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Esercizio 5 sui vettori e le forze – Esercizi svolti – FISICA

In una gara di tiro della fune, Paolo, Carlo e Marco esercitano le forze rispettivamente di $560\: N$ , $480\: N$ e $600\: N$ verso sinistra, mentre Franco, Alessandro e Matteo le forze di $550\: N$ , $430\: N$ e $580\: N$ in verso opposto. Quale è la forza risultante?

SVOLGIMENTO

Dobbiamo fare una semplice somma di vettori e dobbiamo considerare che i vettori forza che stiamo sommando sono tutti sulla stessa direzione. Per prima cosa quindi determiniamo il verso positivo dei vettori e per convenzione (totalmente arbitraria) decidiamo che le forze applicate verso destra siano positive e le forze applicate verso sinistra siano negative, a questo punto risulta evidente che

$F_{risultante}=F_{Paolo}+F_{Carlo}+F_{Marco}+F_{Franco}+F_{Alessandro}+F_{Matteo}$

$F_{risultante}=-560\: N-480\: N-600\: N+550\: N+430\: N+580\: N=-80\: N$

Notiamo esplicitamente che il segno meno presente nel risultato indica esclusivamente il verso del vettore risultante che quindi sarà diretto verso sinistra.

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Esercizi di fisica, Vettori e forze

Esercizio 4 sui vettori e le forze – Esercizi svolti – FISICA

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Due operai spingono una grossa cassa. Uno applica una forza di modulo $F_1=144\: N$ , l’altro applica un forza in direzione perpendicolare a $F_1$ di modulo $F_2=162\: N$ . Trascura l’attrito con il pavimento. Calcola il modulo della forza totale applicata alla cassa.

SVOLGIMENTO

Siccome la direzione delle due forze è perpendicolare per trovare il modulo della somma delle forze ci basta applicare il teorema di Pitagora, infatti il vettore somma è la diagonale del rettangolo che ha come lati i due vettori, da cui

$F_1+F_2=\sqrt{F_1^2+F_2^2}\approx 217\: N$

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Esercizi di fisica, Vettori e forze

Esercizio 3 sui vettori e le forze – Esercizi svolti – FISICA

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Calcola l’ampiezza dell’angolo tra i vettori $\vec{A}=-3\hat{x}+2\hat{y}$ e $\vec{B}=-2\hat{x}-\hat{y}$ .

SVOLGIMENTO

Per trovare l’angolo formato da due vettori è comodo utilizzare il doppio modo di esprimere il prodotto scalare tra vettori, infatti da una parte

$\vec{A}\cdot \vec{B}=A\cdot B\cdot \cos(\widehat{AB})$

ma d’altra parte se i due vettori sono espressi per componenti con $\vec{A}=(a_1 \: ; \: a_2)$ e $\vec{B}=(b_1 \: ; \: b_2)$ allora

$\vec{A}\cdot \vec{B}=a_1\cdot b_1 + a_2\cdot b_2$

da cui

$\widehat{AB}=\arccos{{a_1\cdot b_1 + a_2\cdot b_2 \over A\cdot B}}$

$\widehat{AB}=\arccos{{-3\cdot (-2) + 2\cdot (-1) \over \sqrt{(-3)^2+2^2}\cdot \sqrt{(-2)^2+(-1)^2}}}=\arccos{{4 \over \sqrt{13}\cdot \sqrt{5}}}\approx 60,3^\circ$

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Esercizi di fisica, Vettori e forze

Esercizio 2 sui vettori e le forze – Esercizi svolti – FISICA

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Un fruttivendolo vende le banane a $1,50$ euro al chilogrammo. Attacca un sacchetto di banane a un dinamometro e legge $20,0\: N$ . Quale è il costo del sacchetto di banane?

