Durante una maratona, Sandro passa davanti a un punto di ristoro alla velocità costante di 
. Michele si trova dietro Sandro, a una distanza dal punto di ristoro pari a 
e procede a una velocità di 
.
- Scrivi le leggi del moto per entrambi gli atleti.
- Dopo quanto tempo Michele supera Sandro?
SVOLGIMENTO
Le due leggi orarie sono abbastanza semplici da fare, se prendiamo come punto di riferimento 
, cioè il punto di ristoro, avremo:
![\[x_s(t)=x_c(0)+v_s\cdot t=5,0\: m/s\cdot t\]](https://www.brevilezioni.it/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-150aa8f2b023d4f69bff7d66f5b3f203_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[x_m(t)=x_m(0)+v_m\cdot t=-30\: m+6,0\: m/s\cdot t\]](https://www.brevilezioni.it/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-23003e7f1e6178b5cc9d8d137650379a_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Per calcolare il secondo punto abbiamo due metodi entrambi abbastanza elementari, il primo consiste nel notare che i due corridori sono separati da e che Michele corre a 
più veloce di Sandro, quindi recupererà 
ogni secondo per cui ci vorranno 
. Il secondo metodo, più meccanico del primo, consiste nell’osservare che Michele supererà Sandro nel momento in cui le due leggi orarie daranno lo stesso valore, ossia quando
![\[5,0\: m/s\cdot t=-30\: m+6,0\: m/s\cdot t \Rightarrow t=30\: s\]](https://www.brevilezioni.it/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-6c32dce97fd01906776c5ae29afb8d86_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
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alla velocità di 
. Il tempo effettivo di percorrenza dei 
. Calcola quale è il tempo di reazione del corridore.![\[t_{corsa}={x\over v}={100\: m\over 10,13\: m/s}\approx 9,87\: s\]](https://www.brevilezioni.it/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-e67d3ed522cc38737e0b28676527bf80_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[t_{reazione}=t_{effettivo}-t_{corsa}=9,99\: s-9,87\: s=0,12\: s\]](https://www.brevilezioni.it/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-f96d69930f0dc97f86dd0bca610ed617_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
su una strada statale, 
in un centro abitato e 
in autostrada. Il limite di velocità sulla strada statale è di 
, in città di 
e di 
in autostrada. Calcola quale è il minimo tempo per completare il percorso.![\[t_{minimo}=t_1+t_2+t_3={x_1\over v_1}+{x_2\over v_2}+{x_3\over v_3}={45\: km\over 90\:km/h}+{5,0\: km\over 50\:km/h}+{65\: km\over 130\:km/h}=1,1\: h=1\: h\: 6\: min\]](https://www.brevilezioni.it/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-9bd9b5c09161ad002b5ba3c0842a288d_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
la velocità media di avanzamento di un foglio A4 (
).![\[16\:{pagine\over minuto}=16\cdot {297\: mm\over 60\:s}=16\cdot {29,7\: cm\over 60\:s}={16\cdot 29,7 \over 60}\:cm/s=7,92\: cm/s\]](https://www.brevilezioni.it/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-ef0eccdcb63fcaf23cada805da925f2e_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[16\:{pagine\over minuto}=16\cdot {20\cdot 210\: mm\over 60\:s}=16\cdot {420\: cm\over 60\:s}={16\cdot 420\over 60}\:cm/s=112 \: cm/s\]](https://www.brevilezioni.it/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-b6c2f8192edb5782a3a8fc42931443fa_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
dalla prima postazione di un posto di controllo di velocità, si accorge che la sua velocità media è 
. Quale velocità dovrà mantenere fino al successivo posto di controllo, situato 
più avanti, in modo che la velocità media rilevata rientri nel limite di 
?
del tragitto a tale velocità media![\[t_{totale}={x\over v}={5\: km\over 130\: km/h}={1\over 26}\: h\]](https://www.brevilezioni.it/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-8373e3392f963783349c3ed1c48192e3_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[t_1={x_1\over v_1}={2\: km\over 140\: km/h}={1\over 70}\: h\]](https://www.brevilezioni.it/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-835f3de418ebc3d1739570544d621d51_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[t_2={1\over 26}\: h-{1\over 70}\: h={11\over 455}\: h\]](https://www.brevilezioni.it/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-34d9e18694e5a65ddd0c851c29e14d5e_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[v_2={x_2\over t_2}={3,0\: km\over {11\over 455}\: h}=3,0\: km\cdot {455\over 11\cdot h}\:={1355\over 11}\: km/h\approx 124\: km/h\]](https://www.brevilezioni.it/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-2db15ecc56aac23c6614aba5add995c6_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
, è appostato a 
davanti a lui, un uomo chiede aiuto. Quanto tempo impiega il bagnino a raggiungere l’uomo in acqua?
dalla riva), cioè:![\[t_{tot}=t_c+t_n={x_c \over v_c}+{x_n \over v_n}={30\: m\over 5,0\: m/s}+{10\: m\over 1,25\: m/s}=14\: s\]](https://www.brevilezioni.it/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-a29f8127754b20bdb8987a1abba295fe_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
e cammina alla velocità di 
; mentre Caterina esce alle 
e cammina alla velocità di 
. A che ora si incontreranno? Dove?
