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Esercizio 24 sui vettori e le forze – Esercizi svolti – FISICA

Il Gran Premio di Monaco si svolge sul circuito di Monte Carlo che ha una lunghezza di $3,4\: km$ . I piloti devono compiere $78\: giri$ in totale. Quali sono lo spostamento e la distanza totale percorsa?

SVOLGIMENTO

La differenza tra spostamento e distanza totale sta tutta nel fatto che lo spostamento è una grandezza vettoriale, mentre la distanza totale è una grandezza scalare. Quindi se noi volessimo calcolare la distanza totale percorsa ci basta fare una semplice moltiplicazione

$d_{TOT}=78\:giri\cdot 3,4\: km/giro=265,2\: km$

Mentre se vogliamo calcolare lo spostamento totale dobbiamo fare la sottrazione tra il vettore che indica la posizione finale e il vettore che indica la posizione iniziale dell’automobile, ossia

$\vec{v}_{spostamento}=\vec{v}_{finale}-\vec{v}_{iniziale}=\vec{0}$

infatti partenza e arrivo in un gran premio normalmente coincidono quindi il vettore spostamento è nullo.

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Esercizi di fisica, Vettori e forze

Esercizio 23 sui vettori e le forze – Esercizi svolti – FISICA

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Una slitta viene trainata sulla neve applicando due forze di modulo $F_1=85\: N$ e $F_2=62\: N$ . Le due forze formano tra loro un angolo di $\alpha=23^\circ$ . Calcola il modulo della somma delle due forze.

SVOLGIMENTO

Per calcolare il modulo della somma delle due forze immaginiamo di fissare un piano cartesiano con un asse lungo il vettore $\vec{F_1}$ e l’altro asse perpendicolare al primo, inoltre fissiamo anche il verso crescente delle $x$ come il verso di $\vec{F_1}$ . In questo sistema cartesiano avremo:

$\vec{F_1}=(85\: N\:;\: 0)$

$\vec{F_2}=62\: N\cdot (\cos{23^\circ}\:;\: \sin{23^\circ}})$

Per cui

$F_1+F_2=\sqrt{(85\: N+62\: N\cdot\cos{23^\circ})^2+(62\: N\cdot\sin{23^\circ})^2}\approx 144\: N$

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Esercizio 22 sui vettori e le forze – Esercizi svolti – FISICA

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La missione Apollo 11 fu la prima a portare un essere umano sulla superficie della Luna il 20 luglio 1969. Al momento del lancio la massa totale della navicella e del razzo necessario a mandarla in orbita era di circa $3,04\times 10^6 kg$ . Successivamente la navicella proseguì da sola, staccandosi dal razzo, con una massa pari a circa l’ $1,5\%$ della massa di partenza. Una volta giunta nell’orbita lunare, si divise nuovamente in due: il Modulo di Comando, detto Columbia, rimase in orbita con un membro dell’equipaggio, mentre il Modulo Lunare, detto Eagle, atterrò sulla Luna con altri due astronauti. Il Modulo Lunare aveva una massa pari al $35\%$ della navicella ed era stato progettato specificamente per volare nello spazio, senza prestare attenzione all’aerodinamicità delle forme. Era costituito da un modulo di discesa, necessario per atterrare, e che fungeva da rampa di lancio per il modulo di ascesa, necessario per ritornare in orbita. Bisognava infatti limitare il peso per poter ripartire, pertanto il modulo di ascesa pesava soltanto $8000\: N$ sulla Luna.

Quale era il peso Modulo Lunare una volta atterrato sulla Luna? ( $g_{Luna}=1,6\: N/kg$ )
Che percentuale rappresentava la massa del modulo di ascesa rispetto a quella della navicella?

