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Esercizi di fisica, Vettori e forze

Esercizio 30 sui vettori e le forze – Esercizi svolti – FISICA

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In base ai valori delle componenti dei vettori riportati di seguito, determina in quale quadrante si trovano i vettori:

$\vec{v}_A=2\hat{x}-2\hat{y}$

$\vec{v}_B=-3\hat{x}+\hat{y}$

$\vec{v}_C=12\hat{x}+3\hat{y}$

$\vec{v}_D=-\hat{x}-2\hat{y}$

SVOLGIMENTO

Ricordiamo innanzitutto cosa vuol dire la scrittura

$\vec{A}=x_A\hat{x}+y_A\hat{y}$

infatti questo modo di scrivere serve per poter scrivere un vettore, in questo caso $\vec{A}$ , come somma di due vettori che hanno la direzione di $\hat{x}$ e $\hat{y}$ . Detto in maniera più elementare tale scrittura equivale a scrivere

$\vec{A}=(x_A\:;\:y_A)$

Pertanto risulta che

$\vec{v}_A=2\hat{x}-2\hat{y}=(2\:;\:-2)$

$\vec{v}_B=-3\hat{x}+\hat{y}=(-3\:;\:1)$

$\vec{v}_C=12\hat{x}+3\hat{y}=(12\:;\:3)$

$\vec{v}_D=-\hat{x}-2\hat{y}=(-1\:;\:-2)$

Una volta scritti i vettori come punti del piano cartesiano risulta immediato determinare in che quadrante si trovano, infatti basta disegnare il punto.

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Esercizi di fisica, Vettori e forze

Esercizio 29 sui vettori e le forze – Esercizi svolti – FISICA

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I vettori $\vec{A}$ e $\vec{B}$ hanno moduli $A=3,0$ e $B=4,0$ e formano tra loro un angolo di $50^\circ$ . Calcola il modulo del loro prodotto vettoriale.

SVOLGIMENTO

Il prodotto vettoriale tra due vettori è un vettore del quale verso e direzione sono facili da determinare utilizzando la regola della “mano destra”, per quanto invece riguarda il modulo sappiamo che tale modulo si ricava con la formula

$A\times B=A\cdot B\cdot \sin{ \widehat{AB}}=3,0\cdot 4,0\cdot \sin{50^\circ}\approx 9,2$

dove osserviamo esplicitamente che $\widehat{AB}$ è l’angolo formato da i due vettori.

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Esercizi di fisica, Vettori e forze

Esercizio 28 sui vettori e le forze – Esercizi svolti – FISICA

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Un ragazzo prende la rincorsa e sale con il suo skateboard sulla rampa nella figura, partendo dal punto A. Dopo aver percorso la parte semicircolare fino al punto D spicca un salto in verticale di $70\: cm$ , atterra di nuovo sul bordo nel punto D e ritorna indietro fino a fermarsi nel punto B.

Calcola la distanza totale che percorre lo skateboard prima di fermarsi. Determina il vettore spostamento e calcolane il modulo.

SVOLGIMENTO

Per calcolare la distanza percorsa dividiamo il percorso in parti e calcoliamo la lunghezza di ogni singola parte. Partiamo dal tratto $AB$ (per calcolare questo tratto utilizziamo il teorema di Pitagora).

$\bar{AB}=\sqrt{(6,2\:m)^2+(0,9\: m)^2}\approx 6,26\: m$

Il tratto $CB$ è un tratto rettilineo quindi la sua lunghezza è pari a $L=4,5\: m$ , mentre il tratto $CD$ è una semicirconferenza di raggio $80\:cm$ , quindi la sua lunghezza sarà:

$CD={2\cdot r\cdot \pi\over 2}=r\cdot \pi=0,8\: m\cdot \pi\approx 2,51\:m$

Pertanto, considerando che lo skateboard nel punto D salta di $70\: cm$ e che dopo ritorna indietro fino al punto B, risulta che

$d=6,26\: m+4,5\:m+2,51\: m+0,7\:m+0,7\: m+2,51\: m+4,5\: m=21,68\:m$

Per determinare il vettore spostamento bisogna semplicemente prendere il vettore che parte dal punto iniziale A e arriva al punto finale B, il modulo di tale vettore lo abbiamo già calcolato ed è $6,26\: m$ .