SVOLGIMENTO

Per determinare il costo del sacchetto di banane bisogna necessariamente determinare la massa in $kg$ del sacchetto. Per fare questo ricordiamo che il dinamometro è uno strumento capace di misurare la forza peso di un oggetto, e tale forza è definita come

$F_p=m\cdot g$

per cui

$m={F_p\over g}={20\: N\over 9,81\: m/s^2}\approx 2,04\: kg$

da cui

$costo=1,50\: euro/kg\cdot 2,04\: kg=3,06\: euro$

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Esercizi di fisica, Vettori e forze

Esercizio 1 sui vettori e le forze – Esercizi svolti – FISICA

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I vettori $\vec{A}$ e $\vec{B}$ in figura hanno modulo $A=1,6$ e $B=2,4$ .

Determina il modulo del vettore somma $\vec{A}+\vec{B}$ e l’angolo che forma con l’asse $x$ .

SVOLGIMENTO

Per risolvere questo esercizio scegliamo di scrivere i vettori presenti nell’esercizio in coordinate cartesiane, ricordando che

$\vec{V}=V\cdot (\cos{\widehat{Vx}}\:;\: \sin{\widehat{Vx}})$

pertanto

$\vec{A}=1,6\cdot (\cos{60^\circ}\:;\: \sin{60^\circ})$

$\vec{B}=2,4\cdot (\cos{130^\circ}\:;\: \sin{130^\circ})$

da cui

$\vec{A}+\vec{B}=1,6\cdot (\cos{60^\circ}\:;\: \sin{60^\circ})+2,4\cdot (\cos{130^\circ}\:;\: \sin{130^\circ})$

$\vec{A}+\vec{B}\approx(0,8\:;\: 1,39)+(-1,54\:;\: 1,84)$

$\vec{A}+\vec{B}=(0,8-1,54\:;\: 1,39+1,84)$

$\vec{A}+\vec{B}=(-0,74\:;\:3,23)$

Per cui il modulo lo possiamo calcolare con il teorema di Pitagora e otteniamo

$\left| \vec{A}+\vec{B}\right|=\sqrt{(-0,74)^2+3,23^2}\approx 3,3$

Mentre per calcolare l’angolo possiamo utilizzare $\cos^{-1}$ , $\sin^{-1}$ oppure $\tan^{-1}$ . Scegliamo di fare questo con il primo e il terzo modo, quindi

$(\vec{A}+\vec{B})_x=\left| \vec{A}+\vec{B}\right|\cdot \cos{\widehat{Ax}}\Rightarrow \cos{\widehat{Ax}}={(\vec{A}+\vec{B})_x\over \left| \vec{A}+\vec{B}\right|}$

da cui

$\widehat{Ax}=\cos^{-1}{(\vec{A}+\vec{B})_x\over \left| \vec{A}+\vec{B}\right|}=\cos^{-1}{-0,74\over 3,3}\approx 103^\circ$

mentre usando l’arcotangente (o $\tan^{-1}$ ) verrebbe

$\widehat{Ax}=\arctan{{(\vec{A}+\vec{B})_y\over (\vec{A}+\vec{B})_x}}=\arctan{{3,23\over -0,74}}\approx 103^\circ$

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Esercizi di fisica

Esercizi svolti di fisica sui vettori e sulle forze

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Esercizi di fisica

Esercizi svolti di fisica suddivisi per argomenti

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Esercizi di fisica, Velocità e moto rettilineo uniforme

Esercizio 15 sulla velocità e sul moto rettilineo uniforme – Esercizi svolti – FISICA

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La pantera può tenere una velocità di $100\:km/h$ per circa $20\:s$ , ma poi deve fermarsi. L’antilope, invece, può raggiungere in corsa una velocità massima di $85\:km/h$ , ma riesce a mantenerla a lungo. In una radura, la pantera e l’antilope scattano contemporaneamente quando la loro distanza è di $15\:m$ , e si muovono in linea retta:

trasforma la velocità in $m/s$ ,
scrivi la legge del moto della pantera,
scrivi la legge del moto dell’antilope,
calcola quali posizioni occuperebbero dopo $20\:s$ ,
la pantera riesce a raggiungere l’antilope?

