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Esercizi di fisica, L'equilibrio dei fluidi

Esercizio 23 sull’equilibrio dei fluidi – Esercizi svolti – FISICA

L’oggetto nella figura si trova immerso in un cilindro riempito di liquido incomprimibile. Le sue dimensioni sono $AB=DF=6,0\: cm$ , $BC=EF=8,0\: cm$ , $AD=CE=BF=1,4\: cm$ . Una forza esterna sta esercitando una pressione di $1,5\times 10^7\: Pa$ sul pistone.

Quanto vale la pressione che l’oggetto subisce sulle superfici $ADEC$ e $ABC$ ?
Determina le forze che agiscono su queste due facce dell’oggetto.
Come cambia l’intensità delle forze se la pressione sul pistone raddoppia?

SVOLGIMENTO

Per la legge di Pascal all’interno del liquido la pressione non cambia, quindi sappiamo che su ogni parete dell’oggetto immerso nel liquido la pressione è sempre la stessa, cioè $1,5\times 10^7\: Pa$ . Nonostante questo, siccome le aree delle superfici su cui agisce tale pressione sono diverse, sappiamo che la forza che agisce sarà diversa. Per esattezza quindi

$F_{ADEC}=p\cdot A_{ADEC}=1,5\times 10^7\: Pa\cdot 0,1\: m\cdot 0,014\: m=2,1\times 10^4 \: N$

osservo esplicitamente che la lunghezza del lato $AC=DE$ non ci viene fornita dal problema pertanto dobbiamo ricavarla con il teorema di Pitagora.
Mentre

$F_{ABC}=p\cdot A_{ABC}=1,5\times 10^7\: Pa\cdot {0,06\: m\cdot 0,08\: m\over 2}=3,6\times 10^4 \: N$

Ovviamente se la pressione esterna sul pistone raddoppiasse allora nelle formule precedenti raddoppierebbe $p$ pertanto anche la forza applicate sulle singole facce raddoppierebbe.

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Esercizi di fisica, L'equilibrio dei fluidi

Esercizio 22 sull’equilibrio dei fluidi – Esercizi svolti – FISICA

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Un liquido riempie completamente un recipiente chiuso. All’estremità superiore del recipiente, un pistone è libero di scorrere in direzione verticale. Il pistone esercita una pressione $p=600\: Pa$ sulla superficie del liquido. Calcola la variazione di pressione in un punto del liquido.

SVOLGIMENTO

Questo è un esercizio completamente teorico, sappiamo che la legge di Pascal ci dice che la pressione all’interno di un liquido viene trasmessa, quindi la variazione di pressione in un punto qualunque del liquido sarà $600\: Pa$ .

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Esercizi di fisica, L'equilibrio dei fluidi

Esercizio 21 sull’equilibrio dei fluidi – Esercizi svolti – FISICA

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Un torchio idraulico è utilizzato per sollevare una moto di massa $800\: kg$ . Tramite il circuito idraulico, si esercita una forza su un pistone con base circolare di raggio $r_1=5,5\: cm$ . Il pistone su cui è poggiata la moto ha raggio $r_2=18\: cm$ . Quale forza bisogna esercitare per sollevare la moto?

SVOLGIMENTO

Sappiamo che in un torchio idraulico viene mantenuta la pressione, cioè vale la formula

${F_A\over A_A}={F_B\over A_B}$

per cui

$F_A={A_A\cdot F_B\over A_B}={\pi \cdot r_1^2\cdot m\cdot g\over \pi\cdot r_2^2}={0,055^2\: m^2\cdot 800\:kg\cdot 9,81\: N/kg\over 0,18^2\: m^2}\approx 733\: N$

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Esercizi di fisica, L'equilibrio dei fluidi

Esercizio 20 sull’equilibrio dei fluidi – Esercizi svolti – FISICA

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Un equilibrista cammina su un filo largo $2,5\: cm$ sospeso a una certa altezza rispetto al suolo. La massa dell’equilibrista è $82\: kg$ e il suo piede è lungo $25\: cm$ e largo in media $10\: cm$ . Determina la pressione esercitata dall’equilibrista quando entrambi i piedi poggiano sul filo. Determina la pressione esercitata sul filo dall’equilibrista quando sta su un piede solo.

