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Esercizio 34 sui vettori e le forze – Esercizi svolti – FISICA

Il vettore $\vec{z}$ è scomposto lungo due direzioni $a$ e $b$ perpendicolari tra loro. I due vettori componenti così ottenuti hanno moduli $z_a=10,2$ e $z_b=13,6$ . Determina il modulo del vettore $\vec{z}$ .

SVOLGIMENTO

Sappiamo che quando scomponiamo un vettore lungo due direzioni perpendicolari siamo in una situazione analoga a quella del piano cartesiano, pertanto il modulo del vettore $\vec{z}$ è calcolabile tramite il teorema di Pitagora. Pertanto

$z=\sqrt{z_a^2+z_b^2}=\sqrt{10,2^2+13,6^2}=17$

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Esercizi di fisica, Vettori e forze

Esercizio 33 sui vettori e le forze – Esercizi svolti – FISICA

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La figura mostra i vettori $\vec{A}$ e $\vec{B}$ e l’angolo $\alpha$ tra essi. I moduli dei vettori sono $A=2,8$ e $B=4,5$ . L’angolo $\alpha$ misura $72^\circ$ .

Calcola il modulo del prodotto vettoriale $\vec{A}\times\vec{B}$ . Quale è il verso del vettore $\vec{C}= \vec{A}\times\vec{B}$ ?

SVOLGIMENTO

Il prodotto vettoriale tra due vettori è un vettore del quale verso e direzione sono facili da determinare utilizzando la regola della “mano destra”, per quanto invece riguarda il modulo sappiamo che tale modulo si ricava con la formula

$A\times B=A\cdot B\cdot \sin{ \alpha}=2,8\cdot 4,5\cdot \sin{72^\circ}\approx 12$

Per determinare il verso attraverso la regola della mano destra bisogna, utilizzando la mano destra, sovrapporre il pollice al vettore $\vec{A}$ e l’indice al vettore $\vec{B}$ , ricordiamo esplicitamente che il prodotto vettoriale non è commutativo, il verso del prodotto vettoriale è il verso del dito medio. Pertanto in questo esercizio il prodotto vettoriale sarà perpendicolare ai vettori $\vec{A}$ e $\vec{B}$ , come sempre, ed “entrerà” nel foglio.

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Esercizio 32 sui vettori e le forze – Esercizi svolti – FISICA

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I vettori $\vec{A}$ e $\vec{B}$ hanno moduli $A=7,0$ e $B=13$ e il modulo del prodotto vettoriale è $62$ . Calcola l’angolo tra i due vettori.

SVOLGIMENTO

$A\times B=A\cdot B\cdot \sin{ \widehat{AB}}$

dove sappiamo che $\widehat{AB}$ è l’angolo formato da i due vettori. Per cui

$62=7,0\cdot 13\cdot \sin{ \widehat{AB}}$

$0,68=\sin{ \widehat{AB}}\Rightarrow \widehat{AB}=\sin^{-1}{0,68}\approx 43^\circ$

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Esercizio 31 sui vettori e le forze – Esercizi svolti – FISICA

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Come fai a ottenere un versore che ha la stessa direzione del vettore $\vec{a}=3\hat{x}+4\hat{y}$ ?

SVOLGIMENTO

Ricordiamo che un versore è un vettore con modulo unitario, quindi partendo da un vettore qualunque, in questo caso $\vec{a}$ , si può ottenere un versore semplicemente facendo

$\hat{a}={\vec{a}\over a}$

Per cui nel nostro esercizio particolare risulta

$\hat{a}={3\hat{x}+4\hat{y}\over \sqrt{3^2+4^2}}={3\hat{x}+4\hat{y}\over \sqrt{25}}={3\over 5}\hat{x}+{4\over 5}\hat{y}$

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Esercizio 30 sui vettori e le forze – Esercizi svolti – FISICA

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In base ai valori delle componenti dei vettori riportati di seguito, determina in quale quadrante si trovano i vettori:

$\vec{v}_A=2\hat{x}-2\hat{y}$

$\vec{v}_B=-3\hat{x}+\hat{y}$

$\vec{v}_C=12\hat{x}+3\hat{y}$

$\vec{v}_D=-\hat{x}-2\hat{y}$

SVOLGIMENTO

Ricordiamo innanzitutto cosa vuol dire la scrittura

$\vec{A}=x_A\hat{x}+y_A\hat{y}$

infatti questo modo di scrivere serve per poter scrivere un vettore, in questo caso $\vec{A}$ , come somma di due vettori che hanno la direzione di $\hat{x}$ e $\hat{y}$ . Detto in maniera più elementare tale scrittura equivale a scrivere

$\vec{A}=(x_A\:;\:y_A)$

Pertanto risulta che

$\vec{v}_A=2\hat{x}-2\hat{y}=(2\:;\:-2)$

$\vec{v}_B=-3\hat{x}+\hat{y}=(-3\:;\:1)$

$\vec{v}_C=12\hat{x}+3\hat{y}=(12\:;\:3)$

$\vec{v}_D=-\hat{x}-2\hat{y}=(-1\:;\:-2)$

Una volta scritti i vettori come punti del piano cartesiano risulta immediato determinare in che quadrante si trovano, infatti basta disegnare il punto.

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Esercizio 29 sui vettori e le forze – Esercizi svolti – FISICA

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I vettori $\vec{A}$ e $\vec{B}$ hanno moduli $A=3,0$ e $B=4,0$ e formano tra loro un angolo di $50^\circ$ . Calcola il modulo del loro prodotto vettoriale.

