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Esercizi di fisica, L'equilibrio dei solidi

Esercizio 61 sull’equilibrio dei solidi – Esercizi svolti – FISICA

La figura mostra l’insegna di un pub. La massa dell’asta è $750\: g$ e quella dell’insegna è $2,4\: kg$ . In entrambi gli oggetti le masse sono distribuite uniformemente. Calcola la tensione del cavo che regge l’estremità dell’asta.

SVOLGIMENTO

Sappiamo che siamo in una situazione di equilibrio, questo fisicamente si traduce nel fatto che la risultante delle forze e la risultante dei momenti, calcolati rispetto al punto di contatto tra asta e muro, sarà nulla. Pertanto, concentrandoci sui momenti, abbiamo che

$M_{asta}+M_{insegna}=M_{fune}$

dove quest’uguaglianza in modulo dipende dal diverso segno dei vettori momenti. Da cui

$F_{asta}\cdot b_{asta}+F_{insegna}\cdot b_{insegna}=T\cdot b_{fune}\cdot \sin{20^\circ}$

$0,750\: kg\cdot 9,81\: N/kg\cdot 0,52\: m+2,4\: kg\cdot 9,81\: N/kg\cdot 0,70\: m=T\cdot 1,04\: m\cdot \sin{20^\circ}$

Osserviamo esplicitamente che per calcolare i bracci si utilizza l’informazione dell’omogeneità sia dell’asta che dell’insegna, quindi consideriamo la forza peso applicata nel loro baricentro.

$T={0,750\: kg\cdot 9,81\: N/kg\cdot 0,52\: m+2,4\: kg\cdot 9,81\: N/kg\cdot 0,70\: m\over 1,04\: m\cdot \sin{20^\circ}}\approx 57\: N$

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Esercizio 60 sull’equilibrio dei solidi – Esercizi svolti – FISICA

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La figura mostra due carriole che pesano $60\: N$ ciascuna e che portano la stessa quantità di terra del peso di $525\: N$ . Le strutture delle due carriole sono in posizioni diverse. Le frecce nella figura indicano i pesi dei carichi e delle carriole. Calcola i moduli delle forze che gli operai devono esercitare sulle carriole per sollevarle.

SVOLGIMENTO

Queste due carriole sono entrambe delle leve vantaggiose dove il braccio della potenza è sempre più lungo del braccio della resistenza. Analizziamo prima la prima carriola e ovviamente calcoliamo il momento complessivo sapendo che per avere l’equilibrio tale momento dovrà essere nullo, per ultima cosa osserviamo che il peso della terra e il peso della carriola determinano una rotazione inversa rispetto alla forza dell’operaio, pertanto avranno segno opposto.

$525\: N\cdot 0,40\: m+60\: N\cdot 0,60\:m=F_1\cdot 1,3\: m$

$F_2={525\: N\cdot 0,40\: m+60\: N\cdot 0,60\:m\over 1,3\: m}\approx 189\: N$

Facciamo lo stesso discorso per la carriola 2 e vediamo che

$525\: N\cdot 0\: m+60\: N\cdot 0,60\:m=F_2\cdot 1,3\: m$

$F_2={60\: N\cdot 0,60\:m\over 1,3\: m}\approx 28\: N$

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Esercizio 59 sull’equilibrio dei solidi – Esercizi svolti – FISICA

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Un blocco che pesa $88,9\: N$ viene spinto contro una parete applicando una forza obliqua. Il coefficiente di attrito statico fra il blocco e la parete è $0,56$ . Calcola il modulo della minima forza $F$ necessaria per mantenere fermo il blocco.

SVOLGIMENTO

La componente orizzontale della forza $\vec{F}$ è la forza premente che determina la forza attrito tra muro e blocco, quindi

$\sin{40^\circ}\cdot F\cdot \mu=F_a$

questa forza di attrito ostacolerà il moto del blocco sulla parete verticale. Per capire che tipo di movimento viene ostacolato dalla forza di attrito osserviamo che, senza tale forza, sul blocco sicuramente viene esercitata la componente $y$ della forza $\vec{F}$ e la forza peso del blocco (forze che sono dirette in verso opposto), cioè

$88,9\: N-F^y=88,9\: N-\cos{40^\circ}\cdot F$

pertanto se la forza di attrito fosse maggiore di tale forza allora il blocco non potrà muoversi, pertanto la mia condizione diventa

