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Esercizi di fisica, L'equilibrio dei solidi

Esercizio 22 sull’equilibrio dei solidi – Esercizi svolti – FISICA

Agli estremi di una sbarra sono applicate due forze uguali e opposte, di intensità pari a $65\: N$ . Il momento della coppia applicata dalle due forze sulla sbarra vale $50\: N\cdot m$ . Quanto è lunga la sbarra?

SVOLGIMENTO

Il momento di una coppia di forze è dato dalla somma dei momenti delle forze rispetto al punto medio tra i loro punti di applicazione ed è uguale al prodotto del modulo $F$ delle forze per la distanza $d$ tra le rette d’azione delle due forze. In questo semplice esercizio la distanza $d$ è esattamente la lunghezza della sbarra richiesta, pertanto

$M=d\cdot F\Rightarrow d= {M\over F}= {50\: N\cdot m\over 65\: N}\approx 0,77\: m$

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Esercizi di fisica, L'equilibrio dei solidi

Esercizio 21 sull’equilibrio dei solidi – Esercizi svolti – FISICA

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Nell’atrio di un teatro un lampadario di $32\: kg$ è tenuto a $1,5\: m$ dal tetto per mezzo di tre cavi identici di lunghezza $2,0\: m$ , come mostrato in figura. Calcola la tensione dei cavi.

SVOLGIMENTO

Se il lampadario è in equilibrio significa che le tensioni dei tre fili bilanciano esattamente la forza peso del lampadario, e quindi la somma delle tre componenti perpendicolari delle tre tensioni deve essere in modulo esattamente uguale alla forza peso. Osserviamo anche esplicitamente che la componente parallela delle tre forze di tensione necessariamente si devono annullare tra di loro. In definitiva:

$T_\bot^1+T_\bot^2+T_\bot^3=F_p$

e siccome le tre tensioni devono essere tutte e tre di modulo uguale a $T$ e che $\cos{\theta}={1,5\over2}$ ne segue che

$3\cdot T_\bot=F_p\Rightarrow 3\cdot T\cdot \cos{\theta}=m\cdot g$

$T={32\: kg\cdot 9,81\: N/kg \over 3\cdot {1,5\over2}}\approx 140\: N$

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Esercizio 20 sull’equilibrio dei solidi – Esercizi svolti – FISICA

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Un’asta lunga $120\: cm$ è fatta ruotare intorno a uno dei suoi estremi per mezzo di una forza di intensità pari a $25\: N$ , applicata all’altro estremo e perpendicolare all’asta. Quanto vale il momento della forza applicata rispetto al punto intorno al quale avviene la rotazione?

SVOLGIMENTO

Ricordiamo esplicitamente che il momento di una forza viene definito come

$\vec{M}=\vec{F} \times \vec{r}$

pertanto, siccome l’angolo tra il vettore $\vec{r}$ e la forza $\vec{F}$ è un angolo retto, risulta chiaro che la formula per ottenere il modulo del momento diventa semplicemente

$M=F\cdot r=25\: N\cdot 1,20\: m=30\: N\cdot m$

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Esercizio 19 sull’equilibrio dei solidi – Esercizi svolti – FISICA

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Una sbarra di ferro di $360\: kg$ è sostenuta alle sue estremità da due cavi come mostra la figura. Quale è la tensione in ogni cavo?

SVOLGIMENTO

La tensione del filo è la forza che il filo esercita alla sua estremità e che viene “trasmessa” lungo tutto il filo. In sostanza quindi le due forze di tensione applicate ai due estremi della sbarra di ferro contrastano totalmente la forza peso della sbarra, in più la direzione e il verso delle due forze sono determinate dal filo stesso. Pertanto

$\vec{F}_p=\vec{F}^1+\vec{F}^2$

e siccome le componenti parallele delle due forze di tensione si devono annullare ne segue che

