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Esercizi di fisica, L'equilibrio dei solidi

Esercizio 41 sull’equilibrio dei solidi – Esercizi svolti – FISICA

Per piallare lo sportello di un mobile, un falegname lo appoggia su un supporto. Lo sportello è largo $120\: cm$ , e il supporto si trova a $40\: cm$ da un bordo dello sportello sul quale è poggiata una pialla, di massa $1,0\: kg$ . Il falegname deve tenere fermo l’altro bordo per evitare che lo sportello ruoti attorno al supporto e cada per terra. La massa dello sportello è $3,0\: kg$ distribuita uniformemente. Calcola il modulo della forza esercitata dal falegname e il modulo della forza applicata dal supporto. (Schema del problema)

SVOLGIMENTO

Innanzitutto consigliamo di fare un disegno nello svolgimento di questo problema, in quanto un disegno ci permette in maniera abbastanza semplice di capire quali forze agiscono. Le forze che agiscono sullo sportello sono tre: 1) la forza peso della pialla che agisce a $0,4\: m$ dal perno, 2) la forza peso dello sportello che agisce nel punto medio dello sportello (perchè il peso è uniformemente distribuito) a $0,2\: m (verso destra)$ dal perno, 3) la forza del falegname che agisce sull’estremo dello sportello che non ha la pialla sopra a $0,8\:m$ dal perno. Scegliamo di dare il segno positivo al momento della forza peso della pialla, allora per avere l’equilibrio dovremo avere che

$M_1+M_2+M_3=0$

cioè

$0,4\: m\cdot 1,0\: kg\cdot 9,81\: N/kg-0,2\: m\cdot 3\: kg\cdot 9,81\: N/kg+0,8\: m\cdot F_f=0$

pertanto

$F_f={0,4\: m\cdot 1,0\: kg\cdot 9,81\: N/kg-0,2\: m\cdot 3\: kg\cdot 9,81\: N/kg\over -0,8\: m}\approx -2,5\: N$

dove notiamo che il segno negativo della forza del falegname indica che la forza del falegname “aiuta” la forza peso della pialla a controbilanciare la forza peso dello sportello.
Calcoliamo infine la forza necessaria al supporto per sorreggere il tutto, cioè calcoliamo

$F_s=F_{pialla}+F_{sportello}-F_{falegname}=1,0\: kg\cdot 9,81\: N/kg+3\: kg\cdot 9,81\: N/kg-2,5\: N=36,74\: N$

Notiamo anche qui che la forza del falegname è diretta verso l’alto, quindi “alleggerisce” il peso complessivo sul supporto.

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Esercizi di fisica, L'equilibrio dei solidi

Esercizio 40 sull’equilibrio dei solidi – Esercizi svolti – FISICA

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Un cameriere tiene in equilibrio con una mano un vassoio. Sul vassoio c’è un bicchiere d’acqua che pesa $3,7\: N$ e, a $15\: cm$ di distanza, c’è una tazzina di caffè che pesa $2,1\: N$ . Trascura il peso del vassoio. A che distanza dalla tazzina si trova il baricentro del sistema?

SVOLGIMENTO

Sappiamo che per calcolare il baricentro di un sistema discreto di punti si utilizza la formula

$\vec{x}_{CM}={\vec{x_1}\cdot m_1+\dots +\vec{x_n}\cdot m_n\over m_1+\dots +m_n}$

quindi, se fissiamo il punto di riferimento dal quale calcolare i vettori posizione sulla tazzina, risulta

$x_{CM}={x_1\cdot m_1+ x_2\cdot m_2\over m_1+ m_2}={0,15\: m\cdot 3,7\: N/(9,81 \:N/kg)+ 0\: m\cdot 2,1\: N/(9,81 \:N/kg)\over 3,7\: N/(9,81 \:N/kg)+ 2,1\: N/(9,81 \:N/kg)}\approx 0,096 \: m$

Cioè il baricentro si trova a $9,6\: cm$ dalla tazzina in direzione del bicchiere d’acqua.

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Esercizi di fisica, L'equilibrio dei solidi

Esercizio 39 sull’equilibrio dei solidi – Esercizi svolti – FISICA

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Al parco, Maria e Caterina giocano con l’altalena

Maria ha una massa di $24\: kg$ ed è seduta a sinistra, a $1\: m$ dal centro dell’asse; Caterina ha una massa di $16\: kg$ . Dove deve sedersi Caterina affinché l’altalena rimanga ferma in posizione orizzontale? Quanto vale in questo caso il modulo della forza che il supporto centrale esercita sull’altalena?

