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Esercizi di fisica, L'equilibrio dei fluidi

Esercizio 43 sull’equilibrio dei fluidi – Esercizi svolti – FISICA

In una città di mare, un recipiente è riempito di mercurio di densità $13600\: kg/m^3$ . La superficie superiore del mercurio è a contatto con l’aria. Quale è la pressione sulla superficie superiore del mercurio?

SVOLGIMENTO

Sulla superficie superiore del mercurio viene esercitata esclusivamente la pressione dell’aria che sta sopra al recipiente, quindi sulla superficie superiore del mercurio viene esercitata esattamente la pressione atmosferica che è $101325\: Pa$ .

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Esercizi di fisica, L'equilibrio dei fluidi

Esercizio 42 sull’equilibrio dei fluidi – Esercizi svolti – FISICA

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Un sottomarino si trova a $120\: m$ di profondità (densità acqua di mare $1030\: kg/m^3$ ) e il suo portellone ha la forma circolare di raggio $40\: cm$ . Quale forza sarebbe necessaria per aprirlo?

SVOLGIMENTO

La forza necessaria per aprire il portellone è la forza che riesce a contrastare la forza che l’acqua esercita sul portellone dalla parte esterna. Sappiamo che a tale profondità la pressione dell’acqua la possiamo calcolare con la legge di Stevino, cioè

$p_2=p_1+d\cdot h\cdot g=101325\: Pa+1030\: kg/m^3\cdot 120\: m\cdot 9,81\: N/kg\approx 1,3\cdot 10^6 \:Pa$

Da cui, ricordando che la pressione è definita come $p=F/A$ , risulta che

$F=p\cdot A=F\cdot r^2\cdot \pi=1,3\cdot 10^6\: Pa\cdot 0,4^2\: m^2\cdot \pi\approx 6,6\cdot 10^5\: N$

Osserviamo esplicitamente che la pressione atmosferica all’interno della legge di Stevino bisogna necessariamente aggiungerla in quanto il sottomarino generalmente naviga nel mare e non in un contenitore chiuso.

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Esercizi di fisica, L'equilibrio dei fluidi

Esercizio 41 sull’equilibrio dei fluidi – Esercizi svolti – FISICA

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Il tubo nella figura, aperto su entrambe le estremità, ha raggio costante $r=2,0\: cm$ ; l’acqua contenuta al suo interno forma una colonna alta $90\: cm$ . Quale forza bisogna applicare sul tappo per impedire l’uscita dell’acqua?

SVOLGIMENTO

Sul tappo posto alla fine del tubo vengono esercitate tre forze, la prima è $\vec{F}$ , di cui devo calcolare il modulo, la forza peso dovuta all’acqua e la colonna d’aria sopra di essa e la forza dovuta alla pressione dell’aria all’esterno del tappo. Possiamo tranquillamente supporre che le pressioni atmosferiche sopra al cilindro d’acqua e all’esterno del tappo sia uguali e, siccome il raggio del tubo è costante, per calcolare il modulo di $\vec{F}$ ci basta calcolare la forza peso dell’acqua contenuta nel tubo. Ossia

$F=F_p=m\cdot g=V\cdot d\cdot g=r^2\cdot \pi\cdot h\cdot d\cdot g$

$F=0,02^2\: m^2\cdot \pi\cdot 0,9\: m\cdot 1000\: kg/m^3\cdot 9,81\: N/kg\approx 11,1 \: N$

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Esercizi di fisica, L'equilibrio dei fluidi

Esercizio 40 sull’equilibrio dei fluidi – Esercizi svolti – FISICA

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Il relitto del Titanic fu ritrovato, nel 1985, sul fondo dell’Oceano Atlantico ad una pressione di $4,2\times 10^7\: Pa$ . La densità dell’acqua di mare è $1030\: kg/m^3$ . A quale profondità giace il Titanic? La pressione atmosferica modifica il risultato?

