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Esercizio 54 sui vettori e le forze – Esercizi svolti – FISICA

Un vettore $\vec{a}$ di modulo $a=31$ ha componente $a_b=11$ lungo la direzione di un vettore $\vec{b}$ di modulo $9,0$ . Quanto vale la componente di $\vec{b}$ lungo $\vec{a}$ ?

SVOLGIMENTO

Sappiamo per definizione che

$a_b=a\cdot \cos{\widehat{ab}}$

$b_a=b\cdot \cos{\widehat{ab}}$

Pertanto dalla prima ricavo che

$\cos{\widehat{ab}}={a_b\over a}$

che sostituita nella seconda diventa

$b_a=b\cdot \cos{\widehat{ab}}=b\cdot{a_b\over a}=9\cdot{11\over 31}\approx 3,2$

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Esercizi di fisica, Vettori e forze

Esercizio 53 sui vettori e le forze – Esercizi svolti – FISICA

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Il modulo del vettore $\vec{A}$ è $A=8,2$ e la sua componente lungo l’asse $y$ è $A_y=5,8$ .

Determina la tangente dell’angolo che il vettore $\vec{A}$ forma con gli assi cartesiani.

SVOLGIMENTO

Dalla figura è evidente che l’angolo formato dal vettore $\vec{A}$ sia un angolo di $45^\circ$ , pertanto

$\tan{45^\circ}=1$

Tuttavia “l’evidenza” di una figura non è un criterio accettato per fornire una giustificazione, pertanto procediamo a calcolare effettivamente quell’angolo.
Per fare questo ricordiamo che per definizione

$A_y=A\cdot \sin{\widehat{Ax}}$

quindi

$\widehat{Ax}=\sin^{-1}({A_y\over A})=\sin^{-1}({5,8\over 8,2})\approx 45^\circ$

Osserviamo che il disegno non rappresenta la reale situazione fornita dai dati, infatti se utilizzassimo il disegno potremmo facilmente calcolare

$A=\sqrt{6^2+6^2}\approx 8,49$

$A_y=6$

Per cui la tangente richiesta, utilizzando i dati e non il disegno, è solamente approssimabile a $1$ perchè l’angolo è solamente approssimabile a $45^\circ$ .

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Esercizi di fisica, Vettori e forze

Esercizio 52 sui vettori e le forze – Esercizi svolti – FISICA

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Considera i vettori $\vec{a}$ e $\vec{b}$ rappresentati nella figura.

Calcola il prodotto scalare dei due vettori.
Determina l’angolo $\alpha$ compreso tra i due vettori.

SVOLGIMENTO

Sappiamo che il prodotto scalare tra due vettori $\vec{a}=(a_x\:;\:a_y)$ e $\vec{b}=(b_x\:;\:b_y)$ è un numero scalare che può essere calcolato nei due modi seguenti:

$\vec{a}\cdot \vec{b}=a\cdot b\cdot \cos{\widehat{ab}}$

$\vec{a}\cdot \vec{b}=a_x\cdot b_x+a_y\cdot b_y$

Risulta evidente quindi che nel nostro esercizio possiamo utilizzare la seconda formula per determinare il prodotto scalare, infatti dalla figura possiamo determinare che

$\vec{a}=(6\:;\:2)$

$\vec{b}=(-5\:;\:5)$

per cui

$\vec{a}\cdot \vec{b}=6\cdot (-5)+2\cdot 5=-20$

Inoltre una volta calcolato il prodotto scalare con la seconda formula possiamo utilizzare la prima per calcolare l’angolo $\alpha$ , infatti

$\vec{a}\cdot \vec{b}=a\cdot b\cdot \cos{\alpha}\Rightarrow \alpha=\cos^{-1}({\vec{a}\cdot \vec{b}\over a\cdot b})$

$\alpha=\cos^{-1}({\vec{a}\cdot \vec{b}\over \sqrt{a_x^2+a_y^2}\cdot \sqrt{b_x^2+b_y^2}})$

quindi

$\alpha=\cos^{-1}({-20\over \sqrt{6^2+2^2}\cdot \sqrt{(-5)^2+5^2}})\approx 116,6^\circ$

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Esercizi di fisica, Vettori e forze

Esercizio 51 sui vettori e le forze – Esercizi svolti – FISICA

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Individua le componenti cartesiane dei vettori $\vec{A}$ e $\vec{B}$ mostrati nella figura. Fai attenzione alla posizione dei versori $\hat{x}$ e $\hat{y}$ .

