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Esercizio 21 sui vettori e le forze – Esercizi svolti – FISICA

Sono dati i vettori $\vec{A}=a\hat{x}-4\hat{y}$ e $\vec{B}=2\hat{x}+b\hat{y}$ . Il modulo del primo è $A=5$ , il prodotto scalare tra i due vettori è uguale a $2$ . Calcola i valori dei parametri $a$ e $b$ .

SVOLGIMENTO

Il prodotto scalare si può scrivere nella forma:

$2=\vec{A}\cdot\vec{B}=a\cdot 2-4\cdot b$

inoltre sappiamo anche che

$5=A=\sqrt{a^2+16}$

Pertanto segue dalla seconda relazione che $a=\pm 3$ , una volta determinato $a$ si ricava facilmente dalla prima che se $a=+3$ allora $b=1$ , mentre se $a=-3$ allora $b=-2$ .

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Esercizi di fisica, Vettori e forze

Esercizio 20 sui vettori e le forze – Esercizi svolti – FISICA

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Le due molle nella figura, di costante elastica $k_1=200\:N/m$ e $k_2=350\:N/m$ , hanno la stessa lunghezza a riposo. Al sistema viene applicata la forza $40\:N$ .

Quanto si allungano le due molle?
Quale costante elastica deve avere un’unica molla perchè, a parità di forza applicata, subisca lo stesso allungamento?

SVOLGIMENTO

Entrambe le molle in figura sono attaccate alla placca metallica, pertanto le due molle si dovranno allungare della stessa quantità, tale quantità sarà pertanto in grado di assorbire la totalità della forza $\vec{F}$ , quindi

$F=F_{e1}+F_{e2}=\Delta x\cdot k_1+\Delta x\cdot k_2\Rightarrow \Delta x={F\over k_1+k_2}$

Da cui

$\Delta x={40\:N\over 200\:N/m+350\:N/m}\approx 0,073\: m$

Inoltre dalla formula scritta sopra, cioè

$F=F_{e1}+F_{e2}=\Delta x\cdot k_1+\Delta x\cdot k_2=\Delta x\cdot (k_1+k_2)$

vediamo che il sistema si comporta esattamente come un’unica molla di costante elastica $k_1+k_2$ .

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Esercizio 19 sui vettori e le forze – Esercizi svolti – FISICA

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Un cavo di nylon si comporta come una molla che ha costante elastica $5,0\times 10^4\:N/m$ . Con questo cavo trasciniamo sul pavimento una cassa di $280\: kg$ a velocità costante. Il coefficiente di attrito dinamico tra la cassa e il pavimento è $0,11$ .Calcola:

il valore della forza di attrito che si esercita tra la cassa e il pavimento;
il valore della forza esercitata dal cavo sullo cassa;
di quanto si allunga il cavo mentre trascina la cassa.

SVOLGIMENTO

Sappiamo che la forza di attrito e la forza perpendicolare (premente) sono relazionati tramite la formula:

$\mu={F_a\over F_\bot}\Rightarrow F_a=\mu\cdot F_\bot$

per cui

$F_a=0,11\cdot 280\:kg\cdot 9,81\:N/kg\approx 302 \: N$

Siccome la cassa si muove a velocità costante ne segue che la risultante delle forze agenti sulla cassa è nulla, pertanto la forza di attrito è uguale e opposta alla forza esercitata dal cavo che quindi avrà modulo $302 \: N$ . La forza di attrito sarà anche la forza che farà allungare il filo di nylon, pertanto:

$F_e=\Delta x\cdot k\Rightarrow \Delta x={F_e\over k}$

per cui

$\Delta x={302\:N\over 5,0\times 10^4\:N/m}\approx 0,006\: m$

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Esercizio 18 sui vettori e le forze – Esercizi svolti – FISICA

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Un attrezzo usato per rinforzare la muscolatura degli avambracci contiene una molla a spirale. Per comprimere la molla di $0,019\: m$ è necessaria una forza di $89\: N$ . Determina la forza necessaria per comprimere la molla di $0,05\: m$ .

SVOLGIMENTO

Sappiamo che la legge di Hooke ci dice:

$F_e=\Delta x\cdot k\Rightarrow k={F_e\over \Delta x}$

quindi possiamo ricavare la costante elastica e poi vedere quanta forza serve per comprimere la molla di $0,05\: m$ (osservo esplicitamente che si poteva risolvere l’esercizio anche usando la relazione lineare che lega l’allungamento della molla e la forza elastica impostando una proporzione).

$k={89\: N\over 0,019 \: m}\approx 4684\: N/m$

$F_e=0,05\: m\cdot 4684\:N/m\approx 234\: N$

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Esercizio 17 sui vettori e le forze – Esercizi svolti – FISICA

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Un bambino gioca con il suo nuovo tappeto elastico che ha una costante elastica di $2400\: N/m$ e la cui membrana, in una situazione di equilibrio, si trova a $30\: cm$ da terra. Salendo, il bambino preme con il suo peso e il tappeto si abbassa di $15,0\: cm$ . Quanto pesa il bambino? Il papà del bambino ha una massa di $85\: kg$ , potrà usare il tappeto?

SVOLGIMENTO

Sappiamo che la legge di Hooke ci dice:

$F_e=\Delta x\cdot k$

quindi, siccome la forza elastica è la forza peso del bambino,

$F_p=F_e=0,15\:m\cdot 2400\:N/m=360\:N$

Se il babbo di $85\: kg$ salisse sul tappeto la sua forza peso andrebbe ad allungare il tappeto elastico di un valore:

$\Delta x={F_e\over k}={F_p\over k}={m\cdot g\over k}={85\: kg\cdot 9,81\:N/kg\over 2400\:N/m}\approx 0,34\:m$

quindi il babbo non può utilizzare il tappeto.

