze – Esercizi svolti – FISICA

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Durante una discesa con lo snow-board, in un tratto di pista alcuni sciatori sono fermi ad ammirare il panorama. Per evitarli, effettui due virate per poi fermarti. Come mostra la figura, la prima virata, per un tratto lungo $20\: m$ , è inclinata di $45^\circ$ rispetto alla direzione iniziale; la seconda virata, per un tratto lungo $15\: m$ , è inclinata di $120^\circ$ rispetto alla direzione precedente.

Quale è l’angolo tra la direzione iniziale e quella finale?
Quanto vale la distanza percorsa dall’istante in cui hai visto gli altri sciatori e hai cominciato a virare fino a quando ti sei fermato?

SVOLGIMENTO

Per rispondere alla prima domanda fissiamo che l’angolo iniziale sia $0^\circ$ . Durante la prima virata compiamo un angolo di $45^\circ$ verso destra (rispetto al suo punto di vista) e subito dopo un angolo di $120^\circ$ stavolta verso sinistra, quindi per calcolare l’angolo complessivo dobbiamo sommarli con segno opposto, pertanto avremo

$angolo=-45^\circ+120^\circ=75^\circ$

dove il segno positivo e negativo lo abbiamo messo in maniera totalmente arbitraria, l’importante è che siano di segno opposto.
Per calcolare invece lo spazio percorso semplicemente sommiamo la lunghezza dei due tratti, ossia

$spazio=20\: m+15\: m=35\: m$

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Esercizio 111 sui vettori e le forze – Esercizi svolti – FISICA

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Un aereo si sposta di $200\: km$ in direzione nord, poi vira bruscamente verso est e procede per altri $300\: km$ ; infine vira nuovamente in direzione nord-est (cioè la direzione che forma $45^\circ$ con le direzioni nord ed est) e viaggia per $100\: km$ . Determina la distanza tra il punto di partenza e il punto di arrivo dell’aereo.

SVOLGIMENTO

Posizioniamo un piano cartesiano nel punto di partenza dell’aereo, il piano cartesiano avrà come verso dell’asse $x$ la direzione est, mentre invece come verso dell’asse $y$ la direzione nord. Se consideriamo i tre spostamenti in questo piano cartesiano le coordinate di tali spostamenti sono:

$\vec{S}_1=(0\: km\:;\: 200\: km)$

$\vec{S}_2=(300\: km\:;\: 0\: km)$

$\vec{S}_3=100\: km\cdot (\cos{45^\circ}\:;\: \sin{45^\circ})\approx (70,7\: km\:;\: 70,7\: km)$

Per determinare la distanza tra il punto di partenza e il punto di arrivo ci basta calcolare il modulo del vettore somma dei tre spostamenti. Allora

$\vec{S}_1+\vec{S}_2+\vec{S}_3=(0\: km\:;\: 200\: km)+(300\: km\:;\: 0\: km)+(70,7\: km\:;\: 70,7\: km)$

$\vec{S}_1+\vec{S}_2+\vec{S}_3=(370,7\: km\:;\: 270,7\: km)$

per cui il modulo di tale vettore lo possiamo determinare con il teorema di Pitagora

$\left |\vec{S}_1+\vec{S}_2+\vec{S}_3\right |=\sqrt{(370,7\: km)^2+(270,7\: km)^2}\approx 459\: km$

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Esercizio 110 sui vettori e le forze – Esercizi svolti – FISICA

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Una molla con costante elastica pari a $80,0\: N/m$ ha una lunghezza di $13,6\: cm$ mentre su di essa è applicata una forza di $2,30\: N$ . Quanto è lunga la stessa molla nella sua posizione di riposo (cioè quando nessuna forza la deforma)?

SVOLGIMENTO

Sappiamo che la forza elastica (che si oppone alla forza esterna che allunga o accorcia la molla) è direttamente proporzionale all’allungamento della molla secondo la legge di Hooke

$F_e=-k\cdot\Delta x$

dove il segno meno indica che il verso del vettore forza elastica è contrario al verso del vettore allungamento, quindi se la molla si allunga la forza elastica tende a “riportarla indietro” e viceversa. Una volta ricordato questo è possibile ricavare l’allungamento, infatti

$\Delta x={-F_e\over k}={-(-2,30\: N)\over 80,0\: N/m}\approx 0,029\: m$

dove osserviamo che la forza elastica si oppone alla forza esercitata sulla molla, pertanto la forza elastica avrà segno negativo. Una volta determinato l’allungamento della molla possiamo ricavare la sua lunghezza iniziale facendo

$x_{iniziale}=x_{finale}-\Delta x=13,6\: cm-2,9\: cm=10,7\: cm$

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Esercizio 109 sui vettori e le forze – Esercizi svolti – FISICA

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Su una molla è stato evidenziato, a riposo, il punto $P$ centrale. Quando la molla è tirata con una forza $\vec{F}$ , si allunga di $x$ . Quanto si allungano le due parti della molla ai lati del punto centrale? A quale forza è sottoposta ciascuna di esse?