SVOLGIMENTO

Questa è una classica leva, quindi possiamo tranquillamente scrivere la relazione di equilibrio

$F_M\cdot b_M=F_C\cdot b_C\Rightarrow b_C={F_M\cdot b_M\over F_C}$

da cui

$b_C={F_M\cdot b_M\over F_C}={24\: kg\cdot 9,81\:N/kg \cdot 1\: m\over 16\: kg\cdot 9,81\:N/kg }=1,5\: m$

Inoltre in caso di equilibrio sappiamo che il perno dell’altalena sorreggerà completamente il peso di entrambe le ragazze, quindi

$F=F_M+F_C=24\: kg\cdot 9,81\:N/kg+16\: kg\cdot 9,81\:N/kg=392,4\: N$

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Esercizi di fisica, L'equilibrio dei solidi

Esercizio 38 sull’equilibrio dei solidi – Esercizi svolti – FISICA

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Roberto sta pulendo il pavimento con una scopa lunga $1,50\: m$ . Impugna la scopa con entrambe le mani, la sinistra all’estremità e la destra $30\: cm$ più in basso. Sul pavimento c’è un secchio che pesa $49\: N$ e Roberto lo sposta con la scopa muovendo la mano destra. Il coefficiente d’attrito tra il secchio e il pavimento è $0,60$ . Che forza ha esercitato Roberto con la mano destra per spostare il secchio?

SVOLGIMENTO

Innanzitutto cerchiamo di capire la situazione: la scopa, sotto l’azione della forza di Roberto, ruota sulla sua estremità, la forza di Roberto la fa ruotare e l’attrito del secchio con il pavimento è la forza che si oppone a tale rotazione. Pertanto possiamo sicuramente dire di essere di fronte a una leva svantaggiosa con il braccio della resistenza più lungo del braccio della potenza. Detto questo possiamo facilmente risolvere l’esercizio utilizzando le classiche relazioni delle leve. Calcoliamo prima di tutto la resistenza, ossia la forza di attrito;

$F_R=F_p\cdot \mu=49\: N\cdot 0,60=29,4\: N$

da cui

$b_P\cdot F_P=b_R\cdot F_R\Rightarrow F_P={b_R\cdot F_R\over b_P}={1,50\: m\cdot 29,4\: N\over 0,3\: m}=147\: N$

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Esercizi di fisica, L'equilibrio dei solidi

Esercizio 37 sull’equilibrio dei solidi – Esercizi svolti – FISICA

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Per stringere una candela nell’alloggiamento del motore è necessario esercitare un momento della forza di modulo $45\: N\cdot m$ . Calcola il modulo della forza indicata nella figura.

SVOLGIMENTO

Sappiamo che il modulo del momento di una forza si calcola facendo

$M=b\cdot F\cdot \sin{\hat{Fb}}\Rightarrow F={M\over b\cdot \sin{\hat{Fb}}$

da cui

$F={45\: N\cdot m\over 0,28\:m\cdot \sin{130^\circ}}\approx 210\:N$

Notiamo inoltre esplicitamente che non sarebbe cambiato niente se al posto di $130^\circ$ avessimo usato $50^\circ$ siccome $\sin{130^\circ}=\sin{50^\circ}$ .

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Esercizi di fisica, L'equilibrio dei solidi

Esercizio 36 sull’equilibrio dei solidi – Esercizi svolti – FISICA

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Un’asse di legno lunga $2,3\: m$ è utilizzata per sollevare un grosso macigno di massa $100\: kg$ , A una estremità viene applicata una forza motrice di $195\: N$ . A che distanza dal macigno è posizionato il fulcro della leva che hai costruito?

SVOLGIMENTO

Siamo di fronte a una classica leva, pertanto possiamo tranquillamente scrivere due relazioni che sappiamo valere. La prima è la condizione di equilibrio di una leva

$F_M\cdot b_M=F_R\cdot b_R$

la seconda invece dipende dall’esercizio particolare che stiamo affrontando, e cioè

$b_M+b_R=2,3\: m\Rightarrow b_M=2,3\: m-b_R$

Risolviamo il sistema per sostituzione, con $b_M=2,3\: m-b_R$ , e otteniamo

$F_M\cdot (2,3\: m-b_R)=F_R\cdot b_R$

$F_M\cdot 2,3\: m-F_M\cdot b_R=F_R\cdot b_R$

$F_R\cdot b_R+F_M\cdot b_R=F_M\cdot 2,3\: m$

$b_R\cdot(F_R+F_M)=F_M\cdot 2,3\: m$

$b_R={2,3\: m\cdot F_M\over F_M+F_R}={2,3\: m\cdot 195\: N\over 195\: N+100\: kg\cdot 9,81\: N/kg}\approx 0,38\: m$

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Esercizi di fisica, L'equilibrio dei solidi

Esercizio 35 sull’equilibrio dei solidi – Esercizi svolti – FISICA

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In palestra, un bilanciere di massa $10\: kg$ lungo $1,8\: m$ con due pesi di massa $40\: kg$ e $40\: kg$ fissati alle estremità è riposto sui braccetti di un supporto che distano fra loro $1,20\: m$ . Calcola il modulo del momento, rispetto al centro del bilanciere, esercitato da uno dei due braccetti sul bilanciere.

