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Esercizio 15 sui vettori e le forze – Esercizi svolti – FISICA

Andrea e Antonio vogliono fare una gara di lancio per confrontare le loro fionde. Allungando l’elastico di $8,0\: cm$ la fionda di Andrea esercita una forza elastica di $7,5\: N$ , quella di Antonio di $9,0\: N$ . Calcola le costanti elastiche dei due elastici. Di quanto deve allungare l’elastico Andrea per ottenere la stessa forza della fionda di Antonio?

SVOLGIMENTO

Sappiamo che la forza elastica, la costante elastica e l’allungamento sono legati dalla attraverso la legge di Hooke che dice:

$F_{elastica}=\Delta x \cdot k\Rightarrow k={F_e\over \Delta x}$

quindi

$k_{Andrea}={7,5\: N\over 0,08\: m}=93,75\: N/m$

$k_{Antonio}={9,0\: N\over 0,08\: m}=112,5\: N/m$

A questo punto per calcolare l’allungamento che dovrebbe fare Andrea per raggiungere la forza di Antonio basta fare:

$\Delta x_{Andrea}={F_{Antonio}\over k_{Andrea}}={9,0\:N\over 93,75\:N/m}\approx 0,096\: m$

Quindi Andrea dovrebbe tirare ancora di $1,6\:cm$ l’elastico della sua fionda.

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Esercizi di fisica, Vettori e forze

Esercizio 14 sui vettori e le forze – Esercizi svolti – FISICA

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La forza orizzontale necessaria per mettere in movimento un tavolo di massa $m=15\: kg$ è $F=45\:N$ . La forza necessaria per mantenerlo in movimento è inferiore del $15\: \%$ . Trascurando la presenza dell’aria determina il valore del coefficiente di attrito dinamico.

SVOLGIMENTO

Il coefficiente di attrito dinamico è un numero adimensionale che verifica sperimentalmente la seguente relazione:

$\mu_d={F_a \over F_\bot}$

da cui possiamo facilmente calcolare

$\mu_d={F\cdot 0,85 \over m\cdot g}={45\:N\cdot 0,85 \over 15\: kg\cdot 9,81\: N/kg}\approx 0,26$

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Esercizi di fisica, Vettori e forze

Esercizio 13 sui vettori e le forze – Esercizi svolti – FISICA

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Un lampadario di massa $3,0\: kg$ è appeso a un’asta orizzontale collegata al soffitto da due molle identiche agganciate alle sue estremità. Ciascuna delle molle si allunga di $5,0\: cm$ rispetto alla condizione di equilibrio. Quale è la costante elastica delle molle se la massa dell’asta è trascurabile?

SVOLGIMENTO

La forza peso del lampadario è assorbita dalle due molle che quindi si divideranno l’onere in parti uguali, quindi l’allungamento di $5,0\: cm$ è causato da metà della forza peso del lampadario, da cui:

$F_{elastica}=\Delta x \cdot k \Rightarrow k={F_{elastica}\over \Delta x}={m\cdot g\cdot{1\over 2} \over \Delta x}$

$k=={3,0\: kg\cdot 9,81\:N/kg\cdot{1\over 2}\over 0,05\: m}\approx 294\:N/m$

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Esercizio 12 sui vettori e le forze – Esercizi svolti – FISICA

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Un libro viene premuto al muro con una forza perpendicolare. La massa del libro è $420\: g$ e il coefficiente di attrito statico con il muro vale $\mu_s =0,30$ . Calcola il valore minimo della forza che impedisce al libro di scivolare.

SVOLGIMENTO

Sul libro agisce la sua forza peso, che è quella che tende a far cadere il libro, mentre la forza di attrito è la forza che tiene il libro contro al muro sollevato da terra, la forza peso ha modulo:

$F_p=m\cdot g= 0,420\: kg\cdot 9,81\: N/kg\approx 4,1\: N$

mentre la forza perpendicolare per generare una forza di attrito di tale intensità si calcola con la formula

$\mu_s={F_a\over F_\bot}\Rightarrow F_\bot={F_a\over \mu_s}={4,1\:N \over 0,30 }\approx 13,7\: N$

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Esercizio 11 sui vettori e le forze – Esercizi svolti – FISICA

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Anna sta stirando una maglia di lana. Tiene il ferro da stiro con il braccio inclinato a un angolo di $30^\circ$ rispetto al piano orizzontale esercitando una forza di $30\: N$ . Il coefficiente di attrito statico in questo caso vale $0,78$ e il ferro da stiro ha una massa di $1,2\: kg$ . Calcola il modulo della forza premente $F_\bot$ , Anna riuscirà a mettere il ferro da stiro in movimento?

