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Esercizio 1 sui vettori e le forze – Esercizi svolti – FISICA

I vettori $\vec{A}$ e $\vec{B}$ in figura hanno modulo $A=1,6$ e $B=2,4$ .

Determina il modulo del vettore somma $\vec{A}+\vec{B}$ e l’angolo che forma con l’asse $x$ .

SVOLGIMENTO

Per risolvere questo esercizio scegliamo di scrivere i vettori presenti nell’esercizio in coordinate cartesiane, ricordando che

$\vec{V}=V\cdot (\cos{\widehat{Vx}}\:;\: \sin{\widehat{Vx}})$

pertanto

$\vec{A}=1,6\cdot (\cos{60^\circ}\:;\: \sin{60^\circ})$

$\vec{B}=2,4\cdot (\cos{130^\circ}\:;\: \sin{130^\circ})$

da cui

$\vec{A}+\vec{B}=1,6\cdot (\cos{60^\circ}\:;\: \sin{60^\circ})+2,4\cdot (\cos{130^\circ}\:;\: \sin{130^\circ})$

$\vec{A}+\vec{B}\approx(0,8\:;\: 1,39)+(-1,54\:;\: 1,84)$

$\vec{A}+\vec{B}=(0,8-1,54\:;\: 1,39+1,84)$

$\vec{A}+\vec{B}=(-0,74\:;\:3,23)$

Per cui il modulo lo possiamo calcolare con il teorema di Pitagora e otteniamo

$\left| \vec{A}+\vec{B}\right|=\sqrt{(-0,74)^2+3,23^2}\approx 3,3$

Mentre per calcolare l’angolo possiamo utilizzare $\cos^{-1}$ , $\sin^{-1}$ oppure $\tan^{-1}$ . Scegliamo di fare questo con il primo e il terzo modo, quindi

$(\vec{A}+\vec{B})_x=\left| \vec{A}+\vec{B}\right|\cdot \cos{\widehat{Ax}}\Rightarrow \cos{\widehat{Ax}}={(\vec{A}+\vec{B})_x\over \left| \vec{A}+\vec{B}\right|}$

da cui

$\widehat{Ax}=\cos^{-1}{(\vec{A}+\vec{B})_x\over \left| \vec{A}+\vec{B}\right|}=\cos^{-1}{-0,74\over 3,3}\approx 103^\circ$

mentre usando l’arcotangente (o $\tan^{-1}$ ) verrebbe

$\widehat{Ax}=\arctan{{(\vec{A}+\vec{B})_y\over (\vec{A}+\vec{B})_x}}=\arctan{{3,23\over -0,74}}\approx 103^\circ$

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Esercizi di fisica

Esercizi svolti di fisica sui vettori e sulle forze

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Esercizi di fisica

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Esercizi di fisica, Velocità e moto rettilineo uniforme

Esercizio 15 sulla velocità e sul moto rettilineo uniforme – Esercizi svolti – FISICA

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La pantera può tenere una velocità di $100\:km/h$ per circa $20\:s$ , ma poi deve fermarsi. L’antilope, invece, può raggiungere in corsa una velocità massima di $85\:km/h$ , ma riesce a mantenerla a lungo. In una radura, la pantera e l’antilope scattano contemporaneamente quando la loro distanza è di $15\:m$ , e si muovono in linea retta:

trasforma la velocità in $m/s$ ,
scrivi la legge del moto della pantera,
scrivi la legge del moto dell’antilope,
calcola quali posizioni occuperebbero dopo $20\:s$ ,
la pantera riesce a raggiungere l’antilope?

SVOLGIMENTO

Facciamo esplicitamente la conversione da $km/h$ a $m/s$ per quanto riguarda la pantera

$v_p=100\:km/h=100\cdot {1000\:m\over 3600\:s}={100\cdot 1000 \over 3600}\:m/s\approx 27,8\:m/s$

$v_a=85\:km/h={85 \over 3,6}\:m/s\approx 23,6\: m/s$

Le due leggi orarie, fissando l’origine nella posizione della pantera, saranno

$x_p(t)=x_p(0)+v_p\cdot t=27,8\:m/s \cdot t$

$x_a(t)=x_a(0)+v_a\cdot t=15\:m + 23,6\:m/s \cdot t$

Quindi utilizzando queste leggi orarie è facile vedere che dopo $20\:s$

$x_p(20\:s)=556\: m$

$x_a(20\:s)=487\: m$

Risulta pertanto chiaro che in questi $20\: s$ la pantera raggiunge l’antilope.