SVOLGIMENTO

Come suggerisce il problema facciamo attenzione alla posizione dei versori, infatti generalmente il versone $\hat{x}$ è quello che identifica la direzione orizzontale, mentre quello $\hat{y}$ quella verticale, inoltre generalmente il versore orizzontale è direzionato verso destra, mentre in questo esercizio è posizionato verso sinistra. Una volta osservato questo ci basta posizionare il vettore nella posizione di origine del piano cartesiano e determinare le coordinate della punta del vettore. Quindi

$\vec{A}=-3\cdot \hat{y}-1\cdot \hat{x}$

$\vec{B}=4\cdot \hat{y}-3\cdot\hat{x}$

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Esercizi di fisica, Vettori e forze

Esercizio 50 sui vettori e le forze – Esercizi svolti – FISICA

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Sono dati due vettori: $\vec{a}=\hat{x}-\hat{y}$ , $\vec{b}=7\hat{x}-2\hat{y}$ .
Calcola il prodotto scalare tra i due vettori.

SVOLGIMENTO

Sappiamo che il prodotto scalare tra due vettori $\vec{a}=(a_x\:,\:a_y)$ e $\vec{b}=(b_x\:,\:b_y)$ è un numero scalare che può essere calcolato usando le due formule

$\vec{a}\cdot \vec{b}=a\cdot b\cdot \cos{\widehat{ab}}$

$\vec{a}\cdot \vec{b}=a_x\cdot b_x+a_y\cdot b_y$

In questo esercizio sarà ben più comodo utilizzare la seconda versione della formula siccome non conosciamo l’angolo e neanche i moduli (si potrebbero ovviamente calcolare), mente della seconda formula conosciamo tutto, infatti

$\vec{a}=\hat{x}-\hat{y}=(1\:,\:-1)$

$\vec{b}=7\hat{x}-2\hat{y}=(7\:,\:-2)$

da cui

$\vec{a}\cdot \vec{b}=a_x\cdot b_x+a_y\cdot b_y=1\cdot 7+(-1)\cdot (-2)=9$

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Esercizio 49 sui vettori e le forze – Esercizi svolti – FISICA

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Individua le componenti cartesiane dei vettori $\vec{A}$ e $\vec{B}$ mostrati nella figura, dove sono riportati anche i versori $\hat{x}$ e $\hat{y}$ .

SVOLGIMENTO

Per individuare le componenti lungo le due direzioni indicate in figura semplicemente bisogna indicare le coordinate cartesiane della punta della freccia (che rappresenta sostanzialmente il vettore) considerando che il vettore sia centrato nel punto di coordiante $(0\:,\:0)$ , ossia nell’origine. Una volta ricordato questo abbiamo che

$\vec{A}=(2\:,\:1)=2\cdot\hat{x}+1\cdot\hat{y}$

$\vec{B}=(-3\:,\:2)=-3\cdot \hat{x}+2\cdot \hat{y}$

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Esercizio 48 sui vettori e le forze – Esercizi svolti – FISICA

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I vettori $\vec{d}$ ed $\vec{e}$ hanno moduli $d=5,39$ ed $e=4,65$ e formano tra loro un angolo di $120^\circ$ .
Quanto vale il prodotto scalare $k=\vec{d} \cdot \vec{e}$ ?

SVOLGIMENTO

Sappiamo che per definizione il prodotto scalare tra due vettori altro non è che un numero scalare che ha valore uguale a

$\vec{d} \cdot \vec{e}=d\cdot e\cdot \cos{120^\circ}=5,39\cdot 4,65\cdot \cos{120^\circ}=-12,5$

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Esercizio 47 sui vettori e le forze – Esercizi svolti – FISICA

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La figura mostra il vettore $\vec{A}$ di modulo $A=5,0$ e la sua proiezione $\vec{A}_x=-3,0\hat{x}$ sull’asse $x$ .

Calcola l’ampiezza dell’angolo $\alpha$ mostrato nella figura.
Determina la proiezione $\vec{A}_y$ del vettore $\vec{A}$ sull’asse $y$ .