SVOLGIMENTO

Vediamo immediatamente che la forza che Anna esercita sul ferro da stiro viene una parte contrastata dalla reazione vincolare del piano d’appoggio e una parte contrastata dalla forza di attrito. In particolare abbiamo che

$F_\bot=F_p+F_{anna}\cdot \sin(30^\circ)=1,2\: kg\cdot 9,81\: N/kg+30\:N\cdot \sin(30^\circ)\approx 26,8\: N$

Quindi la forza di attrito tra ferro e maglia sarà

$F_{attrito}=F_\bot\cdot \mu=26,8\: N\cdot 0,78=20,9\: N$

mentre la forza con cui Anna spinge il ferro da stiro lungo la direzione parallela è

$F_\parallel=F_{anna}\cdot \cos(30^\circ)\approx 26,0\: N$

per cui Anna riesce a muovere il ferro da stiro.

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Esercizio 10 sui vettori e le forze – Esercizi svolti – FISICA

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Agnese lancia dalla finestra un mazzo di chiavi, di massa $153\: g$ , a Michele. Nel lancio applica una forza di modulo $2,4\: N$ che forma un angolo di $45^\circ$ con direzione orizzontale ed è diretta verso il basso. Calcola il modulo della forza totale applicata al mazzo di chiavi.

SVOLGIMENTO

Le forze che agiscono sulle chiavi sono due: la forza peso e la forza impressa da Agnese alle chiavi, inoltre di queste due forze conosciamo tutto. Fissiamo pertanto un sistema cartesiano sulle chiavi e osserviamo che le due forze in questo sistema hanno coordinate:

$\vec{F_p}=(0\: ; \: -m\cdot g)$

$\vec{F_a}=2,4\: N\cdot(\cos(315^\circ)\: ; \:\sin(315^\circ))$

da cui

$\vec{F_p}+\vec{F_a}=(2,4\: N\cdot\cos(315^\circ)\: ; \: 2,4\: N\cdot\sin(315^\circ)-m\cdot g)$

per cui

$F_p+F_a=\sqrt{(2,4\: N\cdot\cos(315^\circ))^2+(2,4\: N\cdot\sin(315^\circ)-m\cdot g)^2}$

$=\sqrt{(2,4\: N\cdot\cos(315^\circ))^2+(2,4\: N\cdot\sin(315^\circ)-0,153\: kg\cdot 9,81\:N/kg)^2}\approx 3,6\: N$

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Esercizio 9 sui vettori e le forze – Esercizi svolti – FISICA

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Il coefficiente di attrito radente tra una cassapanca di legno di massa $56\: kg$ e il pavimento è di $0,27$ . Quanto vale l’intensità della forza minima necessaria per mettere in movimento la cassapanca?

SVOLGIMENTO

Sappiamo che esiste una relazione tra forza d’attrito, forza perpendicolare e coefficiente di attrito e che questa relazione è

$\mu ={F_a \over F_\bot}$

da cui

$F_a=\mu\cdot F_\bot=\mu\cdot m \cdot g\approx 148\: N$

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Esercizio 8 sui vettori e le forze – Esercizi svolti – FISICA

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Un giocatore di baseball colpisce una palla di massa $145\: g$ . La forza che la mazza applica alla palla forma un angolo di $30^\circ$ con la direzione orizzontale ed è diretta verso l’alto. Il modulo della forza è $3,2\: N$ . Calcola il modulo della forza totale applicata alla palla.

SVOLGIMENTO

Per risolvere questa tipologia di esercizio bisogna ragionare sulle forze che sono applicate all’oggetto e cercare di capire le loro caratteristiche vettoriali, cioè modulo, direzione e verso, una volta fatto questo rimane solo da sommare le forze. Risulta quindi evidente che nella risoluzione di esercizi di questo tipo i disegni geometrici sono molto importanti per capire le caratteristiche dei vettori in gioco.
Le forze che agiscono sulla pallina da baseball sono due: forza peso e forza con cui è stata colpita. La forza peso è un vettore diretto verso il basso di modulo $F_p=m\cdot g$ , mentre le caratteristiche dell’altra forza ci sono state date nel testo dell’esercizio. Quindi se voglio scrivere le componenti delle due forze in un sistema cartesiano centrato sulla pallina avrò:

$\vec{F_p}=(0\: ; \: -m\cdot g)$

$\vec{F_c}=3,2\:N\cdot(\cos(30^\circ)\: ; \: \sin(30^\circ))$

da cui

$\vec{F_p}+\vec{F_c}=(3,2\:N\cdot\cos(30^\circ)\: ; \: 3,2\:N\cdot\sin(30^\circ) -m\cdot g)$

