Archivi categoria: Velocità e moto rettilineo uniforme

Il rintocco di una campana lontana $1\: km$ indica che è mezzogiorno in punto. In realtà quando sento il suono che ore sono? (Per la velocità del suono usa il valore $3,32\times 10^2\: m/s$ ).

SVOLGIMENTO

Il suono sappiamo che viaggia in linea retta, quindi il moto del suono è un moto rettilineo uniforme, pertanto la definizione di velocità perde la connotazione vettoriale per diventare

$v_m={\Delta x\over \Delta t}$

ossia lo spazio percorso fratto il tempo necessario a percorrerlo. L’esercizio quindi consiste nel determinare il tempo necessario al suono per percorrere $1\: km=1000\: m$ , pertanto

$\Delta t={\Delta x\over v_m}={1000\: m\over 3,32\times 10^2\: m/s}\approx 3\: s$

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Esercizi di fisica, Velocità e moto rettilineo uniforme

Esercizio 73 sulla velocità e sul moto rettilineo uniforme – Esercizi svolti – FISICA

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La posizione di una particella in funzione del tempo è:

$x=(-2,00\: m/s)t+(3,00\: m/s^3)t^3$

Determina la velocità media della particella nell’intervallo fra $t=0,150\: s$ e $t=0,250\:s$ .
Determina la velocità media della particella nell’intervallo fra $t=0,190\: s$ e $t=0,210\:s$ .
Ti aspetti che la velocità istantanea a $t=0,200\; s$ sia più prossima a $-1,62\: m/s$ o a $-1,64\: m/s$ .

SVOLGIMENTO

Prima di procedere con il conto ricordiamo la definizione di velocità. Innanzitutto osserviamo che il moto della particella è un moto rettilineo, quindi il vettore spostamento coincide con la distanza percorsa. In questa condizione la definizione di velocità media diventa

$v_m={\Delta x\over \Delta t}$

ossia la distanza percorsa fratto il tempo necessario a percorrerla. Utilizziamo ora la nostra formula per rispondere alle varie domande.

$v_1={x(0,250)-x(0,150)\over 0,250\:s-0,150\:s}=$

$={(-2\: m/s)\cdot 0,25\: s+(3\: m/s^3)\cdot(0,25\: s)^3-((-2\: m/s)\cdot 0,15\: s+(3\: m/s^3)\cdot(0,25\: s)^3)\over 0,1\: s}=$

$={-1,16325\: m\over 0,1\: s}\approx -1,63\: m/s$

$v_2={x(0,210)-x(0,190)\over 0,210\:s-0,190\:s}=$

$={(-2\: m/s)\cdot 0,21\: s+(3\: m/s^3)\cdot(0,21\: s)^3-((-2\: m/s)\cdot 0,19\: s+(3\: m/s^3)\cdot(0,19\: s)^3)\over 0,02\: s}=$

$={-0,032794\: m\over 0,02\: s}\approx -1,64\: m/s$

Per rispondere all’ultima domanda bisogna ragionare sul concetto di velocità istantanea. Infatti tale velocità è la velocità che un oggetto ha in un istante di tempo ben preciso, per calcolarla si fa diventare l’intervallo di tempo sempre più piccolo in maniera tale da poterlo considerare un istante. Risulta chiaro che un intervallo di tempo di $0,02\: s$ possa essere ritenuto adeguato per dire che con molta probabilità in tutto quell’intervallo di tempo che va da $0,190\: s$ a $0,210\: s$ la velocità istantanea sarà vicina alla velocità media, ossia $-1,64\: m/s$ .

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Esercizi di fisica, Velocità e moto rettilineo uniforme

Esercizio 72 sulla velocità e sul moto rettilineo uniforme – Esercizi svolti – FISICA

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La posizione di una particella in funzione del tempo è:

$x=(2,0\: m/s)t-(3,0\: m/s^3)t^3$

Determina la velocità media della particella nell’intervallo fra $t=0,35\: s$ e $t=0,45\:s$ .
Determina la velocità media della particella nell’intervallo fra $t=0,39\: s$ e $t=0,41\:s$ .
Ti aspetti che la velocità istantanea a $t=0,40\; s$ sia più prossima a $0,54\: m/s$ , $0,56\: m/s$ o a $0,58\: m/s$ .

SVOLGIMENTO

$v_m={\Delta x\over \Delta t}$

ossia la distanza percorsa fratto il tempo necessario a percorrerla. Utilizziamo ora la nostra formula per rispondere alle varie domande.