Tagliamo ora la molla in due parti uguali, in modo da ottenere due molle identiche, a ciascuna delle quali applichiamo la stessa forza $\vec{F}$ . Spiega perchè le due molle hanno costante elastica doppia rispetto alla molla iniziale.

SVOLGIMENTO

Il punto $P$ che si trova esattamente a metà della molla prima che la molla venga tirata si troverà ancora a metà della molla quando questa viene tirata, pertanto sia a destra che a sinistra di tale punto la molla si sarà allungata nello stesso modo, ossia di un valore pari a ${x\over 2}$ . Inoltre la molla “trasporta” la forza $\vec{F}$ , cioè in ogni punto della molla sarà applicata una forza uguale alla forza $\vec{F}$ fino al punto in cui la molla è attaccata al muro, e anche in quel punto la molla eserciterà sul muro una forza uguale a $\vec{F}$ .
Osserviamo ora che tagliare la molla a metà è praticamente uguale a considerare metà molla solamente, infatti se noi non tagliassimo la molla ma considerassimo la molla dal muro fino al punto $P$ allora vedremmo che nel punto $P$ è applicata una forza $\vec{F}$ che fa allungare la molla di un valore pari a ${x\over 2}$ , ossia metà molla è una molla di costante elastica pari al doppio della costante elastica della molla intera. Osserviamo che questo risultato non deve stupire, la costante elastica rappresenta quanta forza ci vuole per allungare una molla di un metro, è normale che più la molla è lunga e più sarà facile allungarla (a parità di caratteristiche fisiche della molla).

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Esercizio 108 sui vettori e le forze – Esercizi svolti – FISICA

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Un blocco di massa $m$ viene agganciato a due molle identiche con costante elastica $k$ ma disposte nelle due configurazioni diverse mostrate nella figura. Puoi considerare il sistema delle due molle come un’unica molla con costante elastica $k_{tot}$ .

Sai determinare $k_{tot}$ nei due casi? (Trascura il peso delle molle).

SVOLGIMENTO

Sappiamo che quando a una molla viene applicata una forza esterna, in questo caso la forza peso del blocco, la molla si allunga in maniera proporzionale a tale forze del valore

$\Delta x={F_{esterna}\over k}$

dove osserviamo che questa formula non è la legge di Hooke in quanto la legge di Hooke contiene la forza elastica che è opposta alla forza esterna (infatti la legge di Hooke è uguale tranne che per un segno meno).
Andiamo a a studiare il primo caso, ossia quello delle molle in parallelo. Su ognuna delle due molle agisce una forza pari a metà della forza peso, infatti se le due molle sono perfettamente identiche la massa si distribuirà metà e metà, quindi l’allungamento di ogni molla sarà

$\Delta x={F_{esterna}/2\over k}={F_{esterna}\over 2k}$

quindi il sistema si comporterà come un’unica molla di costante elastica $2k$ .
Nel secondo sistema, quello delle molle in serie, su ognuna delle due molle agisce una forza pari alla forza peso del blocco (in realtà sulla molla più in alto agirebbe anche la forza peso della seconda molla, ma l’esercizio ci chiede di trascurare la massa della molla), pertanto entrambe le molle si allungheranno di un valore pari a

$\Delta x={F_{esterna}\over k}$

e il sistema si allungherà di

$\Delta x_{tot}=2\cdot {F_{esterna}\over k}={F_{esterna}\over k/2}$

per cui il sistema si comporterà come un’unica molla di costante elastica $k/2$ .

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Esercizio 107 sui vettori e le forze – Esercizi svolti – FISICA

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Una molla si allunga di $3,6\: cm$ sotto l’azione di una forza $F$ . Se la forza aumenta di $1,4\: N$ , la molla si allunga del $15\:\%$ in più. Calcola la costante elastica della molla.

SVOLGIMENTO

Nelle molle l’allungamento è direttamente proporzionale alla forza che genera tale allungamento secondo la legge di Hooke, ossia

$F_e=-k\cdot \Delta x$

dove il segno meno indica il fatto che il vettore forza elastica e il vettore allungamento/contrazione della molla sono di verso opposto.
Una volta ricordato questo risolviamo l’esercizio in due modi, il primo modo totalmente matematico. Allora poniamo

$F_1=F+1,4\: N$

$\Delta x_1=\Delta x+15\:\%\Delta x=\Delta x+{15\over 100}\cdot\Delta x=\Delta x+0,15\cdot\Delta x=1,15\cdot \Delta x$

allora

$F_1=k\cdot \Delta x_1\Rightarrow k={F+1,4\: N\over 1,15\cdot \Delta x}={F\over 1,15\cdot \Delta x}+{1,4\: N\over 1,15\cdot \Delta x}={1\over 1,15}\cdot{F\over \Delta x}+{1,4\: N\over 1,15\cdot \Delta x}$