SVOLGIMENTO

Vediamo come era composta la navicella e il razzo e le loro masse:

$m_{totale}=m_{razzo}+m_{navicella}=3,04\times 10^6 kg$

$m_{razzo}={98,5\over 100}\cdot 3,04\times 10^6 kg\approx 3\times 10^6 kg$

$m_{navicella}={1,5\over 100}\cdot 3,04\times 10^6 kg\approx 4,6\times 10^4 kg=m_{Columbia}+m_{Eagle}$

$m_{Eagle}={35\over 100}\cdot 4,6\times 10^4 kg\approx 1,6\times 10^4 kg$

$m_{Columbia}={65\over 100}\cdot 4,6\times 10^4 kg\approx 3\times 10^4 kg$

Quindi la forza peso del Modulo Lunare sulla Luna sarà

$F_p=m_{Eagle}\cdot g_{Luna}=1,6\times 10^4 kg\cdot 1,6\: N/kg= 25600\: N$

La massa del modulo di ascesa sulla Luna provoca una forza peso di $8000\:N$ , per cui

$m_{ascesa}={F_p\over g_{Luna}}={8000\: N\over 1,6\:N/kg}=5000\: kg$

per cui in percentuale rispetto alla massa della navicella sarà $m_{ascesa}/m_{navicella}\approx 11\%$ .

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Esercizio 21 sui vettori e le forze – Esercizi svolti – FISICA

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Sono dati i vettori $\vec{A}=a\hat{x}-4\hat{y}$ e $\vec{B}=2\hat{x}+b\hat{y}$ . Il modulo del primo è $A=5$ , il prodotto scalare tra i due vettori è uguale a $2$ . Calcola i valori dei parametri $a$ e $b$ .

SVOLGIMENTO

Il prodotto scalare si può scrivere nella forma:

$2=\vec{A}\cdot\vec{B}=a\cdot 2-4\cdot b$

inoltre sappiamo anche che

$5=A=\sqrt{a^2+16}$

Pertanto segue dalla seconda relazione che $a=\pm 3$ , una volta determinato $a$ si ricava facilmente dalla prima che se $a=+3$ allora $b=1$ , mentre se $a=-3$ allora $b=-2$ .

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Esercizio 20 sui vettori e le forze – Esercizi svolti – FISICA

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Le due molle nella figura, di costante elastica $k_1=200\:N/m$ e $k_2=350\:N/m$ , hanno la stessa lunghezza a riposo. Al sistema viene applicata la forza $40\:N$ .

Quanto si allungano le due molle?
Quale costante elastica deve avere un’unica molla perchè, a parità di forza applicata, subisca lo stesso allungamento?

SVOLGIMENTO

Entrambe le molle in figura sono attaccate alla placca metallica, pertanto le due molle si dovranno allungare della stessa quantità, tale quantità sarà pertanto in grado di assorbire la totalità della forza $\vec{F}$ , quindi

$F=F_{e1}+F_{e2}=\Delta x\cdot k_1+\Delta x\cdot k_2\Rightarrow \Delta x={F\over k_1+k_2}$

Da cui

$\Delta x={40\:N\over 200\:N/m+350\:N/m}\approx 0,073\: m$

Inoltre dalla formula scritta sopra, cioè

$F=F_{e1}+F_{e2}=\Delta x\cdot k_1+\Delta x\cdot k_2=\Delta x\cdot (k_1+k_2)$

vediamo che il sistema si comporta esattamente come un’unica molla di costante elastica $k_1+k_2$ .

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Esercizio 19 sui vettori e le forze – Esercizi svolti – FISICA

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Un cavo di nylon si comporta come una molla che ha costante elastica $5,0\times 10^4\:N/m$ . Con questo cavo trasciniamo sul pavimento una cassa di $280\: kg$ a velocità costante. Il coefficiente di attrito dinamico tra la cassa e il pavimento è $0,11$ .Calcola:

il valore della forza di attrito che si esercita tra la cassa e il pavimento;
il valore della forza esercitata dal cavo sullo cassa;
di quanto si allunga il cavo mentre trascina la cassa.

SVOLGIMENTO

Sappiamo che la forza di attrito e la forza perpendicolare (premente) sono relazionati tramite la formula:

$\mu={F_a\over F_\bot}\Rightarrow F_a=\mu\cdot F_\bot$

per cui

$F_a=0,11\cdot 280\:kg\cdot 9,81\:N/kg\approx 302 \: N$

Siccome la cassa si muove a velocità costante ne segue che la risultante delle forze agenti sulla cassa è nulla, pertanto la forza di attrito è uguale e opposta alla forza esercitata dal cavo che quindi avrà modulo $302 \: N$ . La forza di attrito sarà anche la forza che farà allungare il filo di nylon, pertanto:

$F_e=\Delta x\cdot k\Rightarrow \Delta x={F_e\over k}$

per cui

$\Delta x={302\:N\over 5,0\times 10^4\:N/m}\approx 0,006\: m$

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Esercizio 18 sui vettori e le forze – Esercizi svolti – FISICA

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Un attrezzo usato per rinforzare la muscolatura degli avambracci contiene una molla a spirale. Per comprimere la molla di $0,019\: m$ è necessaria una forza di $89\: N$ . Determina la forza necessaria per comprimere la molla di $0,05\: m$ .

