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Esercizi di fisica, L'equilibrio dei fluidi

Esercizio 123 sull’equilibrio dei fluidi – Esercizi svolti – FISICA

Quale è il rapporto tra le altezze di una colonna d’acqua e una colonna di mercurio in due recipienti comunicanti?

SVOLGIMENTO

Sappiamo che in un sistema di recipienti comunicanti la pressione che viene esercitata dal liquido all’interno di un recipiente è controbilanciata da quella dovuta al liquido nell’altro recipiente. Nel nostro esercizio in un recipiente c’è del mercurio e nell’altro dell’acqua, per cui possiamo scrivere

$p_{Hg}=p_{acqua}$

$d_{Hg}\cdot h_{Hg}\cdot g=d_{acqua}\cdot h_{acqua}\cdot g$

${h_{acqua}\over h_{Hg}}={d_{Hg}\over d_{acqua}}$

${h_{acqua}\over h_{Hg}}={13600\: kg/m^3\over 1000\: kg/m^3}=13,6$

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Esercizi di fisica, L'equilibrio dei fluidi

Esercizio 122 sull’equilibrio dei fluidi – Esercizi svolti – FISICA

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Per stupire gli amici, vuoi succhiare dell’acqua minerale attraverso una lunghissima cannuccia verticale. Quale è la cannuccia più lunga da cui, in linea di principio, puoi succhiare l’acqua?

SVOLGIMENTO

Per rispondere a questa domanda bisogna prima cercare di motivo per cui, quando succhi dalla cannuccia, l’acqua si muove contro la gravità verso l’alto. Osserviamo sicuramente che la motivazione non è la forza esercitata nel risucchiare l’acqua. La ragione di tale salita risiede nella pressione atmosferica che preme sulla superficie dell’acqua, quando noi risucchiamo l’aria la pressione dentro la cannuccia diminuisce e quindi l’acqua sale. Per questa ragione la lunghezza massima di una cannuccia verticale si ottiene quando noi riusciamo a creare il vuoto all’interno della cannuccia, in questa situazione la pressione dell’aria sulla superficie dell’acqua minerale è controbilanciata perfettamente dalla pressione della colonna d’acqua all’interno della cannuccia. Per cui

$p_{atm}=p_{acqua}$

$p_{atm}=d_{acqua}\cdot h_{max}\cdot g\Rightarrow h_{max}={p_{atm}\over d_{acqua}\cdot g}$

$h_{max}={101325\: Pa\over 1000\: kg/m^3\cdot 9,81\; N/kg}\approx 10,33\: m$

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Esercizi di fisica, L'equilibrio dei fluidi

Esercizio 121 sull’equilibrio dei fluidi – Esercizi svolti – FISICA

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Supponi di versare dell’acqua in un contenitore fino a che essa non raggiunge un’altezza di $12\: cm$ . In seguito, versi lentamente uno strato di olio di $7,2\: cm$ di olio d’oliva, in modo che galleggi sulla superficie dell’acqua. Calcola la pressione sul fondo del contenitore.

SVOLGIMENTO

Dobbiamo calcolare la pressione esercitata da un fluido (in questo caso due) a una determinata profondità. Sappiamo che la legge di Stevino risponde a questo tipo di domanda. Per completare la risposta osserviamo che bisognerà applicare la legge di Stevino due volte per calcolare sia la pressione causata dallo strato di olio sia la pressione causata dallo strato d’acqua. In definitiva

$p=p_{atm}+d_{olio}\cdot h_{olio}\cdot g+d_{acqua}\cdot h_{acqua}\cdot g$

$p=101325\: Pa+920\: kg/m^3\cdot 0,072\: m\cdot 9,81\: N/kg+1000\: kg/m^3\cdot 0,12\: m\cdot 9,81\: N/kg\approx 1,03\cdot 10^5\: Pa$

Osserviamo esplicitamente che abbiamo utilizzato come dato $d_{olio}=920\: kg/m^3$ .

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Esercizi di fisica, L'equilibrio dei fluidi

Esercizio 120 sull’equilibrio dei fluidi – Esercizi svolti – FISICA

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L’oblò circolare di un sottomarino ha un diametro di $30\: cm$ ed è stato progettato per sopportare una forza massima di intensità $5,20\cdot 10^5\: N$ . Quale è la massima profondità a cui può immergersi il sottomarino nell’acqua dolce di un lago senza che l’oblò subisca danni?