$F_p=F_\bot^1+F_\bot^2\Rightarrow m\cdot g=2\cdot\sin{45^\circ}\cdot T$

dove ripetiamo esplicitamente che le due tensioni devono avere lo stesso modulo siccome gli angoli formati dalle due funi sono congruenti. Per concludere

$T={m\cdot g\over 2\cdot\sin{45^\circ}}={360\: kg\cdot 9,81\:N/kg\over 2\cdot\sin{45^\circ}}\approx 2497\: N$

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Esercizio 18 sull’equilibrio dei solidi – Esercizi svolti – FISICA

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Durante un’escursione in campagna , Silvia si è procurata una distorsione a una caviglia. Per non farla camminare, Marco e Gianni la trasportano seduta su un’asse, che ognuno impugna a una estremità. Silvia è seduta a $50\: cm$ da Marco e Gianni tiene l’altra estremità. L’asse è lunga $1,5\: m$ e, rispetto a Silvia, ha massa trascurabile. Quale ragazzo esercita una forza maggiore? Quanto vale il rapporto tra le due forze esercitate da Marco e Gianni?

SVOLGIMENTO

Le tre forze che agiscono sull’asse sono: la forza peso di Silvia, applicata a $50\: cm$ da Marco, la forza di Marco e la forza di Gianni, applicate alle due estremità dell’asse. Siccome l’asse è in equilibrio vuol dire che le due forze di Marco e Gianni contrastano la forza peso di Silvia, quindi la risultante delle due forze dovrà avere stessa direzione, stesso modulo e verso opposto alla forza peso. In particolare sappiamo esattamente il punto di applicazione della forza risultante. Per concludere la risoluzione ci basta ricordare che vale la relazione

${d_1\over d_2}={F_2\over F_1}$

dove $d_1$ è la distanza tra il punto di applicazione di $\vec{F}_1$ e il punto di applicazione di $\vec{F}_1+\vec{F}_2$ e $d_2$ lo stesso per $\vec{F}_2$ , ne segue che

${F_2\over F_1}={d_1\over d_2}={0,5\:m\over 1\: m}=0,5$

Quindi Marco esercita il doppio della forza di Gianni.

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Esercizio 17 sull’equilibrio dei solidi – Esercizi svolti – FISICA

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Una cassa è ferma in equilibrio su un piano inclinato. Il coefficiente di attrito statico fra la cassa e il piano è $\mu_s=0,80$ . L’angolo $\theta$ che il piano inclinato forma con l’orizzontale è il minimo per il quale il corpo scivola. Calcola l’angolo $\theta$ .

SVOLGIMENTO

L’angolo $\theta$ è l’angolo per cui la componente parallela della forza peso è esattamente uguale alla massima forza di attrito ottenibile, pertanto

$F_\parallel=F_a$

da cui, ricordando che $F_\parallel=\sin{\theta}\cdot m\cdot g$ e $F_a=F_\bot\cdot \mu_s=\cos{\theta}\cdot m\cdot g\cdot \mu_s$ , si ottiene

$\sin{\theta}=\cos{\theta}\cdot \mu_s\Rightarrow {\sin{\theta}\over \cos{\theta}}=\mu_s\Rightarrow \theta=\arctan{\mu_s}\approx 38,7^\circ$

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Esercizio 16 sull’equilibrio dei solidi – Esercizi svolti – FISICA

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Sara e Anna vogliono tirar fuori un secchio di massa $15\: kg$ da un pozzo poco profondo. Al manico del secchio sono legate due funi e ognuna delle due ragazze ne tiene in mano un capo. Tirano le funi con una forza di $57\: N$ ciascuna e le funi formano con la verticale un angolo di $45^\circ$ . Complessivamente che forza esercitano Sara e Anna sul secchio? Riescono a estrarlo?