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Esercizi di fisica, Vettori e forze

Esercizio 27 sui vettori e le forze – Esercizi svolti – FISICA

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Due rette $s$ e $t$ sono perpendicolari tra loro. Il vettore $\vec{A}$ , di modulo $12$ , forma un angolo $\alpha=25^\circ$ con la retta $s$ , come mostra la figura.

Calcola le lunghezze delle proiezioni di $\vec{A}$ lungo le rette $s$ e $t$ .

SVOLGIMENTO

Sappiamo che per calcolare le lunghezze delle proiezioni si utilizza la funzione trigonometrica coseno, in particolare per calcolare la proiezione lungo la retta $s$ si utilizza

$A_s=A\cdot \cos(\alpha)=12\cdot \cos(25^\circ)\approx 10,9$

mentre per calcolare la proiezione sulla retta $t$ bisogna tener conto che l’angolo formato dalla retta e dal vettore sarà complementare all’angolo $\alpha$ , pertanto

$A_t=A\cdot \cos(90^\circ-\alpha)=12\cdot \cos(65^\circ)\approx 5,1$

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Esercizi di fisica, Vettori e forze

Esercizio 26 sui vettori e le forze – Esercizi svolti – FISICA

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Un cane legato con una catena lunga $6,0\: m$ corre lungo il percorso circolare con raggio maggiore possibile, compiendo una mezza circonferenza.
– Calcola la distanza percorsa e il modulo del vettore spostamento.
– Calcola il modulo del vettore spostamento nel caso compia due giri completi.

SVOLGIMENTO

Se il cane compie una semicirconferenza la distanza percorsa sarà esattamente uguale alla lunghezza di tale semicirconferenza, ricordando che la distanza percorsa è una grandezza scalare, pertanto

$d={2\cdot r\cdot \pi\over 2}=r\cdot \pi\approx 18,8\: m$

Mentre lo spostamento, che è un vettore, non tiene conto del fatto che il cane per raggiungere la sua posizione finale ha compiuto un tragitto circolare. Semplicemente il modulo dello spostamento è la lunghezza del segmento (vettore) che unisce la posizione iniziale e quella finale. Pertanto

$s=2\cdot r=12\: m$

Infine se volessimo calcolare lo spostamento del cane dopo che ha compiuto due giri osserviamo che da quello detto precedentemente risulta chiaro che il vettore spostamento tiene in considerazione solo il punto di partenza e il punto di arrivo e non il tragitto fatto per arrivare il tale posizione, pertanto avremo che

$s=0\: m$

in quanto punto di partenza e di arrivo coincidono.

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Esercizi di fisica, Vettori e forze

Esercizio 25 sui vettori e le forze – Esercizi svolti – FISICA

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La figura mostra il vettore $\vec{A}$ , la retta $s$ e l’angolo $\alpha$ formato dal vettore e dalla retta. Il modulo del vettore $\vec{A}$ è $5,0$ e la misura dell’angolo $\alpha$ è $35^\circ$ .

Determina la proiezione di $\vec{A}$ lungo la retta $s$ .

SVOLGIMENTO

Per determinare la proiezione di vettore lungo una retta semplicemente si usano le funzioni trigonometriche, in particolare si utilizza la funzione coseno, da cui si ottiene

$A_s=A\cdot \cos(\alpha)=5,0\cdot \cos(34^\circ)\approx 4,1$

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Esercizi di fisica, Vettori e forze

Esercizio 24 sui vettori e le forze – Esercizi svolti – FISICA

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Il Gran Premio di Monaco si svolge sul circuito di Monte Carlo che ha una lunghezza di $3,4\: km$ . I piloti devono compiere $78\: giri$ in totale. Quali sono lo spostamento e la distanza totale percorsa?

