Dal secondo principio della dinamica sappiamo che la forza è proporzionale all’accelerazione che provoca tramite la formula

   

per cui la forza esercitata da Giada senza busto è

   

nel caso invece avesse il busto

   

e quindi l’incremento di forza sarà di .

Prima di procedere con la risoluzione osserviamo che il risultato sia nel sistema Terra che nel sistema ascensore dovrà fornire lo stesso risultato, siccome il tempo nella relatività galileiana è una costante. Procediamo con la risoluzione all’interno del sistema Terra (soluzione più difficile). Nel sistema Terra l’ascensore si muove verso l’alto di moto rettilineo uniforme mentre la penna si muove di moto uniformemente accelerato con velocità iniziale uguale alla velocità dell’ascensore e accelerazione uguale all’accelerazione gravitazionale. Una volta capito questo (e fissato la posizione del pavimento) la legge oraria del pavimento dell’ascensore sarà

   

mentre la legge orario della penna sarà

   

e la condizione che esprime il contatto tra penna e pavimento sarà

   

   

   

   

Dal punto di vista del sistema ascensore invece l’ascensore risulta fermo e la penna si muove di moto uniformemente accelerato con partenza da ferma alla quota di , pertanto

   

   

   

A livello vettoriale possiamo dire che la velocità che il fiume ha rispetto all’osservatore è uguale alla somma tra la velocità che il fiume ha rispetto alla barca e la velocità che la barca ha rispetto all’osservatore, ossia

   

da cui

   

Prima di terminare proviamo a spiegare l’esercizio a livello intuitivo. La barca si muove sul letto del fiume con una velocità rispetto all’acqua di controcorrente, nonostante questo un osservatore esterno vede la barca muoversi lungo il verso della corrente con una velocità di , ne segue che la velocità della barca controcorrente non basta a contrastare tutta la velocità della corrente del fiume che è più veloce, pertanto la velocità del fiume sarà .

La legge oraria rappresenta una formula che permette di calcolare la posizione di un oggetto in funzione del tempo. Per utilizzare la legge oraria necessitiamo di fissare un sistema di riferimento che in questo esercizio è già stato in parte fissato. Infatti la posizione iniziale è fissata sul turista che cammina. Fissiamo allora il momento in cui il turista si trova esattamente prima del peschereccio. Una volta fatto questo sappiamo che la struttura della legge oraria di un moto rettilineo uniforme (in questo esercizio non ci sono accelerazioni perchè i tre attori principali, cioè turista, nave e peschereccio, si muovono tutti a velocità costante) è del tipo

   

per cui per concludere la legge oraria ci basta determinare ossia la velocità del peschereccio rispetto al turista. Il turista cammina a una velocità di verso la prua (parte anteriore) di una nave che si muove alla velocità di , pertanto il turista si muove complessivamente a , siccome il peschereccio ha una velocità di nella stessa direzione della velocità del turista la sua velocità rispetto al turista è di , dove il segno meno indica il fatto che, per il turista, il peschereccio sta andando verso di lui. In definitiva la legge oraria sarà

   

La velocità complessiva della barca deve essere perpendicolare alle rive, ma tale velocità sarà la somma vettoriale tra la velocità effettiva della barca e quella dell’acqua del fiume, ossia

   

Fissiamo un sistema cartesiano sulla barca in maniera tale che l’asse sia orientato come il fiume e l’asse sia orientato come la velocità totale che la barca dovrà avere (ossia perpendicolarmente alle rive) da cui

   

e pertanto

   

   

che, sostituendo le due velocità e otteniamo

   

   

da cui

   

Sul secchio agiscono due forze, la prima è la tensione della fune verso l’alto e la seconda è la forza peso . Il secondo principio della dinamica ci dice che l’accelerazione di un corpo è legata alla risultante delle forze che agiscono sul corpo dalla relazione

   

per cui nel nostro caso, siccome le forze hanno stessa direzione ma verso opposto

   

da cui

   

dove osserviamo esplicitamente che l’accelerazione del secchio, che è diretta verso l’alto, deve avere segno opposto all’accelerazione gravitazionale diretta verso il basso, in questo esercizio abbiamo deciso di porre il verso positivo quello diretto verso il basso. Osserviamo anche che, nella formula finale, abbiamo utilizzato come unità di misura dell’accelerazione , infatti

   

quindi le due unità di misura sono equivalenti.

Sul secchio agiscono due forze, la prima è la tensione della fune verso l’alto e la seconda è la forza peso . Il secondo principio della dinamica ci dice che l’accelerazione di un corpo è legata alla risultante delle forze che agiscono sul corpo dalla relazione

   

per cui nel nostro caso, siccome le forze hanno stessa direzione ma verso opposto

   

dove osserviamo che il segno negativo è dovuto al fatto che abbiamo implicitamente assegnato il segno positivo alla forza peso, quindi la tensione della fune, che è di verso opposto alla forza peso, avrà segno negativo.

Prima di procedere con la soluzione cerchiamo di capire bene la situazione. La forza esercitata dal bambino sul treno è la forza che fa muovere tutto il treno, sia il primo che il secondo vagone, pertanto la secondo legge della dinamica la possiamo scrivere come

   

Una volta dedotto questo osserviamo che la forza che il primo vagone esercita sul secondo vagone tramite la tensione della fune che li collega è la forza che permette al secondo vagone di andare all’accelerazione calcolata prima, infatti tutto il treno si muove alla stessa accelerazione, pertanto il secondo principio della dinamica diventa

   

Un piano inclinato generico lo possiamo modellizzare nel seguente modo

Pertanto la forza che permette al bambino di scendere lungo lo scivolo altro non è che la sottrazione tra la componente parallela della forza peso, che è diretta verso “la discesa” e la forza di attrito che ostacola questo movimento, ossia

   

Una volta osservato questo, grazie al secondo principio della dinamica, possiamo scrivere

   

Per concludere l’esercizio facciamo un piccolo discorso sulla forza di attrito. Per definizione la forza di attrito è

   

dove è la forza “premente”, ossia la forza che tiene incollato il bambino al piano inclinato. Nella situazione dei piani inclinati questa forza è la componente perpendicolare della forza peso, ossia . In definitiva quindi

   

   

Possiamo modellizzare la nostra situazione nel seguente modo

Pertanto la cassa si muove verso il basso soggetta a una forza pari a . Dal secondo principio della dinamica è quindi possibile calcolare l’accelerazione della cassa, infatti

   

La seconda domanda è una domanda sul moto uniformemente accelerato, ossia: quanto ci mette un corpo con accelerazione e partenza da fermo a percorrere ? Tra le formule che conosciamo sul moto uniformemente accelerato la legge oraria è quella che fa al caso nostro (nella condizione in cui e )