$F_a\geq 88,9\: N-\cos{40^\circ}\cdot F$

$\sin{40^\circ}\cdot F\cdot \mu\geq 88,9\: N-\cos{40^\circ}\cdot F$

da cui

$F\geq {88,9\: N\over \sin{40^\circ} \cdot \mu+\cos{40^\circ}}\approx 79\: N$

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Esercizio 58 sull’equilibrio dei solidi – Esercizi svolti – FISICA

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Una persona è ferma appoggiata a due stampelle. In queste condizioni il terreno esercita una forza nella direzione di ciascuna. Il coefficiente di attrito statico fra terreno e stampella è $0,90$ . Calcola l’angolo massimo $\theta_{max}$ che la stampella può formare con il terreno senza scivolare.

SVOLGIMENTO

Cerchiamo di analizzare la situazione e scrivere tutte le forze in gioco. Consideriamo che le due forze di reazione vincolare sulla base della stampella sorreggono completamente il ragazzo (che pertanto supponiamo non sia appoggiato a terra con il piede) quindi

$\vec{F}_p=\vec{F}_1+\vec{F}_2$

inoltre osserviamo che i moduli delle due forze sulle stampelle devono necessariamente essere uguali perchè altrimenti la componente orizzontale non si annullerebbe, chiamiamo tale forza $\vec{F}$ di modulo $F$ . Detto questo la relazione precedente scritta nelle due componenti $x$ e $y$ diventerà

$\sin{\theta}\cdot F_1=\sin{\theta}\cdot F_2$

$F_p=\cos{\theta}\cdot F_1+\cos{\theta}\cdot F_2$

da cui

$F_p=2\cdot \cos{\theta}\cdot F$

Concentriamoci adesso sulla forza di attrito, sappiamo che la componente $x$ della forza su ogni stampella sarà sostanzialmente la forza di attrito tra la stampella e il pavimento, quindi

$\sin{\theta}\cdot F\leq F_a$

e inoltre sappiamo anche la formula generale per calcolare la forza di attrito

$F_a=F_\bot\cdot \mu\Rightarrow F_a={F_p\over 2}\cdot \mu$

Mettendo insieme tutto questo, sostituendo $F={F_p\over 2\cdot \cos{\theta}}$ e $F_a={F_p\over 2}\cdot \mu$ nella disequazione, troviamo

$\sin{\theta}\cdot {F_p\over 2\cdot \cos{\theta}}\leq {F_p\over 2}\cdot \mu$

$\tan{\theta}\leq \mu\Rightarrow \theta\leq \arctan{0,90}\approx 42^\circ$

Quindi l’angolo massimo è ovviamente $42^\circ$ .

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Esercizi di fisica, L'equilibrio dei solidi

Esercizio 57 sull’equilibrio dei solidi – Esercizi svolti – FISICA

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Una bottiglia di vino di massa $1,4\: kg$ è posta orizzontalmente sul supporto mostrato in figura. L’angolo tra le due superfici è $90^\circ$ e la superficie di destra è inclinata di $45^\circ$ rispetto al piano orizzontale. Ciascuna di queste due superfici esercita sulla bottiglia una forza diretta perpendicolarmente alla superficie stessa. Calcola il modulo delle due forze.

SVOLGIMENTO

Innanzitutto osserviamo che necessariamente le due forze di reazione vincolare andranno a neutralizzare la forza peso della bottiglia, ossia

$\vec{F}_p=\vec{F}_{destra}+\vec{F}_{sinistra}$

pertanto, siccome gli angoli a destra e sinistra sono uguali, il modulo delle due reazioni vincolari deve essere uguale, altrimenti non si neutralizzerebbe la componente della forza lungo l’asse $x$ . Per concludere l’esercizio concentriamo sulla componente dell’asse $y$

$F_p=2\cdot F_{destra/sinistra}^y$

$m\cdot g=2\cdot \sin{45^\circ}\cdot F_{destra/sinistra}$

da cui

$F_{destra/sinistra}={m\cdot g\over 2\cdot \sin{45^\circ}}={1,4\: kg\cdot 9,81\: N/kg\over 2\cdot \sin{45^\circ}}\approx 9,7\: N$

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Esercizi di fisica, L'equilibrio dei solidi