SVOLGIMENTO

La forza esercitata dall’acqua sull’oblò è dovuta alla pressione dell’acqua e la possiamo calcolare utilizzando la definizione di pressione, cioè

$p={F\over A}={F\over r^2\cdot \pi}\Rightarrow F=p\cdot r^2\cdot \pi$

Inoltre la pressione dell’acqua alla profondità $h$ possiamo calcolarla utilizzando la legge di Stevino, ossia

$p=p_{atm}+d\cdot h\cdot g$

dove dobbiamo mettere il termine $p_{atm}$ in quanto sulla superficie del lago agisce la pressione dell’aria. Unendo le due formule otteniamo

$F=(p_{atm}+d\cdot h\cdot g)\cdot r^2\cdot \pi$

$F=p_{atm}\cdot r^2\cdot \pi+d\cdot h\cdot g\cdot r^2\cdot \pi$

$F-p_{atm}\cdot r^2\cdot \pi=d\cdot h\cdot g\cdot r^2\cdot \pi$

$h={F-p_{atm}\cdot r^2\cdot \pi\over d\cdot g\cdot r^2\cdot \pi}$

Ovviamente la profondità massima la otterremo quando la forza esercitata sull’oblò sarà la forza massima, quindi

$h_{max}={5,20\cdot 10^5\: N-101325\: Pa\cdot 0,15^2\: m^2\cdot \pi\over 1000\: kg/m^3\cdot 9,81\: N/kg\cdot 0,15^2\: m^2\cdot \pi}\approx 740\: m$

Osserviamo esplicitamente che la profondità è $740\: m$ e non $750\: m$ , infatti se noi calcolassimo la forza esercitata a tale profondità verrebbe un valore superiore alla forza massima. Il $750\: m$ potrebbe venire dal non aver considerato la pressione atmosferica all’interno della legge di Stevino, però la pressione atmosferica, ripeto, deve essere messa perchè sul lago l’atmosfera esercita la sua pressione.

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Esercizi di fisica, L'equilibrio dei fluidi

Esercizio 119 sull’equilibrio dei fluidi – Esercizi svolti – FISICA

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Mentre sta arrivando una tempesta, osservi che la colonnina di mercurio del barometro è a un’altezza di $740\: mm$ . Quale è la pressione dell’aria? Se il mercurio del barometro fosse sostituito con acqua, quale altezza raggiugerebbe l’acqua nella colonna?

SVOLGIMENTO

Sappiamo che i barometri sono costruiti in maniera tale da equilibrare la pressione della colonna d’aria e la pressione della colonna di mercurio. La pressione della colonna di mercurio la calcoliamo con la legge di Stevino ricordando che la densità del mercurio è $d=13600\: kg/m^3$ . Per cui

$p_{atm}=p_{Hg}$

$p_{atm}=d\cdot h\cdot g$

dove osserviamo che non compare il termine $p_1$ perchè il barometro è chiuso sopra il mercurio e quindi la pressione atmosferica non agisce sulla superficie del mercurio.

$p_{atm}=13600\: kg/m^3\cdot 0,74\: m\cdot 9,81\: N/kg\approx 9,87\cdot 10^4\: Pa$

Se nel barometro fosse messa acqua al posto del mercurio avremmo ancora

$p_{atm}=p_{acqua}$

$p_{atm}=d_{acqua}\cdot h_{acqua}\cdot g\Rightarrow h_{acqua}={p_{atm}\over d_{acqua}\cdot g}$

$h_{acqua}={98700\: Pa\over 1000\: kg/m^3\cdot 9,81\: N/kg}\approx 10,06\: m$

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Esercizi di fisica, L'equilibrio dei fluidi

Esercizio 118 sull’equilibrio dei fluidi – Esercizi svolti – FISICA

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Una scatola cubica di lato $25\: cm$ è immersa in un fluido. La pressione sulla superficie superiore della scatola è $109,4\: kPa$ e quella sulla superficie inferiore è $112\: kPa$ . Quale è la densità del fluido?

