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Esercizi di fisica, L'equilibrio dei solidi

Esercizio 31 sull’equilibrio dei solidi – Esercizi svolti – FISICA

Un operaio solleva un tombino quadrato di massa $16\: kg$ facendolo ruotare attorno a un suo lato per mezzo di un gancio attaccato all’estremità opposto, che tira con una forza di modulo $100\: N$ . Il lato del tombino è lungo $24\: cm$ e la massa del tombino è uniformemente distribuita. Il modulo del momento totale applicato al tombino è $4,0\: N\cdot m$ . Calcola l’angolo tra la forza applicata dall’operaio e il tombino.

SVOLGIMENTO

Sicuramente sappiamo che il momento totale applicato al tombino sarà uguale alla somma vettoriale del momento della forza applicata dall’operaio e il momento della forza peso del tombino (osserviamo anche che la forza peso, siccome la massa del tombino è distribuita uniformemente sarà applicata nel suo punto centrale). Sappiamo anche che i due momenti sono opposti, quindi il modulo complessivo lo calcolo facendo

$M=M_o-M_p$

da cui, sostituendo la formula dei due momenti

$M=F_o\cdot b_o\cdot \sin{\alpha}-F_p\cdot b_p$

siccome la forza peso è perpendicolare al tombino $M_p=F_p\cdot b_p$ . Per cui

$\sin{\alpha}={M+F_p\cdot b_p\over F_o\cdot b_o}={4,0\: N\cdot m+16\: kg\cdot 9,81\: N/kg\cdot 0,12\: m\over 100\: N\cdot 0,24\: m}\approx 0,95$

quindi

$\alpha=\arcsin{0,95}\approx 72^\circ$

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Esercizi di fisica, L'equilibrio dei solidi

Esercizio 30 sull’equilibrio dei solidi – Esercizi svolti – FISICA

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Uno svitatappi con il manico di $17\: cm$ viene utilizzato per aprire un barattolo. Il tappo si svita se viene applicata una forza di $120\: N$ . Luca riesce ad applicare al massimo una forza inferiore di un terzo. Calcola il momento della forza necessario per svitare il tappo. Quanto dovrebbe essere lungo il manico dello svitatappi adatto a Luca?

SVOLGIMENTO

Innanzitutto calcoliamo la forza che Luca riesce ad imprimere allo svitatappi $F_L=120\: N-{1\over 3}\cdot 120\: N=80\: N$ . A questo punto rispondiamo alle due domande, il modulo del momento di una forza si calcola facendo

$M=b\cdot F=0,17 \: m \cdot 120\: N=20,4 \: N\cdot m$

Per rispondere alla seconda domanda dobbiamo chiederci quanto dovrebbe essere lungo il braccio della forza per esercitare un momento di $20,4\: N\cdot m$ con una forza di $80\: N$ , quindi

$M=b\cdot F_L\Rightarrow b={M\over F_L}={20,4\:N\cdot m\over 80\: N}\approx 0,26\: m$

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Esercizi di fisica, L'equilibrio dei solidi

Esercizio 29 sull’equilibrio dei solidi – Esercizi svolti – FISICA

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La forza $\vec{F}=(3\: N)\hat{x}-(5\: N)\hat{y}$ viene applicata su un oggetto nel punto di coordinate $P=(2\: ; \: -4)\: m$ . Calcola il momento della forza rispetto all’origine del sistema di riferimento cartesiano.

SVOLGIMENTO

Innanzitutto osserviamo che il momento della forza, inteso come vettore, è un vettore perpendicolare sia al braccio della forza che alla forza stessa, pertanto in questa configurazione il momento “uscirà” dal piano $xy$ lunga la direzione $\hat{z}$ . Per calcolare il modulo del vettore $\vec{M}$ abbiamo pertanto bisogno della lunghezza del braccio, del modulo della forza e dell’angolo formato tra di loro.

$F=\sqrt{3^2+(-5)^2}\: N=\sqrt{34}\: N$

$b=\sqrt{2^2+(-4)^2}\: m=\sqrt{20}\: m$

$\hat{bF}=\arccos{3\cdot 2+(-5)\cdot (-4)\over \sqrt{34}\cdot \sqrt{20}}\approx 4,4^\circ$

da cui

$M=b\cdot F\cdot \sin{\hat{bF}}=\sqrt{34}\: N\cdot \sqrt{20}\: m\cdot \sin{4,4^\circ}=2\: N\cdot m$

inoltre effettivamente il verso sarà quello uscente dal foglio lungo la direzione $\hat{z}$ .