SVOLGIMENTO

Facciamo esplicitamente la conversione da $km/h$ a $m/s$ per quanto riguarda la pantera

$v_p=100\:km/h=100\cdot {1000\:m\over 3600\:s}={100\cdot 1000 \over 3600}\:m/s\approx 27,8\:m/s$

$v_a=85\:km/h={85 \over 3,6}\:m/s\approx 23,6\: m/s$

Le due leggi orarie, fissando l’origine nella posizione della pantera, saranno

$x_p(t)=x_p(0)+v_p\cdot t=27,8\:m/s \cdot t$

$x_a(t)=x_a(0)+v_a\cdot t=15\:m + 23,6\:m/s \cdot t$

Quindi utilizzando queste leggi orarie è facile vedere che dopo $20\:s$

$x_p(20\:s)=556\: m$

$x_a(20\:s)=487\: m$

Risulta pertanto chiaro che in questi $20\: s$ la pantera raggiunge l’antilope.

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Esercizi di fisica, Velocità e moto rettilineo uniforme

Esercizio 14 sulla velocità e sul moto rettilineo uniforme – Esercizi svolti – FISICA

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In una staffetta $4\times 100\:m$ durante un campionato studentesco, il primo staffettista corre a una velocità media di $8,0\:m/s$ , il secondo di $8,5\:m/s$ , il terzo di $7,8\:m/s$ e l’ultimo di $8,7\:m/s$ .

Calcola la velocità media sull’intera gara.
I ragazzi della scuola avversaria hanno corso in $48,75\:s$ . Calcola chi è arrivato prima.

SVOLGIMENTO

Calcoliamo innanzitutto il tempo necessario alla squadra per completare la staffetta, ovviamente

$t_{gara}=t_1+t_2+t_3+t_4={x\over v_1}+{x\over v_2}+{x\over v_3}+{x\over v_4}={100\:m\over 8,0\:m/s}+{100\:m\over 8,5\:m/s}+{100\:m\over 7,8\:m/s}+{100\:m\over 8,7\:m/s}\approx 48,58\:s$

per cui

$v_{media}={\Delta x\over \Delta t}={400\:m \over 48,58\:s}\approx 8,2\:m/s$

Ovviamente dal tempo di gara è possibile in maniera semplice vedere chi ha vinto.

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Esercizi di fisica, Velocità e moto rettilineo uniforme

Esercizio 13 sulla velocità e sul moto rettilineo uniforme – Esercizi svolti – FISICA

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Una mosca vola avanti e indietro fra un cane e un gatto che stanno camminando l’uno verso l’altro in linea retta. La mosca inizia a volare avanti e indietro fra i due animali quando questi distano $10\: m$ , partendo dal naso del cane. I due animali camminano a una velocità costante di $1,0\:m/s$ e la mosca mantiene sempre lo stesso modulo della velocità, pari a $4,0\: m/s$ .

Quanti metri ha percorso la mosca quando cane e gatto si incotrano?
Quanto valgono i moduli dello spostamento totale e della sua velocità?

SVOLGIMENTO

Sicuramente la mosca vola esattamente il tempo che ci impiegano cane e gatto ad incontrarsi, e siccome vanno entrambi a $1,0\: m/s$ entrambi percorreranno $5\:m$ per cui si incontreranno dopo:

$t_{volo}={5\:m\over 1\:m/s}=5\:s$

da cui, siccome la mosca vola a $v_m=4,0\:m/s$ lo spazio percorso dalla mosca sarà

$x_m=v_m\cdot t_{volo}=5\: s\cdot 4,0\:m/s=20\: m$

Per rispondere alla seconda domanda osserviamo che cane e gatto si incontrano esattamente a metà tragitto, quindi la mosca in totale si troverà a una distanza pari a $5\: m$ dal suo punto di partenza, inoltre avrà percorso questi $5\: m$ in esattamente $5\: s$ , per cui

$v_{media}={\Delta x\over \Delta t}={5\: m\over 5\: s}=1\:m/s$

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