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Esercizi di fisica, Velocità e moto rettilineo uniforme

Esercizio 14 sulla velocità e sul moto rettilineo uniforme – Esercizi svolti – FISICA

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In una staffetta $4\times 100\:m$ durante un campionato studentesco, il primo staffettista corre a una velocità media di $8,0\:m/s$ , il secondo di $8,5\:m/s$ , il terzo di $7,8\:m/s$ e l’ultimo di $8,7\:m/s$ .

Calcola la velocità media sull’intera gara.
I ragazzi della scuola avversaria hanno corso in $48,75\:s$ . Calcola chi è arrivato prima.

SVOLGIMENTO

Calcoliamo innanzitutto il tempo necessario alla squadra per completare la staffetta, ovviamente

$t_{gara}=t_1+t_2+t_3+t_4={x\over v_1}+{x\over v_2}+{x\over v_3}+{x\over v_4}={100\:m\over 8,0\:m/s}+{100\:m\over 8,5\:m/s}+{100\:m\over 7,8\:m/s}+{100\:m\over 8,7\:m/s}\approx 48,58\:s$

per cui

$v_{media}={\Delta x\over \Delta t}={400\:m \over 48,58\:s}\approx 8,2\:m/s$

Ovviamente dal tempo di gara è possibile in maniera semplice vedere chi ha vinto.

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Esercizi di fisica, Velocità e moto rettilineo uniforme

Esercizio 13 sulla velocità e sul moto rettilineo uniforme – Esercizi svolti – FISICA

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Una mosca vola avanti e indietro fra un cane e un gatto che stanno camminando l’uno verso l’altro in linea retta. La mosca inizia a volare avanti e indietro fra i due animali quando questi distano $10\: m$ , partendo dal naso del cane. I due animali camminano a una velocità costante di $1,0\:m/s$ e la mosca mantiene sempre lo stesso modulo della velocità, pari a $4,0\: m/s$ .

Quanti metri ha percorso la mosca quando cane e gatto si incotrano?
Quanto valgono i moduli dello spostamento totale e della sua velocità?

SVOLGIMENTO

Sicuramente la mosca vola esattamente il tempo che ci impiegano cane e gatto ad incontrarsi, e siccome vanno entrambi a $1,0\: m/s$ entrambi percorreranno $5\:m$ per cui si incontreranno dopo:

$t_{volo}={5\:m\over 1\:m/s}=5\:s$

da cui, siccome la mosca vola a $v_m=4,0\:m/s$ lo spazio percorso dalla mosca sarà

$x_m=v_m\cdot t_{volo}=5\: s\cdot 4,0\:m/s=20\: m$

Per rispondere alla seconda domanda osserviamo che cane e gatto si incontrano esattamente a metà tragitto, quindi la mosca in totale si troverà a una distanza pari a $5\: m$ dal suo punto di partenza, inoltre avrà percorso questi $5\: m$ in esattamente $5\: s$ , per cui

$v_{media}={\Delta x\over \Delta t}={5\: m\over 5\: s}=1\:m/s$

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Esercizi di fisica, Velocità e moto rettilineo uniforme

Esercizio 12 sulla velocità e sul moto rettilineo uniforme – Esercizi svolti – FISICA

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Durante una maratona, Sandro passa davanti a un punto di ristoro alla velocità costante di $5,0\: m/s$ . Michele si trova dietro Sandro, a una distanza dal punto di ristoro pari a $30\: m$ e procede a una velocità di $6,0\: m/s$ .

Scrivi le leggi del moto per entrambi gli atleti.
Dopo quanto tempo Michele supera Sandro?