SVOLGIMENTO

I due braccetti sosterranno tutto il peso del bilanciere che pertanto sarà distribuito metà e metà su entrambi i braccetti, da cui

$M=b\cdot {F_p\over 2}=0,6\: m\cdot {90\:kg \cdot 9,81\: N/kg\over 2}\approx 265\: N\cdot m$

Merita un discorso a parte il perchè necessariamente le due forze esercitate dai braccetti devono essere uguali, infatti se cerchiamo di calcolare il momento complessivo del bilanciere rispetto al punto centrale notiamo che tutto si semplifica tranne i due momenti dei braccetti che sono opposti, pertanto le due forze devono essere uguali. Concettualmente questo è un risultato abbastanza intuitivo in quanto i due pesi applicati all’estremità sono uguali.

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Esercizi di fisica, L'equilibrio dei solidi

Esercizio 34 sull’equilibrio dei solidi – Esercizi svolti – FISICA

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Per trasportare una valigia Antonio usa un carretto inclinato come mostra la figura. Solleva il carretto esercitando una forza di $68\: N$ e afferrando il manico del carretto a $1,70\: m$ dalle ruote. La valigia si trova a $40\: cm$ dalle ruote. Quanto pesa la valigia?

SVOLGIMENTO

Sappiamo che Antonio riesce a trasportare il tutto se i due momenti rispetto all’asse di rotazione si equivalgono in modulo (condizione per avere l’equilibrio, altrimenti il carretto ruoterebbe), quindi possiamo già dire che

$M_A=M_p\Rightarrow b_A\cdot F_A\cdot \sin{\hat{b_AF_A}}=b_p\cdot F_p\cdot \sin{\hat{b_pF_p}}$

da cui

$F_p={b_A\cdot F_A\cdot \sin{\hat{b_AF_A}}\over b_p\cdot\sin{\hat{b_pF_p}}}={1,7\: m\cdot 68\: N \cdot \sin{145^\circ}\over 0,4\: m \cdot \sin{75^\circ}}\approx 172\: N$

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Esercizi di fisica, L'equilibrio dei solidi

Esercizio 33 sull’equilibrio dei solidi – Esercizi svolti – FISICA

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Una scatola portagioie è un parallelepipedo con un coperchio e una base rettangolari, di lato corto $16\: cm$ . Il coperchio è vincolato a ruotare attorno al lato lungo. Per aprire la scatola, Grazia applica al coperchio, di massa $120\: g$ , una forza di $2,0\: N$ che forma un angolo di $45^\circ$ rispetto alla direzione orizzontale. Calcola i momenti della forza peso del coperchio e della forza applicata da Grazia.

SVOLGIMENTO

Per calcolare i due momenti sappiamo che in generale il modulo del momento $\vec{M}$ di una forza $\vec{F}$ di braccio $\vec{b}$ si calcola facendo

$M=b\cdot F\cdot \sin{\hat{bF}}$

per cui nei nostri due casi avremo

$M_G=0,16\: m \cdot 2,0\: N\cdot \sin{45^\circ}\approx 0,23 \: N\cdot m$

mentre, considerando il punto di applicazione della forza peso nell’incrocio delle diagonali del rettangolo (cosa vera se la distribuzione della massa nel coperchio del portagioie è omogenea), avremo che

$M_p=0,08\: m\cdot 0,120\: kg\cdot 9,81\:N/kg\cdot \sin{90^\circ}\approx 0,094\: N\cdot m$

Notiamo esplicitamente che stiamo calcolando il modulo dei momenti, infatti a livello vettoriale i due vettori hanno verso opposto in quanto provocano una rotazione opposta nel coperchio del portagioie.

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Esercizi di fisica, L'equilibrio dei solidi

Esercizio 32 sull’equilibrio dei solidi – Esercizi svolti – FISICA

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Una bilancia a bracci disuguali, uno di $38\: cm$ l’altro di $23\: cm$ , è in equilibrio. Sul piatto appeso al braccio più lungo è appoggiata una bottiglia d’acqua da $1,0\: L$ . Sull’altro piatto c’è un libro. Quanto pesa il libro? Quanto vale il modulo della reazione vincolare sul perno della bilancia?

SVOLGIMENTO

Se la bilancia è in equilibrio vuol dire che il momento complessivo che agisce sulla bilancia è nullo, pertanto i due momenti, che hanno verso opposto, sono di modulo uguale, ossia:

$F_p^B\cdot b_B=F_p^L\cdot b_L\Rightarrow F_p^L={F_p^B\cdot b_B\over b_L}={1\: kg\cdot 9,81\: N/kg\cdot 0,38\: m\over 0,23\: m}\approx 16,2\: N$

La reazione vincolare sul perno della bilancia è la forza che tiene “sospesa” la bilancia, quindi equivale alla somma delle due forze peso applicate sui bracci della bilancia, cioè

$F_{vincolare}=F_p^B+F_p^L=9,81\: N+16,2\: N\approx 26\: N$

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