SVOLGIMENTO

$A\times B=A\cdot B\cdot \sin{ \widehat{AB}}=3,0\cdot 4,0\cdot \sin{50^\circ}\approx 9,2$

dove osserviamo esplicitamente che $\widehat{AB}$ è l’angolo formato da i due vettori.

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Esercizio 28 sui vettori e le forze – Esercizi svolti – FISICA

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Un ragazzo prende la rincorsa e sale con il suo skateboard sulla rampa nella figura, partendo dal punto A. Dopo aver percorso la parte semicircolare fino al punto D spicca un salto in verticale di $70\: cm$ , atterra di nuovo sul bordo nel punto D e ritorna indietro fino a fermarsi nel punto B.

Calcola la distanza totale che percorre lo skateboard prima di fermarsi. Determina il vettore spostamento e calcolane il modulo.

SVOLGIMENTO

Per calcolare la distanza percorsa dividiamo il percorso in parti e calcoliamo la lunghezza di ogni singola parte. Partiamo dal tratto $AB$ (per calcolare questo tratto utilizziamo il teorema di Pitagora).

$\bar{AB}=\sqrt{(6,2\:m)^2+(0,9\: m)^2}\approx 6,26\: m$

Il tratto $CB$ è un tratto rettilineo quindi la sua lunghezza è pari a $L=4,5\: m$ , mentre il tratto $CD$ è una semicirconferenza di raggio $80\:cm$ , quindi la sua lunghezza sarà:

$CD={2\cdot r\cdot \pi\over 2}=r\cdot \pi=0,8\: m\cdot \pi\approx 2,51\:m$

Pertanto, considerando che lo skateboard nel punto D salta di $70\: cm$ e che dopo ritorna indietro fino al punto B, risulta che

$d=6,26\: m+4,5\:m+2,51\: m+0,7\:m+0,7\: m+2,51\: m+4,5\: m=21,68\:m$

Per determinare il vettore spostamento bisogna semplicemente prendere il vettore che parte dal punto iniziale A e arriva al punto finale B, il modulo di tale vettore lo abbiamo già calcolato ed è $6,26\: m$ .

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Esercizio 27 sui vettori e le forze – Esercizi svolti – FISICA

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Due rette $s$ e $t$ sono perpendicolari tra loro. Il vettore $\vec{A}$ , di modulo $12$ , forma un angolo $\alpha=25^\circ$ con la retta $s$ , come mostra la figura.

Calcola le lunghezze delle proiezioni di $\vec{A}$ lungo le rette $s$ e $t$ .

SVOLGIMENTO

Sappiamo che per calcolare le lunghezze delle proiezioni si utilizza la funzione trigonometrica coseno, in particolare per calcolare la proiezione lungo la retta $s$ si utilizza

$A_s=A\cdot \cos(\alpha)=12\cdot \cos(25^\circ)\approx 10,9$

mentre per calcolare la proiezione sulla retta $t$ bisogna tener conto che l’angolo formato dalla retta e dal vettore sarà complementare all’angolo $\alpha$ , pertanto

$A_t=A\cdot \cos(90^\circ-\alpha)=12\cdot \cos(65^\circ)\approx 5,1$

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Esercizio 26 sui vettori e le forze – Esercizi svolti – FISICA

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Un cane legato con una catena lunga $6,0\: m$ corre lungo il percorso circolare con raggio maggiore possibile, compiendo una mezza circonferenza.
– Calcola la distanza percorsa e il modulo del vettore spostamento.
– Calcola il modulo del vettore spostamento nel caso compia due giri completi.

SVOLGIMENTO

Se il cane compie una semicirconferenza la distanza percorsa sarà esattamente uguale alla lunghezza di tale semicirconferenza, ricordando che la distanza percorsa è una grandezza scalare, pertanto

$d={2\cdot r\cdot \pi\over 2}=r\cdot \pi\approx 18,8\: m$

Mentre lo spostamento, che è un vettore, non tiene conto del fatto che il cane per raggiungere la sua posizione finale ha compiuto un tragitto circolare. Semplicemente il modulo dello spostamento è la lunghezza del segmento (vettore) che unisce la posizione iniziale e quella finale. Pertanto

$s=2\cdot r=12\: m$

Infine se volessimo calcolare lo spostamento del cane dopo che ha compiuto due giri osserviamo che da quello detto precedentemente risulta chiaro che il vettore spostamento tiene in considerazione solo il punto di partenza e il punto di arrivo e non il tragitto fatto per arrivare il tale posizione, pertanto avremo che

$s=0\: m$

in quanto punto di partenza e di arrivo coincidono.

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Esercizio 25 sui vettori e le forze – Esercizi svolti – FISICA

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La figura mostra il vettore $\vec{A}$ , la retta $s$ e l’angolo $\alpha$ formato dal vettore e dalla retta. Il modulo del vettore $\vec{A}$ è $5,0$ e la misura dell’angolo $\alpha$ è $35^\circ$ .

Determina la proiezione di $\vec{A}$ lungo la retta $s$ .

SVOLGIMENTO

Per determinare la proiezione di vettore lungo una retta semplicemente si usano le funzioni trigonometriche, in particolare si utilizza la funzione coseno, da cui si ottiene

$A_s=A\cdot \cos(\alpha)=5,0\cdot \cos(34^\circ)\approx 4,1$

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