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Esercizi di fisica, L'equilibrio dei solidi

Esercizio 28 sull’equilibrio dei solidi – Esercizi svolti – FISICA

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Lorenzo cerca di aprire una porta e Giovanni tenta di impedirglielo. Entrambi esercitano una forza perpendicolare alla porta. Lorenzo esercita una forza di $151\: N$ applicata a $70\: cm$ dai cardini mentre Giovanni esercita una forza di $200\: N$ applicata a $50\: cm$ dai cardini. Calcola il momento complessivo delle forze rispetto ai cardini della porta. La porta si apre o rimane chiusa?

SVOLGIMENTO

Per calcolare il momento ci basta calcolare i due momenti separatamente e poi sommarli (sottraendo i moduli perchè i due momenti saranno opposti). Per cui

$M_{tot}=M_L-M_G=F_L\cdot b_L-F_G\cdot b_G=151\: N\cdot 0,7\: m-200\: N\cdot 0,5\: m=5,7 \: N\cdot m$

Il fatto che il segno del risultato sia positivo ci dice che il momento “vincente” è quello di Lorenzo, il quale cerca di aprire la porta, pertanto la porta si aprirà.

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Esercizi di fisica, L'equilibrio dei solidi

Esercizio 27 sull’equilibrio dei solidi – Esercizi svolti – FISICA

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La forza $\vec{F}=(2;\: 3)\: N$ viene applicata su un oggetto nel punto di coordinate $P=(-4;\: -6)\: m$ . Calcola il momento della forza rispetto all’origine del sistema di riferimento cartesiano.

SVOLGIMENTO

Per calcolare questo modulo occorre calcolare il braccio della forza, il modulo della forza e l’angolo formato dal braccio e la forza. Allora

$F=\sqrt{2^2+3^2}\: N=\sqrt{13}\: N\approx 3,6\: N$

$b=\sqrt{(-4)^2+(-6)^2}\: m=\sqrt{52}\: m\approx 7,2\: m$

Per questo esercizio calcoliamo anche esplicitamente l’angolo utilizzando il prodotto scalare tra vettori, infatti sappiamo che da una parte

$\vec{b}\cdot\vec{F}=b\cdot F\cdot \cos{\hat{bF}}=\sqrt{13}\cdot \sqrt{52}\cdot \cos{\hat{bF}}$

e d’altra parte

$\vec{b}\cdot\vec{F}=2\cdot (-4)+3\cdot (-6)=-26$

per cui

$\cos{\hat{bF}}={-26\over\sqrt{13}\cdot \sqrt{52}}=-1\Rightarrow \hat{bF}=180^\circ$

in definitiva

$M=b\cdot F\cdot \sin{\hat{bF}}=0\: N\cdot m$

Questo geometricamente si poteva dedurre anche dal disegno cartesiano dell’esercizio, in quanto risulta evidente che forza e braccio sono parallele.

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Esercizi di fisica, L'equilibrio dei solidi

Esercizio 26 sull’equilibrio dei solidi – Esercizi svolti – FISICA

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Su una tavoletta quadrata di lato $3,0\: cm$ vengono applicate quattro forze con la stessa intensità pari a $10\: N$ come nella figura. Calcola il momento risultante rispetto al centro del quadrato.

SVOLGIMENTO

Per calcolare il momento di più forze possiamo calcolare il momento delle singole forze e poi sommarli, in questo caso abbiamo quattro forze. Innanzitutto osserviamo che le tre forze $\vec{F}_1$ , $\vec{F}_2$ e $\vec{F}_3$ hanno un momento concorde (questo lo possiamo facilmente osservare applicando la regola della mano destra), mentre il momento di $\vec{F}_4$ sarà discorde, pertanto si avrà

$M_{tot}=M_1+M_2+M_3-M_4$

Calcoliamo ora i singoli momenti:

$M_1=b_1\cdot F_1\cdot\sin{\hat{b_1F_1}}=0 \: N\cdot m$

questo è nullo perchè la forza e il braccio sono paralleli

$M_2=b_2\cdot F_2\cdot \sin{\hat{b_2F_2}}=0,02\: m\cdot 10\: N \cdot\sin{135^\circ}\approx 0,15\: N\cdot m$

$M_3=b_3\cdot F_3\cdot \sin{\hat{b_3F_3}}=0,02\: m\cdot 10\: N \cdot\sin{90^\circ}\approx 0,21\: N\cdot m$

$M_4=b_4\cdot F_4\cdot \sin{\hat{b_4F_4}}=0,02\: m\cdot 10\: N \cdot\sin{135^\circ}\approx 0,15\: N\cdot m$

dove osservo esplicitamente che $b_2=b_3=b_4=\sqrt{18}/2\: cm\approx 2,12\: cm$ , ovvero mezza diagonale del quadrato.
Risulta in definitiva