$v_1={x(0,45)-x(0,35)\over 0,45\:s-0,35\:s}=$

$={(2,0\: m/s)\cdot 0,45\: s-(3,0\: m/s^3)\cdot(0,45\: s)^3-((2,0\: m/s)\cdot 0,35\: s-(3,0\: m/s^3)\cdot(0,35\: s)^3)\over 0,1\: s}=$

$={0,05525\: m\over 0,1\: s}\approx 0,55\: m/s$

$v_2={x(0,41)-x(0,39)\over 0,41\:s-0,39\:s}=$

$={(2,0\: m/s)\cdot 0,41\: s-(3,0\: m/s^3)\cdot(0,41\: s)^3-((2,0\: m/s)\cdot 0,39\: s-(3,0\: m/s^3)\cdot(0,39\: s)^3)\over 0,02\: s}=$

$={0,011194\: m\over 0,02\: s}\approx 0,56\: m/s$

Per rispondere all’ultima domanda bisogna ragionare sul concetto di velocità istantanea. Infatti tale velocità è la velocità che un oggetto ha in un istante di tempo ben preciso, per calcolarla si fa diventare l’intervallo di tempo sempre più piccolo in maniera tale da poterlo considerare un istante. Risulta chiaro che un intervallo di tempo di $0,02\: s$ possa essere ritenuto adeguato per dire che con molta probabilità in tutto quell’intervallo di tempo che va da $0,39\: s$ a $0,41\: s$ la velocità istantanea sarà vicina alla velocità media, ossia $0,56\: m/s$ .

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Esercizi di fisica, Velocità e moto rettilineo uniforme

Esercizio 71 sulla velocità e sul moto rettilineo uniforme – Esercizi svolti – FISICA

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La posizione di una particella in funzione del tempo è

$x=(6\: m/s)\: t-(2\: m/s^2)\: t^2$

Determina la velocità media della particella fra $t=0\: s$ e $t=1\: s$ .
Determina la velocità scalare media tra fra $t=0\: s$ e $t=1\: s$ .

SVOLGIMENTO

Prima di procedere con l’esercizio ricordiamo la differenza che c’è tra velocità media e velocità scalare media. La velocità media è un vettore, quindi tiene conto del vettore spostamento, mentre la velocità scalare media tiene conto solamente della distanza percorsa. In un qualche modo la velocità scalare media si ottiene rettificando la traiettorie della particella in maniera tale che il moto diventi un moto rettilineo uniforme e quindi il vettore spostamento coincida con la distanza percorsa. In questo esercizio il moto della particella avviene su una retta, pertanto velocità media e velocità scalare media coincidono e si calcolano con la formula

$v_m={\Delta x\over \Delta t}$

ossia lo spazio percorso fratto il tempo necessario a percorrerlo. Quindi

$v_m={x(1)-x(0)\over \Delta t}={(6\: m/s)\: \cdot 0\:s-(2\: m/s^2)\: \cdot (0\: s)^2-((6\: m/s)\: \cdot 1\:s-(2\: m/s^2)\: \cdot (1\: s)^2)\over 1\: s}$

$v_m={4\: m\over 1\:s}=4\: m/s$

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Esercizi di fisica, Velocità e moto rettilineo uniforme

Esercizio 70 sulla velocità e sul moto rettilineo uniforme – Esercizi svolti – FISICA

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Due ciclisti percorrono la stessa distanza. Il primo impiega $40\: minuti$ , il secondo impiega un tempo inferiore del $15\:\%$ al tempo del primo.
Calcola il tempo impiegato dal secondo ciclista.
Calcola il rapporto percentuale fra la velocità media del secondo ciclista e quella del primo. Di quanto la velocità media del secondo ciclista è maggiore di quella del primo?

SVOLGIMENTO

Sappiamo che il concetto di velocità rettilinea è

$v_m={\Delta x\over \Delta t}$

ossia lo spazio percorso fratto il tempo necessario a percorrerlo. Una volta ricordato questo vediamo come sono le due variabili spazio e tempo per i due ciclisti. Sicuramente la distanza $\Delta x$ di entrambi i ciclisti è uguale, mentre per quanto riguarda i due tempi sappiamo che

$t_2=t_1-15\:\%\cdot t_1=t_1-{15\over 100}\cdot t_1=0,85\: t_1$

da questa formula è facile vedere che

$t_2=0,85\cdot 40\:min=34\: min$

A questo punto

$v_1={\Delta x\over 40\: min}$

$v_2={\Delta x\over 34\: min}$

Per calcolare di quanto la velocità media del secondo ciclista è maggiore di quella del primo si utilizza la proporzione