Esercizio 54 sull’equilibrio dei solidi – Esercizi svolti – FISICA

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Un giardiniere utilizza una vanga lunga $150\: cm$ per sradicare una pianta dal terreno: ne pone la punta sotto le radici della pianta, mentre a $40\: cm$ dalla punta un sasso funge da fulcro. La vanga forma un angolo di $25^\circ$ con il terreno; il giardiniere esercita sull’estremità del manico una forza di $300\: N$ , ma a causa di alcuni rami che intralciano i suoi movimenti è costretto ad applicare questa forza con un’inclinazione di $70^\circ$ rispetto al manico della vanga. Calcola il modulo della forza che viene applicata in direzione verticale sotto le radici della pianta.

SVOLGIMENTO

Questa è una classica leva (stile quella del gioco dell’altalena), l’unica differenza rispetto agli esercizi classici sulle leve è rappresentata dall’angolo di $70^\circ$ , per evitare questo problema ragioniamo sui momenti delle forze. Sulla vanga, che assumiamo abbia massa trascurabile, agiscono due forze, la prima è la forza con cui l’albero è ancora a terra, mentre la seconda è la forza esercitata dal giardiniere, ovviamente queste due forze determinano una rotazione della vanga rispetto al fulcro in direzione opposta, pertanto per avere l’equilibrio noi sappiamo che i momenti delle forze devono avere stesso modulo, cioè

$M_{albero}=M_{giardiniere}$

$F_a\cdot b_a\cdot \sin{65^\circ}=F_g\cdot b_g\sin{70^\circ}$

ricordando che la forza dell’albero è perpendicolare al suolo. Detto questo, e osservato che la forza dell’albero è esattamente uguale alla forza necessaria per sradicarlo, si ha che

$F_a={F_g\cdot b_g\sin{70^\circ}\over b_a\cdot \sin{65^\circ}}={300\: N\cdot 1,1\: m\sin{70^\circ}\over 0,4\: m\cdot \sin{65^\circ}}\approx 855,4\: N$

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Esercizio 53 sull’equilibrio dei solidi – Esercizi svolti – FISICA

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Per schiacciare una noce con uno schiaccianoci Giada deve applicare una forza il cui modulo è almeno $20\: N$ . Calcola la forza necessaria per rompere il guscio della noce.

SVOLGIMENTO

Siamo di fronte a una classica leva vantaggiosa, dove il braccio della potenza è maggiore del braccio della resistenza. Dalla formula classica delle leve

$b_R\cdot F_R=b_P\cdot F_P$

si ricava immediatamente che

$F_R={b_P\cdot F_P \over b_R}={0,11\: m\cdot 20\: N \over 0,042\: m}\approx 52,4\: N$

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Esercizi di fisica, L'equilibrio dei solidi

Esercizio 56 sull’equilibrio dei solidi – Esercizi svolti – FISICA

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Due oggetti di massa $m_1=50\: g$ e $m_2=30\: g$ sono posti, rispettivamente, in $x_1=1,5\: m$ e $x_2=3,4\: m$ . Un terzo oggetto di massa $m_3=20\: g$ viene collocato tra i primi due e il baricentro del nuovo sistema coincide con quello del vecchio. Dov’è collocato il terzo oggetto?

SVOLGIMENTO

L’unico posizione possibile per il terzo oggetto è che sia esattamente sul baricentro degli altri 2, altrimenti sposterebbe per forza il baricentro complessivo. Pertanto calcoliamo la posizione del baricentro tra i primi due oggetti e abbiamo finito.

$x_{baricentro}={x_1\cdot m_1+x_2\cdot m_2\over m_1+m_2}={1,5\: m\cdot 50\: g +3,4\: m\cdot 30\: g\over 50\: g+30\: g}\approx 2,21 \: m$

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Esercizi di fisica, L'equilibrio dei solidi

Esercizio 55 sull’equilibrio dei solidi – Esercizi svolti – FISICA

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Pietro sta giocando con alcuni blocchi di legno e ne vuole sistemare uno, con lato di base $d=2,0\: cm$ e altezza $h=6,0\: cm$ su un cuneo, come mostrato nella figura. L’attrito impedisce al blocco di scivolare lungo il piano. Quale è la massima inclinazione $\theta$ che può avere il cuneo affinchè il blocco non si ribalti?