SVOLGIMENTO

Sappiamo che la pressione è definita come

$p={F\over A}$

dove $F$ è la forza che preme, in questo caso $F=F_p$ , mentre $A$ è la superficie su cui agisce la forza. Dobbiamo fare attenzione in questo esercizio perchè la forza non agisce su tutta la pianta del piede, ma agisce esclusivamente sulla porzione di pianta del piede che è sopra la fune, cioè su una strisciolina di larghezza $2,5\: cm$ , pertanto

$p_2={F_p\over A}={82\: kg\cdot 9,81\: N/kg\over 2\cdot 0,25\: m\cdot 0,025\: m}=64353,6\: Pa$

$p_1={F_p\over A}={82\: kg\cdot 9,81\: N/kg\over 0,25\: m\cdot 0,025\: m}=128707,2\: Pa$

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Esercizi di fisica, L'equilibrio dei fluidi

Esercizio 19 sull’equilibrio dei fluidi – Esercizi svolti – FISICA

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In un torchio idraulico le superfici dei pistoni sono pari a $12,8\: cm^2$ e $70,1\: cm^2$ . Spingiamo in basso la superficie più piccola con una forza di $130\: N$ . Quale è l’intensità della forza verso l’alto che si produce sulla superficie più grande?

SVOLGIMENTO

Sappiamo che in un torchio idraulico quella che viene mantenuta non è la forza complessiva, ma la pressione del liquido, quindi quando premiamo sulla parte di superficie minore la pressione si propaga fino alla parte con superficie maggiore, pertanto vale

${F_A\over A_A}={F_B\over A_B}\Rightarrow F_B={F_A\cdot A_B\over A_A}$

da cui

$F_B={130\: N\cdot 0,00701\: m^2\over 0,00128\: m^2}\approx 712\: N$

Osserviamo esplicitamente che non sarebbe cambiato niente se l’unità di misura per la superficie non fosse stata quella del sistema internazionale, tanto si semplifica (l’importante è che siano la stessa unità di misura).

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Esercizi di fisica, L'equilibrio dei fluidi

Esercizio 18 sull’equilibrio dei fluidi – Esercizi svolti – FISICA

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Un blocco di cemento di densità $2200\: kg/m^3$ ha la forma di un parallelepipedo. Le sue dimensioni sono $a=32\: cm$ , $b=16\: cm$ e $c=24\: cm$ . Determina la pressione minima e la pressione massima che il blocco può esercitare sul suolo.

SVOLGIMENTO

Sappiamo che la pressione è definita come

$p={F\over A}$

pertanto per avere la pressione massima, siccome la forza premente è la forza peso del blocco di cemento che è una costante, dobbiamo ridurre al minimo il denominatore, cioè l’area di appoggio, mentre per avere la pressione minima bisogna aumentare al massimo l’area di appoggio, cioè:

$p_{minima}={F_p\over A_{massima}}$

$p_{massima}={F_p\over A_{minima}}$

Partiamo con il calcolo della forza peso, che sarà

$F_p=V\cdot d\cdot g=a\cdot b\cdot c\cdot d\cdot g$

mentre la superficie di appoggio massima sarà

$A_{massima}=a\cdot c$

e quella minima

$A_{minima}=b\cdot c$

In definitiva

$p_{minima}={F_p\over A_{massima}}={a\cdot b\cdot c\cdot d\cdot g\over a\cdot c}=b\cdot d\cdot g= \approx 3450\: Pa$

$p_{massima}={F_p\over A_{minima}}={a\cdot b\cdot c\cdot d\cdot g\over b\cdot c}=a\cdot d\cdot g\approx 6900\: Pa$

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Esercizi di fisica, L'equilibrio dei fluidi

Esercizio 17 sull’equilibrio dei fluidi – Esercizi svolti – FISICA

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Un serbatoio cilindrico è completamente riempito di olio (densità $d_{olio}=800\: kg/m^3$ ). L’altezza del serbatoio è $h=0,35\: m$ e il raggio è $r=0,25\: m$ . Calcola la pressione esercitata dall’olio sul fondo del recipiente.