$v_1:100=v_2-v_1:y$

la cui formula risolutiva è

$y={(v_2-v_1)\cdot 100\over v_1}={v_2\cdot 100\over v_1}-100$

allora

${v_2\over v_1}\cdot 100={\Delta x\over 34\: min}:{\Delta x\over 40\: min}\cdot 100={\Delta x\over 34\: min}\cdot {40\: min\over \Delta x}\cdot 100$

${v_2\over v_1}\cdot 100={40\: min\over 34\: min}\cdot 100\approx 118\:\%$

quindi

$y=118-100=18\:\%$

Osserviamo esplicitamente che l’unità di misura del tempo, qui abbiamo usato i $min$ , non ci interessa particolarmente perchè sappiamo già che in un rapporto percentuali le unità di misura si andranno a semplificare, quindi la conversione in secondi (o in ore) sappiamo già in partenza che sarebbe una perdita di tempo.

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Esercizi di fisica, Velocità e moto rettilineo uniforme

Esercizio 69 sulla velocità e sul moto rettilineo uniforme – Esercizi svolti – FISICA

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La velocità della luce nel vuoto vale circa $300000\: km/s$ . Proxima Centauri, la stella più vicina a noi dopo il Sole, dista dalla Terra $4,22\: a.l.$ , dove un anno-luce è la distanza percorsa dalla luce in un anno. Quanti chilometri dista dalla Terra la stella Proxima Centauri?

SVOLGIMENTO

L’anno-luce è un’unità di misura della distanza che si utilizza per distanza spaziali enormi rispetto alle distanze che siamo soliti misurare sulla Terra. Per fare la conversione si utilizza la definizione rettilinea di velocità, ossia

$v={\Delta x\over \Delta t}$

dove $\Delta x$ è lo spazio percorso e il $\Delta t$ è il tempo necessario a percorrere tale spazio. Una volta ricordato questo lo spazio percorso dalla luce in un anno si può calcolare facendo

$\Delta x=v_{luce}\cdot \Delta t=300000\:km/s\cdot (365\cdot 24\cdot 60\cdot 60)\: s\approx 9,5\cdot 10^{12}\: km$

Per cui la nostra distanza sarà

$d=4,22\: a.l.\approx 4\cdot 10^{13}\: km$

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Esercizi di fisica, Velocità e moto rettilineo uniforme

Esercizio 68 sulla velocità e sul moto rettilineo uniforme – Esercizi svolti – FISICA

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Due atleti percorrono la stessa distanza. Il primo impiega un tempo superiore del $20\: \%$ al tempo impiegato dal secondo. Stabilisci di quanto, in percentuale, la velocità media del primo atleta è minore di quella del secondo.

SVOLGIMENTO

Sappiamo che per calcolare una percentuale si utilizza una proporzione, in particolare la proporzione per risolvere questo esercizio è del tipo

$v_2:100=v_2-v_1:y$

quindi si pone la velocità media del secondo atleta come $100$ e si certa di determinare quanti di questi $100$ valgono la differenza tra le due velocità.
Attenzione però che in questo esercizio non conosciamo né lo spazio né il tempo impiegato, l’unica cosa che sappiamo è che lo spazio è lo stesso, e lo chiameremo $x$ , e che il tempo del primo atleta è il $20\:\%$ in più del tempo del secondo atleta, ossia

$t_1=t_2+20\:\%\cdot t_2=t_2+{20\over 100}\cdot t_2=1,2\cdot t_2$

Pertanto possiamo calcolare

$v_1={x\over 1,2\cdot t_2}$

$v_2={x\over t_2}$

Una volta fatto questo la proporzione scritta sopra diventa

${x\over t_2}:100={x\over t_2}-{x\over 1,2\cdot t_2}:y$

${x\over t_2}:100={1,2\cdot x\over 1,2\cdot t_2}-{x\over 1,2\cdot t_2}:y$

${x\over t_2}:100={1,2\cdot x-x\over 1,2\cdot t_2}:y$

${x\over t_2}:100={0,2\cdot x\over 1,2\cdot t_2}:y$

Una volta scritta così la proporzione la soluzione sappiamo essere

$y=100\cdot {0,2\cdot x\over 1,2\cdot t_2}:{x\over t_2}$

$y=100\cdot {0,2\cdot x\over 1,2\cdot t_2}\cdot {t_2\over x}$

$y=100\cdot {0,2\over 1,2}\approx 17\:\%$

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Esercizi di fisica, Velocità e moto rettilineo uniforme

Esercizio 67 sulla velocità e sul moto rettilineo uniforme – Esercizi svolti – FISICA

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Nel corpo umano gli impulsi nervosi viaggiano a una velocità media di circa $10^2\: m/s$ . In piscina, prima di immergerti, provi la temperatura dell’acqua con un piede. Stima l’intervallo di tempo nel quale l’impulso generato dal contatto con l’acqua raggiunge il tuo cervello.