SVOLGIMENTO

Se supponiamo il blocco di legno omogeneo possiamo affermare che il baricentro del blocco si troverà esattamente nel centro del parallelepipedo, a questo punto sappiamo bene che il blocco rimarrà in equilibrio solamente se la proiezione del baricentro cade all’interno della base. La massima pendenza $\theta$ è quella per cui la proiezione del baricentro cade esattamente sul spigolo in basso a destra del blocchetto, pertanto

$\theta=\arctan{{d/2\over h/2}}=\acrtan{{1\: cm\over 3\: cm}}\approx 18,43^\circ$

Per capire il conto tracciamo la proiezione del baricentro e osserviamo che il triangolo rettangolo che si forma ha i cateti di $d/2$ e $h/2$ mentre l’ipotenusa è il “segmento di proiezione”, per le classiche proprietà dei triangoli simili questo triangolo è simile al blocchetto e pertanto è possibile calcolare l’angolo $\theta$ del blocco concentrandoci sull’angolo $\theta$ presente in questo triangolino di cui conosciamo i due cateti.

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Esercizio 52 sull’equilibrio dei solidi – Esercizi svolti – FISICA

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Una scala di massa $18\: kg$ è appoggiata al muro, inclinata di $60^\circ$ rispetto all’orizzontale. Un uomo di massa $70\: kg$ può salire fino a tre quarti della scala, dopodiché questa comincia a scivolare sul pavimento. L’attrito con il muro è trascurabile. Calcola il coefficiente di attrito statico tra scala e pavimento.

SVOLGIMENTO

Consigliamo un disegno per capire appieno questo problema e per poter trattare in maniera appropriata tutte le forze presenti.
Fintanto che l’uomo non raggiunge i tre quarti della scala la forza di attrito tra scala e pavimento è sufficiente per tenere ferma la scala, vuol dire che quanto l’uomo raggiunge esattamente quella quota la forza esercitata dalla scala sul pavimento è uguale alla massimo forza di attrito possibile tra scala e pavimento, fino a quel momento la scala è in equilibrio, quindi la risultante delle forze e la risultante dei momenti, calcolati rispetto al punto di contatto tra la scala e il pavimento, sono entrambi nulli. Le forze che agiscono sulla scala sono cinque:
– la forza peso della scala applicata a metà della lunghezza della scala:
– la forza peso dell’uomo applicata a tre quarti della lunghezza della scala:
– la forza di reazione vincolare del muro applicata alla sommità del muro e diretta orizzontalmente:
– la forza di reazione vincolare del pavimento applicata verticalmente nel punto di contatto tra pavimento e scala:
– la forza di attrito statico tra scala e pavimento diretta in direzione orizzontale.
Pertanto

$F_{pavimento}=F_{scala}+F_{uomo}$

$F_{attrito}=F_{muro}$

$M_{scala}+M_{uomo}=M_{muro}$

dove il segno dei momenti è determinato dalla rotazione che le forze imprimerebbero alla scala, pertanto le due forze peso avranno momenti di segno concorde e saranno discordi rispetto alla forza di reazione vincolare del muro. Concentrandoci sulla formula dei momenti abbiamo

${L\over 2}\cdot 18\: kg\cdot 9,81\: N/kg\cdot \sin{30^\circ}+{3L\over 4}\cdot 70\: kg\cdot 9,81\: N/kg\cdot \sin{30^\circ}=L\cdot F_{muro}\cdot \sin{60^\circ}$

Dove $L$ è la lunghezza della scala (che nel passaggio successivo scompare perchè viene semplificata). Da questa formula, e dal fatto che la reazione vincolare del muro è uguale alla forza di attrito massimo, ottengo che

$F_{attrito}={{1\over 2}\cdot 18\: kg\cdot 9,81\: N/kg\cdot \sin{30^\circ}+{3\over 4}\cdot 70\: kg\cdot 9,81\: N/kg\cdot \sin{30^\circ}\over \sin{60^\circ}}$

$F_{attrito}\approx 348,3\: N$

E siccome sappiamo che $F_a=\mu\cdot F_\bot$ risulta

$\mu={F_a\over F_\bot}={348,3\: N\over 18\: kg\cdot 9,81\: N/kg+70\: kg\cdot 9,81\: N/kg}\approx 0,40$

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