SVOLGIMENTO

Per risolvere questo problema utilizziamo la legge di Stevino che ci permette di calcolare la pressione esercitata da un liquido a una profondità $h$ , in particolare la formula ci dice che

$p_2=p_1+d\cdot g\cdot h$

dove $p_2$ è la pressione alla profondità $h$ e $p_1$ è la pressione alla profondità $0\: m$ . In questo esercizio assumiamo che il serbatoio sia chiuso sopra, pertanto assumiamo che $p_1=0\: Pa$ , pertanto

$p_2=d\cdot g\cdot h=800\: kg/m^3\cdot 9,81\: N/kg\cdot 0,35\: m=2746,8\: Pa$

Supponiamo di non conoscere ancora la legge di Stevino, potevamo tranquillamente calcolare la forza peso del liquido contenuto nel serbatoio facendo

$F_p=m\cdot g=V\cdot d\cdot g=A_b\cdot h\cdot d\cdot g$

e dopo applicare la formula della pressione (dove $A_b$ è l’area di base del cilindro)

$p={F_p\over A_b}={A_b\cdot h\cdot d\cdot g\over A_b}=h\cdot d\cdot g$

quindi risulta dimostrata la legge di Stevino.

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Esercizi di fisica, L'equilibrio dei fluidi

Esercizio 16 sull’equilibrio dei fluidi – Esercizi svolti – FISICA

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Le sezioni dei pistoni di un torchio idraulico hanno un rapporto di $3:1$ . Vuoi usare il torchio per sollevare un’auto che pesa $15000\: N$ . Quale forza minima devi essere in grado di esercitare?

SVOLGIMENTO

Siamo di fronte a un torchio idraulico che trasmette la pressione, quindi

$p_A=p_B\Rightarrow {F_A\over A_A}={F_B\over A_B}$

e siccome $A_B=3\cdot A_A$ risulta che

$F_A={A_A\cdot F_B\over A_B}={A_A\cdot F_B\over 3\cdot A_A}=5000\: N$

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Esercizi di fisica, L'equilibrio dei fluidi

Esercizio 15 sull’equilibrio dei fluidi – Esercizi svolti – FISICA

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Un uomo di $75\: kg$ si distende su un letto di chiodi; ciascun chiodo ha diametro $3,0\: mm$ e il corpo dell’uomo copre circa $800$ chiodi. La pressione minima per la quale si avverte dolore sulla pelle, detta soglia del dolore, è mediamente circa $7\cdot 10^5\: Pa$ . L’uomo avverte dolore?

SVOLGIMENTO

Per determinare se l’uomo sente male o no ci basta calcolare se la pressione esercitata sull’uomo è maggiore o minore della soglia del dolore, immaginando che l’uomo si stenda contemporaneamente su tutti i chiodi. Sappiamo che la pressione è definita come

$p={F\over A}$

quindi nel nostro esercizio particolare

$p={m\cdot g\over 800\cdot A_{chiodo}}={75\: kg\cdot 9,81\: N/kg\over 800\cdot \pi\cdot 0,0015^2\: m^2}\approx 130109\: Pa$

Quindi l’uomo può tranquillamente stendersi in quanto la pressione è inferiore alla soglia del dolore, in particolare $p$ risulta essere circa il $18,5\:\%$ rispetto alla soglia del dolore.

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Esercizi di fisica, L'equilibrio dei fluidi

Esercizio 14 sull’equilibrio dei fluidi – Esercizi svolti – FISICA

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In un numero da circo, un clown di massa $58\: kg$ cammina insieme alla sua scimmietta su un’asse sospesa fra due trampolini. L’asse può sopportare al massimo la pressione di $2,5\times 10^4\: Pa$ . Gli scarponi del clown hanno complessivamente una superficie di $280\: cm^2$ . Ad un certo punto, la scimmietta sale in braccio al clown. Quale massa può avere al massimo la scimmietta per non spezzare l’asse?

SVOLGIMENTO

La pressione è definita come

$p={F\over A}$

fino a che la scimmietta non sale in braccio al clown la forza peso della scimmietta e la forza peso del clown agiscono su due aree differenti e quindi non concorrono alla stessa pressione, ma nel momento in cui la scimmietta sale sopra al clown la forza peso della scimmietta si somma a quella del clown che agisce sulla superficie dei suoi scarponi, pertanto

$p={F_{clown}+F_{scimmietta}\over A}={m_c\cdot g+m_s\cdot g\over A}$

da cui

$m_s={A\cdot p\over g}-m_c={0,028\: m^2\cdot 2,5\times 10^4\: Pa\over 9,81\: N/kg}-58\: kg\approx 13,36\: kg$

Ovviamente questa è la massa che la scimmietta deve aver affinché la pressione clown più scimmietta sia esattamente $2,5\times 10^4\: Pa$ , se la scimmietta pesasse di più la pressione ovviamente sarebbe maggiore, pertanto questa è la massa massima che la scimmietta può avere.

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