SVOLGIMENTO

Per risolvere questo esercizio possiamo tranquillamente utilizzare la legge di Stevino, la quale afferma che

$p_2=p_1+d\cdot h\cdot g$

da cui possiamo facilmente calcolare la profondità facendo

$h={p_2-p_1\over d\cdot g}={4,2\times 10^7\: Pa-101325\: Pa\over 1030\: kg/m^3\cdot 9,81\: N/kg}\approx 4147\: m$

Per rispondere alla seconda domanda facciamo il conto ipotizzando che la pressione atmosferica, ossia $p_1$ , sia nulla, pertanto

$h={p_2\over d\cdot g}={4,2\times 10^7\: Pa\over 1030\: kg/m^3\cdot 9,81\: N/kg}\approx 4157\: m$

Quindi la differenza di $10\: m$ rispetto ai $4000\: m$ del risultato sono evidentemente ininfluenti.

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Esercizi di fisica, L'equilibrio dei fluidi

Esercizio 39 sull’equilibrio dei fluidi – Esercizi svolti – FISICA

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In alta montagna la pressione atmosferica è minore rispetto a quella presente al livello del mare. Un alpinista che sta scalando il monte Everest scioglie del ghiaccio in un recipiente aperto in cui la pressione dell’acqua a $10\: cm$ di profondità è $4,1\cdot 10^4\: Pa$ . Determina la pressione atmosferica in cima al monte Everest.

SVOLGIMENTO

Per risolvere il problema possiamo tranquillamente utilizzare la legge di Stevino, ossia

$p_2=p_1+d\cdot h\cdot g$

dove sappiamo che $p_1$ , ossia la pressione a quota $h=0\: m$ , sarà la pressione atmosferica richiesta dall’esercizio, questo perchè viene esplicitamente detto che il recipiente è aperto.
Da cui

$p_1=p_2-d\cdot h\cdot g=4,1\cdot 10^4\: Pa-1000\: kg/m^3\cdot 0,1\: m\cdot 9,81\: N/kg\approx 4\cdot 10^4\: Pa$

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Esercizi di fisica, L'equilibrio dei fluidi

Esercizio 38 sull’equilibrio dei fluidi – Esercizi svolti – FISICA

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Lo shanghai World Financial Center è un grattacielo alto $462\: m$ . Calcola la differenza di pressione $\Delta p$ tra la base e il tetto dell’edificio (la densità dell’aria vale $1,225\: kg/m^3$ ). Quanto vale il rapporto percentuale tra $\Delta p$ e la pressione atmosferica $p_0$ .

SVOLGIMENTO

Quando dobbiamo relazionare la differenza di pressione all’interno di un fluido di densità $d$ con la differenza di quota all’interno del fluido, sappiamo che dobbiamo usare la legge di Stevino, ossia

$p_2-p_1=d\cdot h\cdot g=1,225\: kg/m^3\cdot 462\: m\cdot 9,81\: N/kg\approx 5,5\cdot 10^3\: Pa$

Quindi in percentuale rispetto alla pressione atmosferica abbiamo

$V_\%={\Delta p\over p_0}\cdot 100={5,5\cdot 10^3\: Pa\over 101325\: Pa}\cdot 100\approx 5,4\:\%$

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Esercizi di fisica, L'equilibrio dei fluidi

Esercizio 37 sull’equilibrio dei fluidi – Esercizi svolti – FISICA

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La poltrona di un dentista pesa $P=715\: N$ . Per sollevare un paziente, il dentista deve applicare una forza minima di modulo $F=35\: N$ . L’area del pistone collegato alla poltrona è $40$ volte più grande dell’area del pistone collegato al pedale. I due pistoni si trovano alla stessa altezza. Determina la massa $m$ del paziente.