, lo spazio percorso da Caterina 
, il tempo che cammina Maria 
e il tempo che cammina Caterina 
; quindi per risolvere l’esercizio saranno necessarie 4 equazioni. Vediamo quali sono: ![\[\begin{cases} x_m+x_c=3,0\: km \:\:\:\:\:\:\:\:(infatti\:Maria\:e\:Caterina\:insieme\:percorrono\:3\:km) \\ t_c=t_m-{1 \over 5}\:h \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:(Caterina\:parte\:12\:minuti\:dopo\:Maria)\\ x_m=v_m \cdot t_m \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:(legge\:oraria\:per\:Maria)\\ x_c=v_c \cdot t_c \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:(legge\:oraria\:per\:Caterina)\\ \end{cases}\]](https://www.brevilezioni.it/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-944c9719bab5ecb4ee66c7f70b9ad876_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[\begin{cases} x_c=3,0\: km-x_m \\ t_c=t_m-{1 \over 5}\:h \\ x_m=v_m \cdot t_m \\ 3,0\: km-x_m=v_c \cdot (t_m-{1 \over 5}\:h) \\ \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x_c=3,0\: km-x_m \\ t_c=t_m-{1 \over 5}\:h \\ x_m=v_m \cdot t_m \\ 3,0\: km-v_m \cdot t_m=v_c \cdot t_m-v_c \cdot {1 \over 5}\:\cdot h \\ \end{cases}\]](https://www.brevilezioni.it/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-289bb7c32df16fac2856492c539ed657_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[\begin{cases} x_c=3,0\: km-x_m \\ t_c=t_m-{1 \over 5}\:h \\ x_m=v_m \cdot t_m \\ {3,0\: km+v_c \cdot {1 \over 5}\:\cdot h \over (v_c+v_m)}= t_m \\ \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x_c=3,0\: km-x_m \\ t_c=t_m-{1 \over 5}\:h \\ x_m=v_m \cdot t_m \\ t_m=0,5\:h =30\: min \\ \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x_c=1,5\: km \\ t_c=18\: min \\ x_m=1,5\: km \\ t_m=0,5\:h =30\: min \\ \end{cases}\]](https://www.brevilezioni.it/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-35d4e70b7884a1fcb1ccc372a01db0c0_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
. 
con una velocità media di 
. Un corridore cinquantenne può coprire la stessa distanza con una velocità media di 
. Con quale ritardo dovrebbe cominciare la sua corsa il corridore più giovane per arrivare al traguardo nello stesso momento del corridore più anziano?
sia dall’atleta giovane che da quello anziano, quindi:![\[t_g={x \over v_g}={10000\:m \over 4,39\:m/s}\approx 2277,90\:s\]](https://www.brevilezioni.it/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-5901ce937c396426f81ef20626801898_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[t_a={x \over v_a}={10000\:m \over 4,27\:m/s}\approx 2341,92 \:s\]](https://www.brevilezioni.it/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-6a6664a8f8e26872785eb0031d420c65_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
, per cui il ragazzo dovrà partire circa 
. Il raggio del tronco di questa varietà di albero cresce in media di 
. Determina quanto deve essere lunga la circonferenza del recinto affinchè il giardiniere non sia costretto a ricostruirlo per i prossimi sette anni.![\[r_7=r_0+7\cdot v_{crescita}=0,50\: cm+7\: anni\cdot 2,5\: cm/anno=18\: cm\]](https://www.brevilezioni.it/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-da1175c3879c13a9f2300dd4799fec27_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[l_c=2\cdot r\cdot \pi=36\pi \: cm\approx 113\: cm\]](https://www.brevilezioni.it/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-e22555d16f2500985a9a8e692ae78d42_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
e per il restante quarto verso sud con una velocità media di 
. Quale è stata la velocità media alla fine del viaggio?![\[v_{media}={\Delta x\over\Delta t}={\bigl( v_1\cdot t_1-v_2\cdot t_2\bigr)\over \bigl( t_1+t_2 \bigr)}\]](https://www.brevilezioni.it/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-f5f579f1cacb5d0798a475dbd4e00f93_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
e 
, inoltre 
, 
, osserviamo anche esplicitamente che il segno meno nella formula è dovuto al fatto che i due tratti sono con velocità opposte. Detto questo la nostra formula diventa![\[v_{media}={\Delta x\over\Delta t}={\bigl 28\:m/s\cdot {3\over 4}\cdot t-16\:m/s\cdot {1\over 4} \cdot t\over t}=21\:m/s-4\:m/s=17\:m/s\]](https://www.brevilezioni.it/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-68b765f798b51f18fea1decb4b0df24c_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")