SVOLGIMENTO

Sappiamo che la legge di Hooke ci dice:

$F_e=\Delta x\cdot k\Rightarrow k={F_e\over \Delta x}$

quindi possiamo ricavare la costante elastica e poi vedere quanta forza serve per comprimere la molla di $0,05\: m$ (osservo esplicitamente che si poteva risolvere l’esercizio anche usando la relazione lineare che lega l’allungamento della molla e la forza elastica impostando una proporzione).

$k={89\: N\over 0,019 \: m}\approx 4684\: N/m$

$F_e=0,05\: m\cdot 4684\:N/m\approx 234\: N$

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Esercizio 17 sui vettori e le forze – Esercizi svolti – FISICA

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Un bambino gioca con il suo nuovo tappeto elastico che ha una costante elastica di $2400\: N/m$ e la cui membrana, in una situazione di equilibrio, si trova a $30\: cm$ da terra. Salendo, il bambino preme con il suo peso e il tappeto si abbassa di $15,0\: cm$ . Quanto pesa il bambino? Il papà del bambino ha una massa di $85\: kg$ , potrà usare il tappeto?

SVOLGIMENTO

Sappiamo che la legge di Hooke ci dice:

$F_e=\Delta x\cdot k$

quindi, siccome la forza elastica è la forza peso del bambino,

$F_p=F_e=0,15\:m\cdot 2400\:N/m=360\:N$

Se il babbo di $85\: kg$ salisse sul tappeto la sua forza peso andrebbe ad allungare il tappeto elastico di un valore:

$\Delta x={F_e\over k}={F_p\over k}={m\cdot g\over k}={85\: kg\cdot 9,81\:N/kg\over 2400\:N/m}\approx 0,34\:m$

quindi il babbo non può utilizzare il tappeto.

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Esercizio 16 sui vettori e le forze – Esercizi svolti – FISICA

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Le due molle nella figura, di costante elastica $k_1$ e $k_2$ , sono inizialmente nella posizione di riposo. La pallina viene spostata di un tratto $\vec{x}$ .

Determina la forza applicata alla pallina, esprimendola in forma vettoriale.

SVOLGIMENTO

Facciamo attenzione nella risoluzione di questo esercizio che lo spostamento $\Delta x$ che generalmente consideriamo un numero, nella realtà è un vettore, quindi in questo esercizio dobbiamo considerare ciò.
Suddividiamo le forze applicate alla pallina in due forze, quella esercitata dalla molla $1$ e quella esercitata dalla molla $2$ , inoltre indichiamo con il segno positivo i vettori diretti verso destra e con il segno negativo quelli diretti verso sinistra. Allora

$F_1=-x\cdot k_1$

$F_2=-x\cdot k_2$

dove i due segni meno all’interno delle forze indicano il verso di entrambe le forze che è verso sinistra, la prima è una forza di richiamo della molla $1$ mentre la seconda è la forza respingente della molla $2$ che si contrae. Da cui

$F_{tot}=F_1+F_2=-x\cdot (k_1+k_2)$

Quindi in definitiva $\vec{F_{tot}}$ è un vettore diretto lungo la direzione delle due molle verso sinistra e di modulo $x\cdot (k_1+k_2)$ .

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Esercizio 15 sui vettori e le forze – Esercizi svolti – FISICA

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Andrea e Antonio vogliono fare una gara di lancio per confrontare le loro fionde. Allungando l’elastico di $8,0\: cm$ la fionda di Andrea esercita una forza elastica di $7,5\: N$ , quella di Antonio di $9,0\: N$ . Calcola le costanti elastiche dei due elastici. Di quanto deve allungare l’elastico Andrea per ottenere la stessa forza della fionda di Antonio?