SVOLGIMENTO

La poltrona del dentista funziona come un torchio idraulico, pertanto sappiamo che

${F_1\over A_1}={F_2\over A_2}\Rightarrow {F_1\over A_1}={F_{poltona}+m\cdot g\over A_2}$

Sapendo che ${A_2\over A_1}=40$ e manipolando un pochino la formula scritta sopra ottengo

$F_{poltona}+m\cdot g={F_1\cdot A_2\over A_1}\Rightarrow m=(F_1\cdot {A_2\over A_1}-F_{poltrona})/g$

ossia

$m=(F_1\cdot {A_2\over A_1}-F_{poltrona})/g={35\: N\cdot 40-715\: N\over 9,81\: N/kg}\approx 70\: kg$

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Esercizi di fisica, L'equilibrio dei fluidi

Esercizio 36 sull’equilibrio dei fluidi – Esercizi svolti – FISICA

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Un torchio idraulico riesce a equilibrare, alla stessa quota, un peso $P$ pari a $49$ volte l’intensità della forza $\vec{F}$ applicata al pistone di raggio minore. Il peso dei due pistoni è trascurabile. Determina il rapporto tra il raggio maggiore e quello minore dei due pistoni.

SVOLGIMENTO

Siamo di fronte a un torchio idraulico, pertanto

${F_1\over A_1}={F_2\over A_2}\Rightarrow {F_1\over r_1^2\cdot \pi}={F_2\over r_2^2\cdot \pi}$

osserviamo che in questo esercizio conosciamo $F_2/F_1=49$ , da cui, manipolando opportunamente la formula scritta sopra, risulta

${F_2\over F_1}={r_2^2\cdot \pi\over r_1^2\cdot \pi}\Rightarrow \sqrt{{F_2\over F_1}}={r_2\over r_1}$

quindi

${r_2\over r_1}=\sqrt{49}=7$

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Esercizi di fisica, L'equilibrio dei fluidi

Esercizio 35 sull’equilibrio dei fluidi – Esercizi svolti – FISICA

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Uno bottiglia di olio è riempita fino all’altezza di $16\: cm$ e la pressione sul suo fondo dovuta alla forza peso dell’olio vale $1,2\times 10^3\: Pa$ . Quale è la densità dell’olio?

SVOLGIMENTO

Ogni volta che abbiamo una relazione tra la pressione a una data profondità di un liquido di densità $d$ sappiamo di dover utilizzare la legge di Stevino che ci dice:

$p_2=p_1+d\cdot h\cdot g$

dove osserviamo che in questo esercizio $p_1$ , cioè la pressione a profondità $h=0\: m$ , risulta essere nulla perchè ci viene esplicitamente detto che la pressione sul fondo del barile è dovuta alla forza peso dell’olio. Da cui

$d={p_2\over h\cdot g}={1,2\times 10^3\: Pa\over 0,16\: m\cdot 9,81\:N/kg }\approx 764,5 kg/m^3$

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Esercizi di fisica, L'equilibrio dei fluidi

Esercizio 34 sull’equilibrio dei fluidi – Esercizi svolti – FISICA

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Un torchio idraulico è costituito da due recipienti cilindrici di area $A_1=3,0\cdot 10^{-2}\: m^2$ e $A_2=4,0\cdot 10^{-4}\: m^2$ collegati tra loro e riempiti completamente con olio di densità $d=850\: kg/m^3$ . L’olio si trova anche nel tubo di collegamento. Nei due cilindri scorrono due pistoni di peso trascurabile. Una forza $\vec{F}$ è applicata al pistone di raggio minore per equilibrare un’auto che pesa $18000\: N$ . posta sul pistone di raggio maggiore. I due pistoni sono alla stessa quota. Determina il modulo della forza $\vec{F}$ che bisogna applicare al pistone di raggio minore perchè il sistema sia in equilibrio.

SVOLGIMENTO

Siamo davanti a un torchio idraulico, quindi sappiamo valere la relazione

${F_1\over A_1}={F_2\over A_2}$

da cui

$F_2={F_1\cdot A_2\over A_1}={18000\: N\cdot 4,0\cdot 10^{-4}\: m^2\over 3,0\cdot 10^{-2}\: m^2}=240\: N$

Notiamo esplicitamente che in questo esercizio, contrariamente a quanto si fa normalmente, si è messo prima il pistone di raggio maggiore. Inoltre osserviamo che la densità del liquido dentro al torchio non ci interessa perchè la legge di Pascal non dipende dal liquido interno, ma solamente dalle proprietà dei liquidi.

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