SVOLGIMENTO

Dobbiamo calcolare la densità di un fluido conoscendo la pressione a varie quote di profondità all’interno dello stesso. Per risolvere questa tipologia di problemi, che mettono in relazione la pressione e la profondità, si utilizza la legge di Stevino, ossia

$p_2=p_1+d\cdot h\cdot g\Rightarrow d={p_2-p_1\over h\cdot g}$

quindi

$d={112000\: Pa-109400\: Pa\over 0,25\:m \cdot 9,81\: N/kg}\approx 1060\: kg/m^3$

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Esercizi di fisica, L'equilibrio dei fluidi

Esercizio 117 sull’equilibrio dei fluidi – Esercizi svolti – FISICA

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La diga di Assuan è alta $111\: m$ . Quale è la pressione dell’acqua sul fondo della diga?

SVOLGIMENTO

Sappiamo che per risolvere questa tipologia di esercizio, cioè dove dobbiamo calcolare la pressione all’interno di un fluido a una determinata profondità, dobbiamo utilizzare la legge di Stevino, la quale ci dice che:

$p_2=p_1+d\cdot h\cdot g$

Nel nostro caso ovviamente la densità è quella dell’acqua e la pressione $p_1$ è la pressione atmosferica, siccome sulla superficie del lago l’atmosfera esercita la sua pressione. Ossia

$p_2=101325\: Pa+1000\: kg/m^3\cdot 111\: m\cdot 9,81\: N/kg\approx 1,19\cdot 10^6\: Pa$

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Esercizi di fisica, L'equilibrio dei fluidi

Esercizio 116 sull’equilibrio dei fluidi – Esercizi svolti – FISICA

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Supponi che quando pedali sulla tua bicicletta di $7,70\: kg$ il tuo peso e quello della bicicletta siano sostenuti in modo uguale da entrambe le ruote. Se la pressione relativa nelle gomme è $486\: kPa$ e l’area di contatto tra ciascuna gomma e la strada è $7,13\: cm^2$ , quale è il tuo peso?

SVOLGIMENTO

La pressione relativa delle ruote determina una forza sulla asfalto che sorregge completamente il peso della bicicletta e del ciclista, ossia sappiamo che

$F_p=p_r\cdot A$

$F_p^{bic}+F_p^{cic}=p_r\cdot 2\cdot A_{gom}$

$m_{bic}\cdot g+F_p^{cic}=p_r\cdot 2\cdot A_{gom}$

$F_p^{cic}=p_r\cdot 2\cdot A_{gom}-m_{bic}\cdot g$

$F_p^{cic}=486000\: Pa\cdot 2\cdot 0,000713\: m^2-7,7\: kg\cdot 9,81\: N/kg\approx 617,5\: N$

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Esercizi di fisica, L'equilibrio dei fluidi

Esercizio 115 sull’equilibrio dei fluidi – Esercizi svolti – FISICA

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Una palla da basket gonfiata ha una pressione relativa di $55,1\: kPa$ . Calcola la pressione interna della palla.

SVOLGIMENTO

Sappiamo che la pressione relativa è una pressione valutata in un sistema di riferimento che pone lo zero sulla pressione atmosferica, pertanto

$p_r=p-p_{atm}\Rightarrow p=p_r+p_{atm}$

Per cui

$p=55100\: Pa+101325\: Pa=156425\: Pa$

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Esercizi di fisica, L'equilibrio dei fluidi

Esercizio 114 sull’equilibrio dei fluidi – Esercizi svolti – FISICA

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Premendo su una palla da basket in direzione verticale con una forza di $25\: N$ si osserva che l’area di contatto della palla con il pavimento è di $4,2\: cm^2$ . Stima la pressione totale interna della palla.

SVOLGIMENTO

Quando noi premiamo la palla contro il suolo l’area di contatto aumenta fino a quando la forza che la palla esercita contro la terra, dovuta alla pressione relativa dell’aria all’interno della palla, non raggiunge i $25\: N$ . Quindi la pressione relativa all’interno della palla è quella necessaria per esercitare una forza di $25\: N$ quando applicata su un’area di $4,2\: cm^2$ . Da cui

$p_r={F\over A}={25\: N\over 0,00042\: m^2}\approx 5,95\cdot 10^4\: Pa$

Quindi, sapendo la definizione di pressione relativa, otteniamo

$p_{interna}=p_r+p_{atm}=5,95\cdot 10^4\: Pa+101325\: Pa\approx 1,61\cdot 10^5\: Pa$

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