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Esercizio 16 sui vettori e le forze – Esercizi svolti – FISICA

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Le due molle nella figura, di costante elastica $k_1$ e $k_2$ , sono inizialmente nella posizione di riposo. La pallina viene spostata di un tratto $\vec{x}$ .

Determina la forza applicata alla pallina, esprimendola in forma vettoriale.

SVOLGIMENTO

Facciamo attenzione nella risoluzione di questo esercizio che lo spostamento $\Delta x$ che generalmente consideriamo un numero, nella realtà è un vettore, quindi in questo esercizio dobbiamo considerare ciò.
Suddividiamo le forze applicate alla pallina in due forze, quella esercitata dalla molla $1$ e quella esercitata dalla molla $2$ , inoltre indichiamo con il segno positivo i vettori diretti verso destra e con il segno negativo quelli diretti verso sinistra. Allora

$F_1=-x\cdot k_1$

$F_2=-x\cdot k_2$

dove i due segni meno all’interno delle forze indicano il verso di entrambe le forze che è verso sinistra, la prima è una forza di richiamo della molla $1$ mentre la seconda è la forza respingente della molla $2$ che si contrae. Da cui

$F_{tot}=F_1+F_2=-x\cdot (k_1+k_2)$

Quindi in definitiva $\vec{F_{tot}}$ è un vettore diretto lungo la direzione delle due molle verso sinistra e di modulo $x\cdot (k_1+k_2)$ .

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Esercizio 15 sui vettori e le forze – Esercizi svolti – FISICA

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Andrea e Antonio vogliono fare una gara di lancio per confrontare le loro fionde. Allungando l’elastico di $8,0\: cm$ la fionda di Andrea esercita una forza elastica di $7,5\: N$ , quella di Antonio di $9,0\: N$ . Calcola le costanti elastiche dei due elastici. Di quanto deve allungare l’elastico Andrea per ottenere la stessa forza della fionda di Antonio?

SVOLGIMENTO

Sappiamo che la forza elastica, la costante elastica e l’allungamento sono legati dalla attraverso la legge di Hooke che dice:

$F_{elastica}=\Delta x \cdot k\Rightarrow k={F_e\over \Delta x}$

quindi

$k_{Andrea}={7,5\: N\over 0,08\: m}=93,75\: N/m$

$k_{Antonio}={9,0\: N\over 0,08\: m}=112,5\: N/m$

A questo punto per calcolare l’allungamento che dovrebbe fare Andrea per raggiungere la forza di Antonio basta fare:

$\Delta x_{Andrea}={F_{Antonio}\over k_{Andrea}}={9,0\:N\over 93,75\:N/m}\approx 0,096\: m$

Quindi Andrea dovrebbe tirare ancora di $1,6\:cm$ l’elastico della sua fionda.

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Esercizio 14 sui vettori e le forze – Esercizi svolti – FISICA

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La forza orizzontale necessaria per mettere in movimento un tavolo di massa $m=15\: kg$ è $F=45\:N$ . La forza necessaria per mantenerlo in movimento è inferiore del $15\: \%$ . Trascurando la presenza dell’aria determina il valore del coefficiente di attrito dinamico.

SVOLGIMENTO

Il coefficiente di attrito dinamico è un numero adimensionale che verifica sperimentalmente la seguente relazione:

$\mu_d={F_a \over F_\bot}$

da cui possiamo facilmente calcolare

$\mu_d={F\cdot 0,85 \over m\cdot g}={45\:N\cdot 0,85 \over 15\: kg\cdot 9,81\: N/kg}\approx 0,26$

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Esercizio 13 sui vettori e le forze – Esercizi svolti – FISICA

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Un lampadario di massa $3,0\: kg$ è appeso a un’asta orizzontale collegata al soffitto da due molle identiche agganciate alle sue estremità. Ciascuna delle molle si allunga di $5,0\: cm$ rispetto alla condizione di equilibrio. Quale è la costante elastica delle molle se la massa dell’asta è trascurabile?

SVOLGIMENTO

La forza peso del lampadario è assorbita dalle due molle che quindi si divideranno l’onere in parti uguali, quindi l’allungamento di $5,0\: cm$ è causato da metà della forza peso del lampadario, da cui:

$F_{elastica}=\Delta x \cdot k \Rightarrow k={F_{elastica}\over \Delta x}={m\cdot g\cdot{1\over 2} \over \Delta x}$

$k=={3,0\: kg\cdot 9,81\:N/kg\cdot{1\over 2}\over 0,05\: m}\approx 294\:N/m$

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Esercizio 12 sui vettori e le forze – Esercizi svolti – FISICA

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Un libro viene premuto al muro con una forza perpendicolare. La massa del libro è $420\: g$ e il coefficiente di attrito statico con il muro vale $\mu_s =0,30$ . Calcola il valore minimo della forza che impedisce al libro di scivolare.

SVOLGIMENTO

Sul libro agisce la sua forza peso, che è quella che tende a far cadere il libro, mentre la forza di attrito è la forza che tiene il libro contro al muro sollevato da terra, la forza peso ha modulo:

$F_p=m\cdot g= 0,420\: kg\cdot 9,81\: N/kg\approx 4,1\: N$

mentre la forza perpendicolare per generare una forza di attrito di tale intensità si calcola con la formula

$\mu_s={F_a\over F_\bot}\Rightarrow F_\bot={F_a\over \mu_s}={4,1\:N \over 0,30 }\approx 13,7\: N$

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