SVOLGIMENTO

Prima di procedere con la soluzione dell’esercizio ricordiamo la definizione di velocità media su tratti rettilinei, in questo caso la velocità si esprime con la formula

$v_m={\Delta x\over \Delta t}$

ossia lo spazio percorso fratto il tempo necessario a percorrerlo. In questa situazione, stimando l’altezza del corpo umano come $1,80\: m$ , possiamo calcolare il tempo necessario all’impulso per percorrere lo spazio che separa il piede dalla testa. Pertanto

$\Delta t={\Delta x\over v_m}={1,80\: m\over 10^2\: m/s}\approx 0,02\: s$

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Esercizi di fisica, Velocità e moto rettilineo uniforme

Esercizio 66 sulla velocità e sul moto rettilineo uniforme – Esercizi svolti – FISICA

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Nel modello atomico di Rutherford, l’elettrone dell’atomo di idrogeno si muove con una velocità media di modulo $v_e\approx 2,2\cdot 10^6\: m/s$ . La velocità della luce nel vuoto è uguale a $3,0\cdot 10^8\: m/s$ . Quale è il rapporto percentuale fra la velocità dell’elettrone e quella della luce?

SVOLGIMENTO

Per calcolare una percentuale bisogna fare una proporzione del tipo

$v_{luce}:100=v_e:x$

in questo modo si riesce a calcolare quanto vale la velocità dell’elettrone se la velocità della luce si imposta a un valore di $100$ . Per risolvere la proporzione si fa

$x={100\cdot v_e\over v_{luce}}={2,2\cdot 10^6\: m/s\cdot 100\over 3,0\cdot 10^8\: m/s}\approx 0,73\:\%$

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Esercizi di fisica, Velocità e moto rettilineo uniforme

Esercizio 65 sulla velocità e sul moto rettilineo uniforme – Esercizi svolti – FISICA

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La stazione spaziale internazionale (ISS) si muove alla velocità di $2,8\times 10^4 \:km/h$ descrivendo $16$ orbite al giorno, approssimativamente circolari, di raggio $6735\: km$ . Contemporaneamente, una lumaca si muove in un giardino alla velocità media di $0,013\:m/s$ .
Calcola la distanza percorsa dalla ISS in un giorno.
Calcola la distanza percorsa dalla lumaca nell’ipotesi che si muova a velocità costante per un intero giorno.

SVOLGIMENTO

Per risolvere questo esercizio dobbiamo rettificare la traiettoria della stazione spaziale, infatti se si utilizzasse la definizione vettoriale di velocità la stazione spaziale avrebbe velocità nulla, infatti il vettore spostamento sarebbe nullo dopo ogni giro. Se consideriamo la rettificazione della traiettoria il concetto di velocità media diventa

$v_m={\Delta x\over \Delta t}$

ossia lo spazio percorso fratto il tempo necessario a percorrerlo. Calcoliamo pertanto lo spazio percorso dalla stazione spaziale facendo

$\Delta x^{ISS}=v_m^{ISS}\cdot \Delta t}={2,8\times 10^4 km/h\cdot 24\: h}=672000\: km\approx 6,7\times 10^8 \: m$

Osserviamo che lo spazio percorso dalla stazione spaziale si sarebbe potuto calcolare anche facendo

$\Delta x^{ISS}=16\cdot C_{orbita}=16\cdot 2\cdot r_{orbita}\cdot \pi$

Per quanto invece riguarda la lumaca possiamo utilizzare la stessa formula, pertanto

$\Delta x^L=v_m^L\cdot \Delta t=0,0013\: m/s\cdot 86400\:s=1123,2\: m$

Dove osserviamo che abbiamo scelto di convertire il tempo in $secondi$ .

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Esercizio 74 sulla velocità e sul moto rettilineo uniforme – Esercizi svolti – FISICA

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Esercizio 73 sulla velocità e sul moto rettilineo uniforme – Esercizi svolti – FISICA

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Esercizio 72 sulla velocità e sul moto rettilineo uniforme – Esercizi svolti – FISICA

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