SVOLGIMENTO

Le due leggi orarie sono abbastanza semplici da fare, se prendiamo come punto di riferimento $x_0$ , cioè il punto di ristoro, avremo:

$x_s(t)=x_c(0)+v_s\cdot t=5,0\: m/s\cdot t$

$x_m(t)=x_m(0)+v_m\cdot t=-30\: m+6,0\: m/s\cdot t$

Per calcolare il secondo punto abbiamo due metodi entrambi abbastanza elementari, il primo consiste nel notare che i due corridori sono separati da $30\: m$ e che Michele corre a $1\: m/s$ più veloce di Sandro, quindi recupererà $1\: m$ ogni secondo per cui ci vorranno $30\: s$ . Il secondo metodo, più meccanico del primo, consiste nell’osservare che Michele supererà Sandro nel momento in cui le due leggi orarie daranno lo stesso valore, ossia quando

$5,0\: m/s\cdot t=-30\: m+6,0\: m/s\cdot t \Rightarrow t=30\: s$

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Esercizi di fisica, Velocità e moto rettilineo uniforme

Esercizio 11 sulla velocità e sul moto rettilineo uniforme – Esercizi svolti – FISICA

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Un velocista corre una gara di $100\: m$ alla velocità di $10,13\: m/s$ . Il tempo effettivo di percorrenza dei $100\: m$ è di $9,99\: s$ . Calcola quale è il tempo di reazione del corridore.

SVOLGIMENTO

Vediamo alla velocità media di $10,13\: m/s$ quale sarebbe il tempo di percorrenza dei $100\: m$

$t_{corsa}={x\over v}={100\: m\over 10,13\: m/s}\approx 9,87\: s$

Quindi vuol dire il tempo di reazione del corridore sarà ottenuto facendo

$t_{reazione}=t_{effettivo}-t_{corsa}=9,99\: s-9,87\: s=0,12\: s$

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Esercizi di fisica, Velocità e moto rettilineo uniforme

Esercizio 10 sulla velocità e sul moto rettilineo uniforme – Esercizi svolti – FISICA

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Un motociclista percorre $45\: km$ su una strada statale, $5,0\: km$ in un centro abitato e $65\: km$ in autostrada. Il limite di velocità sulla strada statale è di $90\:km/h$ , in città di $50\:km/h$ e di $130\:km/h$ in autostrada. Calcola quale è il minimo tempo per completare il percorso.

SVOLGIMENTO

Ovviamente il tempo minimo di percorrenza corrisponde alla velocità massima, quindi ci basta calcolare i tre tempi e sommarli, da cui:

$t_{minimo}=t_1+t_2+t_3={x_1\over v_1}+{x_2\over v_2}+{x_3\over v_3}={45\: km\over 90\:km/h}+{5,0\: km\over 50\:km/h}+{65\: km\over 130\:km/h}=1,1\: h=1\: h\: 6\: min$

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Esercizi di fisica, Velocità e moto rettilineo uniforme

Esercizio 9 sulla velocità e sul moto rettilineo uniforme – Esercizi svolti – FISICA

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Una stampante a getto di inchiostro stampa 16 pagine al minuto (ppm).

Esprimi in $cm/s$ la velocità media di avanzamento di un foglio A4 ( $210\cdot 297 \: mm$ ).
Assumi che, per ogni pagina stampata, la testina di stampa percorra in media 20 volte la larghezza del foglio. Calcola la velocità media della testina sul percorso rettificato.

SVOLGIMENTO

Il primo punto è un semplice esercizio di conversione, quindi

$16\:{pagine\over minuto}=16\cdot {297\: mm\over 60\:s}=16\cdot {29,7\: cm\over 60\:s}={16\cdot 29,7 \over 60}\:cm/s=7,92\: cm/s$

Anche il secondo punto si può svolgere in maniera simile facendo

$16\:{pagine\over minuto}=16\cdot {20\cdot 210\: mm\over 60\:s}=16\cdot {420\: cm\over 60\:s}={16\cdot 420\over 60}\:cm/s=112 \: cm/s$

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