Una volta ricavato questo e osservato che

${F\over \Delta x}=k$

la nostra formula diventa la seguente equazione in $k$

$k={1\over 1,15}\cdot k+{1,4\: N\over 1,15\cdot 0,036\: m}$

$k-{1\over 1,15}\cdot k={1,4\: N\over 1,15\cdot 0,036\: m}$

${1,15\over 1,15}\cdot k-{1\over 1,15}\cdot k={1,4\: N\over 1,15\cdot 0,036\: m}$

${0,15\over 1,15}\cdot k={1,4\: N\over 1,15\cdot 0,036\: m}$

$k={1,4\: N\over 1,15\cdot 0,036\: m}\cdot {1,15\over 0,15}= {1,4\: N\over 0,15\cdot 0,036\: m}\approx 260\: N$

Vediamo come ragionando per via fisica l’esercizio sarebbe stato più semplice, infatti l’allungamento del $15\:\%$ di $3,6\: cm$ , ossia di $0,54\: cm$ , è tutto da imputare alla forza aggiuntiva di $1,4\: N$ . Una volta osservato questo e osservato che il legame che lega allungamento e forza è un legame di proporzionalità diretta, potevamo calcolare

$k={-F_e\over \Delta x}={-(-1,4\: N)\over 0,0054\: m}\approx 260\: N/m$

dove osserviamo che la forza elastica non è $F$ , infatti la forza elastica è quella che si oppone ad $F$ , pertanto se il modulo di $F$ aumento di $1,4\: N$ il modulo della forza elastica, che ancora continua a opporsi a $F$ , aumenta di $-1,4\: N$ .

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Esercizio 106 sui vettori e le forze – Esercizi svolti – FISICA

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Le corde di sicurezza che si usano nell’arrampicata sportiva sono elastiche. In una palestra da arrampicata un climber è giunto in alto e si fa calare a terra. La massa dell’alpinista è $70,4\: kg$ e la costante elastica della corda è $3,29\times 10^3\: N/m$ . Calcola l’allungamento subito dalla corda mentre trattiene il climber?

SVOLGIMENTO

Nelle molle l’allungamento è direttamente proporzionale alla forza che genera tale allungamento secondo la legge di Hooke, ossia

$F_e=-k\cdot \Delta x$

dove il segno meno indica il fatto che il vettore forza elastica e il vettore allungamento/contrazione della molla sono di verso opposto. In questo esercizio la forza che trattiene il climber è esattamente la forza elastica della corda, infatti la forza peso del climber tende ad allungare la corda, mentre la forza elastica di richiamo tende ad accorciare la corda e tiene sorretto il climber. Pertanto

$\Delta x={-F_e\over k}={-(-m\cdot g)\over k}={-(-70,4\: kg\cdot 9,81\: N/kg)\over 3,29\times 10^3\: N/m}\approx 0,21\: m$

dove osserviamo che la forza elastica $F_e$ è di segno negativo perchè tende ad accorciare la corda, inoltre il suo modulo è uguale alla forza peso perchè la contrasta totalmente.

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Esercizio 105 sui vettori e le forze – Esercizi svolti – FISICA

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Una molla viene allungata di $3,0\: cm$ tirandola con una forza di modulo $15\: N$ . Quando la forza è inferiore del $10\: \%$ , di quanto è allungata la molla?

SVOLGIMENTO

Nelle molle l’allungamento è direttamente proporzionale alla forza che genera tale allungamento secondo la legge di Hooke, ossia

$F_e=-k\cdot \Delta x$

dove il segno meno indica il fatto che il vettore forza elastica e il vettore allungamento/contrazione della molla sono di verso opposto. Una volta ricordato questo abbiamo due modi per risolvere l’esercizio. Vediamo il primo modo che è quello di determinare $k$ e poi calcolare l’allungamento con la nuova forza.

$k={-F_e\over \Delta x}={-(-15\: N)\over 0,03\: m}=500\: N/m$

dove osserviamo che il modulo di $F_e$ è negativo perchè la forza esterna che allunga la molla è positiva, ma la forza elastica che contrasta tale forza e tenderebbe a riaccorciare la molla è negativa. Una volta calcolato $k$ sappiamo che la nuova forza che allunga la molla è

$F=F-10\:\%F=F-{10\over 100}\cdot F=F-0,1\cdot F=0,9\cdot F=13,5\: N$

per cui

$\Delta x={-F_e\over k}={-(-13,5\: N)\over 500}=0,027\: m$

Il secondo metodo utilizza il fatto che l’allungamento della molla e la forza che genera quell’allungamento sono direttamente proporzionali, quindi l’esercizio si poteva risolvere con la proporzione

$15\: N:3,0\: cm=13,5\: N:x$

per cui

$x={3,0\: cm\cdot 13,5\: N\over 15\: N}=2,7\: cm$

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