Quindi il modulo di tale vettore sarà

$F_p+F_c=\sqrt{(3,2\:N\cdot\cos(30^\circ))^2+(3,2\:N\cdot\sin(30^\circ) -m\cdot g)^2}=$

$=\sqrt{(3,2\:N\cdot\cos(30^\circ))^2+(3,2\:N\cdot\sin(30^\circ) -0,145\: kg \cdot 9,81\: N/kg)^2}\approx 2,78\: N$

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Esercizio 7 sui vettori e le forze – Esercizi svolti – FISICA

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Tre fratelli si contendono un joystick per giocare con una console, tirando con forze di intensità $50\: N$ , $30\: N$ , $30\: N$ , come illustrato in figura.

Calcola la forza risultante e chi si guadagna il turno per giocare.

SVOLGIMENTO

Per calcolare la forza risultante bisogna sommare i tre vettori $\vec{F_1},\: \vec{F_2}$ e $\vec{F_3}$ . Per la particolarità della figura conviene utilizzare la proprietà associativa della somma di vettori e calcolare la risultante nel seguente modo:

$\vec{F_1}+\vec{F_2}+\vec{F_3}=\vec{F_1}+(\vec{F_2}+\vec{F_3})$

questo perchè il vettore risultante $\vec{F_2}+\vec{F_3}$ sarà un vettore di direzione uguale a $\vec{F_1}$ e di verso opposto siccome $\vec{F_2}$ e $\vec{F_3}$ formano un quadrato e la diagonale del quadrato è anche bisettrice dell’angolo. Per cui

$F_2+F_3=\sqrt{F_2^2+F_3^2}\approx 42,43\: N$

$F_1+(F_2+F_3)=50\: N-42,43\: N=7,57\: N$

Inoltre siccome abbiamo messo con il segno positivo il vettore $\vec{F_1}$ e con il segno negativo il vettore $\vec{F_2}+\vec{F_3}$ dal segno del risultato capiamo che la risultante sarà diretta nello stesso verso di $\vec{F_1}$ .
Immaginiamo ora di non essere riusciti a notare il ragionamento appena fatto e ragioniamo sulle coordinate cartesiane dei tre vettori. Fissiamo quindi un piano cartesiano con i due assi nella stessa direzione di $F_3$ e $F_2$ , allora in questo sistema le coordinate dei tre vettori saranno

$\vec{F}_1=50\: N\cdot (\cos{135^\circ}\:;\: \sin{135^\circ})$

$\vec{F}_2=(0\: ; \: -30\: N)$

$\vec{F}_3=(30\: N\: ; \: 0)$

Per cui

$\vec{F}_1+\vec{F}_2+\vec{F}_3=(50\: N\cdot\cos{135^\circ}+30\: N\: ;\: 50\: N\cdot\sin{135^\circ}-30\: N)\approx (-5,36\: N\: ;\: 5,36\: N )$

Quindi chiaramente un vettore di direzione e verso uguale a $\vec{F}_1$ , e di modulo

$F_1+F_2+F_3=\sqrt{(-5,36\: N)^2+(5,36\: N)^2}\approx 7,57\: N$

esattamente gli stessi risultati ottenuti prima.

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Esercizio 6 sui vettori e le forze – Esercizi svolti – FISICA

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Un astronauta utilizza una comune bilancia per pesarsi sulla Terra e sulla Luna. Sulla Terra la bilancia indica il valore $80\: kg$ ; la costante di gravità sulla Luna è $g_L=1,62\:N/kg$ . Quale valore indica la bilancia sulla Luna?

SVOLGIMENTO

Sappiamo che la bilancia è uno strumento di misura che misura la forza peso di un determinato oggetto, cioè la forza con cui un corpo celeste attrae un oggetto per gravità, e attraverso la relazione

$F_P=m\cdot g_T \Rightarrow m={F_P\over g_T}$

ricava la massa di un determinato oggetto (noto esplicitamente che le bilance utilizzano come dato $g_T$ perchè sono progettate per funzionare sulla Terra e non altrove). Ovviamente sulla Luna, di massa inferiore alla Terra, la forza gravitazionale è inferiore a quella sulla Terra, però concettualmente il calcolo della forza peso sarà sempre:

$F_{PL}=m\cdot g_L$

Per cui la bilancia segnerà come peso

$m={F_{PL}\over g_T}={m\cdot g_L \over g_T}\approx 13\: kg$

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