SVOLGIMENTO

Sul secchio complessivamente agiscono tre forze: la forza peso che tenderebbe a far precipitare il secchio e le forze di Sara e Anna che tenderebbero a sollevare il secchio. Inoltre le due forze esercitate dalle ragazze sono tra loro perpendicolari e la loro somma è sulla stessa direzione della forza peso. Per cui possiamo innanzitutto calcolare il modulo della forza risultante utilizzando il teorema di Pitagora, per cui

$F_r=\sqrt{F_S^2+F_A^2}=\sqrt{(57\: N)^2+(57\: N)^2}\approx 80,6\: N$

Inoltre, per via delle considerazione geometriche che abbiamo già fatto, se questa dovesse risultare maggiore della forza peso del secchio allora Sara e Anna riusciranno ad estrarre il secchio.

$F_p=m\cdot g=15\: kg\cdot 9,81\: N/kg\approx 147\: N$

quindi non riescono assolutamente a sollevare il secchio.

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Esercizio 15 sull’equilibrio dei solidi – Esercizi svolti – FISICA

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Un operaio sta lavorando su un tetto inclinato di $36^\circ$ rispetto all’orizzontale. Riesce a non scivolare grazie all’attrito statico fra le sue scarpe e il tetto. Il valore massimo della forza di attrito statico è $390\: N$ . Calcola la massa dell’operaio.

SVOLGIMENTO

Noi possiamo facilmente calcolare la massa massima che l’operaio può avere, infatti la massa deve essere tale che la componente parallela della forza peso sia inferiore alla forza di attrito, cioè

$F_\parallel < F_a\Rightarrow m\cdot g\cdot \sin{36^\circ}<390\: N$

da cui

$m < {390\: N\over 9,81\: N/kg \cdot \sin{36^\circ}} \approx 67,6\: kg$

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Esercizio 14 sull’equilibrio dei solidi – Esercizi svolti – Fisica

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Un libro che pesa $26,4\: N$ è appoggiato sullo scaffale di una libreria. Un perno dello scaffale cede e il ripiano si inclina di $25^\circ$ . Per tenere in equilibrio il libro serve una forza di $11\: N$ . Il coefficiente d’attrito tra il libro e lo scaffale è $0,51$ . Il libro scivola o rimane in equilibrio?

SVOLGIMENTO

Le forze che agiscono sul libro sono la forza peso e la forza di attrito. Vediamo cosa conosciamo di queste due forze. La forza peso viene scomposta nelle sue componenti parallela al piano inclinato e perpendicolare al piano inclinato, la prima ne provoca lo scivolamento sul piano, mentre la seconda ne determina la forza di attrito. Quindi la forza che farebbe scivolare il libro è:

$F_\parallel=\sin{25^\circ}\cdot F_p=\sin{25^\circ}\cdot 26,4\: N\approx 11\: N$

Notiamo esplicitamente che l’esercizio già ci forniva questo valore. Quindi se la forza di attrito sarà superiore a questo valore possiamo con certezza affermare che il libro non scivolerà

$F_a=F_\bot\cdot \mu=F_p\cdot \cos{25^\circ}\cdot \mu=26,4\: N\cdot \cos{25^\circ}\cdot 0,51\approx 12,2\: N$

quindi il libro non scivolerà.

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Esercizio 13 sull’equilibrio dei solidi – Esercizi svolti – FISICA

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Due operai tirano con delle funi una grossa cassa a terra, nel tentativo di spostarla. Le funi dei due operai sono parallele al terreno e formano un angolo di $90^\circ$ tra di loro e applicano una forza di modulo $120\: N$ ciascuna. Nonostante gli sforzi, la cassa non si muove. Calcola la forza di attrito statico tra la cassa e il terreno.

SVOLGIMENTO

Ovviamente la forza di attrito statico è la forza che contrasta quella applicata da due operai, quindi necessariamente ha stessa direzione, stesso modulo e verso apposto alla somma delle due forze applicate dagli operai. Inoltre, siccome le due forze applicate sulla cassa sono perpendicolari, il modulo della somma lo posso calcolare utilizzando il teorema di Pitagora, per cui:

$F_a=\sqrt{F_1^2+F_2^2}=\sqrt{(120\: N)^2+(120\: N)^2}\approx 169,7 \:N$

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