$M_{tot}=M_1+M_2+M_3-M_4=0 \: N\cdot m+ 0,15\: N\cdot m+0,21\: N\cdot m-0,15\: N\cdot m=0,21\: N\cdot m$

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Esercizi di fisica, L'equilibrio dei solidi

Esercizio 25 sull’equilibrio dei solidi – Esercizi svolti – FISICA

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Un cowboy spinge un’anta della porta di un saloon larga $60\: cm$ con una forza $\vec{F}$ applicata all’estremità della porta. La retta d’azione della forza forma un angolo di $85^\circ$ con l’anta e il modulo del momento è $M=40\: N\cdot m$ . Calcola il modulo della forza $\vec{F}$ .

SVOLGIMENTO

Sappiamo che il momento di una forza è un vettore che si ottiene tramite la formula:

$\vec{M}=\vec{r}\times \vec{F}$

quindi il suo modulo sarà

$M=r\cdot F\cdot \sin{85^\circ}\Rightarrow 40\:N\cdot m=0,6\: m\cdot F \cdot \sin{85^\circ}$

da cui concludiamo che

$F={40\:N\cdot m\over 0,6\: m\cdot\sin{85^\circ}}\approx 67\: N$

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Esercizi di fisica, L'equilibrio dei solidi

Esercizio 24 sull’equilibrio dei solidi – Esercizi svolti – FISICA

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Una coppia di forze, ognuna del valore di $50,0\: N$ , è applicata agli estremi di un’asta lunga $80,0 \: cm$ , vincolata nel centro. Calcola il valore del momento della coppia di forze.

SVOLGIMENTO

Per calcolare il momento di una coppia di forze possiamo calcolare il momento delle singole forze e poi sommarli, facendo attenzione che i momenti delle forze sono vettori e quindi per calcolarne la risultante bisogna fare attenzione al verso del vettore. Per capire il verso dei due momenti si possono usare varie tecniche, la prima è la regola della mano destra, un’altra potrebbe essere pensare alla rotazione che una singola forza causerebbe all’asta, con entrambe queste tecniche si vede che i due momenti sono concordi, inoltre hanno anche uguale modulo perchè i due angoli sono congruenti e le due forze hanno lo stesso modulo, pertanto

$M_{tot}=2\cdot M=2\cdot F\cdot b\cdot \sin{\alpha}=2\cdot 50,0\: N\cdot 0,4\: m \cdot \sin{60^\circ}\approx 34,6\: N\cdot m$

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Esercizi di fisica, L'equilibrio dei solidi

Esercizio 23 sull’equilibrio dei solidi – Esercizi svolti – FISICA

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Un corpo rigido subisce l’azione di due forze, come mostrato nella figura. Il modulo della forza $\vec{F}_1$ è $20\: N$ , le distanze $d_1$ e $d_2$ hanno valori uguali rispettivamente a $90\: cm$ e $20\: cm$ . Calcola la forze $\vec{F}_2$ e la risultate $\vec{F}_{tot}$ .

SVOLGIMENTO

Abbiamo due forze parallele applicate in due punti diversi di un corpo rigido, e nel dettaglio abbiamo due forze discordi. Sappiamo allora che la forza risultate è una forza applicata in un punto esterno al segmento che unisce $\vec{F}_1$ e $\vec{F}_2$ , dal lato della forza di modulo maggiore. Il modulo è uguale alla sottrazione dei moduli e la direzione e il verso è uguale a quello della forza di modulo maggiore. Inoltre vale la relazione

${d_1\over d_2}={F_2\over F_1}\Rightarrow F_2={d_1\cdot F_1\over d_2}=90\: N$

da cui segue immediatamente che

$F_{tot}=\vec{F}_2-\vec{F}_1=70\: N$

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Esercizi di fisica, L'equilibrio dei solidi

Esercizio 22 sull’equilibrio dei solidi – Esercizi svolti – FISICA

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Agli estremi di una sbarra sono applicate due forze uguali e opposte, di intensità pari a $65\: N$ . Il momento della coppia applicata dalle due forze sulla sbarra vale $50\: N\cdot m$ . Quanto è lunga la sbarra?

SVOLGIMENTO

Il momento di una coppia di forze è dato dalla somma dei momenti delle forze rispetto al punto medio tra i loro punti di applicazione ed è uguale al prodotto del modulo $F$ delle forze per la distanza $d$ tra le rette d’azione delle due forze. In questo semplice esercizio la distanza $d$ è esattamente la lunghezza della sbarra richiesta, pertanto

$M=d\cdot F\Rightarrow d= {M\over F}= {50\: N\cdot m\over 65\: N}\approx 0,77\: m$

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