SVOLGIMENTO

Sappiamo che dato un vettore $\vec{A}$ e l’angolo $\widehat{Ax}$ che il vettore forma con l’asse $x$ i moduli delle due proiezioni lungo gli assi cartesiani si determinano con le formule

$A_x=A\cdot\cos{\widehat{Ax}}$

$A_y=A\cdot \sin{\widehat{Ax}}$

Pertanto dalla prima proiezione possiamo determinare l’angolo $\alpha$ per poi inserire tale angolo nella seconda formula e determinare la proiezione lungo l’asse $y$ .

$A_x=A\cdot\cos{(180^\circ-\alpha)}$

Dove osserviamo che nelle formule delle proiezioni l’angolo $\widehat{Ax}$ è un angolo “orientato” quindi per calcolare $\alpha$ che è orientato dalla parte opposta devo fare per forza $\alpha=180^\circ-\widehat{Ax}$ .

$-3,0=5,0\cdot\cos{(180^\circ-\alpha)}\Rightarrow \cos{(180^\circ-\alpha)}={-3,0\over 5,0}$

$\alpha=180^\circ-\cos^{-1}{-3,0\over 5,0}\approx 53,1^\circ$

da cui

$\vec{A}_y=A_y\cdot \hat{y}=A\cdot \sin{(180^\circ-\alpha)}\cdot \hat{y}$

$\vec{A}_y=5,0\cdot \sin{126,9^\circ}\cdot \hat{y}=4\cdot \hat{y}$

Osserviamo infine che l’esercizio richiede proprio la proiezione $\vec{A}_y$ quindi oltre al modulo bisogna anche aggiungere il versore che caratterizza direzione e verso di tale vettore, cioè $\hat{y}$ .

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Esercizio 46 sui vettori e le forze – Esercizi svolti – FISICA

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I vettori $\vec{a}$ e $\vec{b}$ hanno moduli $a=6,82$ e $b=9,47$ e formano tra loro un angolo di $45^\circ$ .
Quanto vale il prodotto scalare $c=\vec{a}\cdot \vec{b}$ ?

SVOLGIMENTO

Sappiamo che il prodotto scalare tra due vettori è un numero che si può calcolare con la formula

$c=\vec{a}\cdot \vec{b}=a\cdot b\cdot \cos{\widehat{ab}}$

pertanto in questo esercizio conosciamo tutto per utilizzare direttamente questa formula, pertanto

$c=6,82\cdot 9,47\cdot \cos{45^\circ}\approx 45,7$

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Esercizio 45 sui vettori e le forze – Esercizi svolti – FISICA

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Il modulo del prodotto vettoriale tra i vettori $\vec{A}$ e $\vec{B}$ è uguale a $24$ . I moduli dei due vettori sono $A=5,0$ e $B=6,0$ . Calcola il prodotto scalare tra $\vec{A}$ e $\vec{B}$ .

SVOLGIMENTO

Partiamo ricordando le definizioni di prodotto scalare e prodotto vettoriale. Il prodotto scalare tra due vettori è un numero il cui valore si calcola con la formula

$\vec{A}\cdot \vec{B}=A\cdot B\cdot \cos{\widehat{AB}}$

mentre il prodotto vettoriale è un vettore la cui direzione è perpendicolare ai vettori $\vec{A}$ e $\vec{B}$ e il cui verso è determinabile con la regola della “mano destra”, per finire il modulo si determina con la formula

$\vec{A}\times\vec{B}=A\cdot B\cdot\sin{\widehat{AB}}$

Una volta detto questo la risoluzione dell’esercizio consiste nel calcolare l’angolo utilizzando il prodotto vettoriale e poi inserire l’angolo nella formula del prodotto scalare. Infatti

$\vec{A}\times\vec{B}=A\cdot B\cdot\sin{\widehat{AB}}$

$24=5,0\cdot 6,0\cdot\sin{\widehat{AB}}\Rightarrow \sin{\widehat{AB}}={24\over 5,0\cdot 6,0}$

$\widehat{AB}=\sin^{-1}{24\over 30}\approx 53,1^\circ$

da cui

$\vec{A}\cdot \vec{B}=A\cdot B\cdot \cos{\widehat{AB}}$

$\vec{A}\cdot \vec{B}=5,0\cdot 6,0\cdot \cos{53,1^\circ}=18$

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