SVOLGIMENTO

La differenza tra spostamento e distanza totale sta tutta nel fatto che lo spostamento è una grandezza vettoriale, mentre la distanza totale è una grandezza scalare. Quindi se noi volessimo calcolare la distanza totale percorsa ci basta fare una semplice moltiplicazione

$d_{TOT}=78\:giri\cdot 3,4\: km/giro=265,2\: km$

Mentre se vogliamo calcolare lo spostamento totale dobbiamo fare la sottrazione tra il vettore che indica la posizione finale e il vettore che indica la posizione iniziale dell’automobile, ossia

$\vec{v}_{spostamento}=\vec{v}_{finale}-\vec{v}_{iniziale}=\vec{0}$

infatti partenza e arrivo in un gran premio normalmente coincidono quindi il vettore spostamento è nullo.

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Esercizi di fisica, Velocità e moto rettilineo uniforme

Esercizio 51 sulla velocità e sul moto rettilineo uniforme – Esercizi svolti – FISICA

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Antonio e Flavia studiano in laboratorio il movimento di un carrellino lungo una guida rettilinea. Si mettono ai due lati del bancone e segnano una serie di posizioni distanziate di $50\: cm$ (vedi figura). Entrambi avviano il cronometro quando il carrellino passa per la posizione $0$ del proprio sistema di riferimento. Flavia fa partire il suo cronometro $2,0\:s$ dopo Antonio.

Determina la velocità del carrellino.
Scrivi le leggi orarie del moto del carrellino secondo i due sistemi di riferimento di Antonio e Flavia.
Scrivi la legge orario del moto del carrellino con le coordinate del sistema di riferimento di Antonio usando il tempo del cronometro di Flavia, e viceversa.

SVOLGIMENTO

Ricordiamo esplicitamente cosa rappresenta la legge oraria del moto. La legge oraria del moto rappresenta una formula che permette di determinare la posizione di un oggetto a un determinato tempo. Nel moto rettilineo uniforme tale legge assume sempre la forma:

$x(t)=x(0)+v\cdot t$

dove:
$x(t)$ rappresenta la posizione dell’oggetto al tempo $t$ ;
$x(0)$ rappresenta la posizione dell’oggetto al tempo $0$ ;
$v$ rappresenta la velocità dell’oggetto;
$t$ rappresenta il tempo.
Per rispondere alla prima domanda dobbiamo osservare che, siccome Flavia fa partire il suo cronometro $2\: s$ dopo Antonio, il carrellino percorre $50\: cm$ in $2\:s$ , pertanto

$v_c={\Delta x\over \Delta t}={50\: cm\over 2\: s}=25\: cm/s=0,25\: m/s$

Dopo quello che abbiamo ricordato prima scrivere le due leggi orarie dovrebbe essere abbastanza semplice. Nel sistema di riferimento di Antonio avremo

$x(t_a)=0\: m+0,25\: m/s\cdot t_a=0,25\: m/s\cdot t_a$

mentre nel sistema di Flavia avremo

$x(t_f)=0\: m+0,25\: m/s\cdot t_f=0,25\: m/s\cdot t_f$

non deve stupire il fatto che le due leggi orarie siano uguali, infatti il carrellino ha ovviamente la stessa velocità sia per Antonio che per Flavia, inoltre entrambi fanno partire il cronometro (quindi determinano la posizione al tempo $t=0$ ) quando il carrellino passa per $x=0\:m$ .
Infine rispondiamo all’ultima domanda: per determinare la prima legge dobbiamo tenere conto che al tempo $t_f=0\: s$ il carrellino nel sistema di Antonio si trova già a $0,5\: m$ , pertanto

$x^a(t_f)=0,5\: m+0,25\: m/s\cdot t_f$

mentre per la seconda legge bisogna osservare che al tempo $t_a=0\: s$ il cronometro di Flavia ancora non è partito e il carrellino nel sistema di Flavia si trova a $x=-0,5\: m$ , ossia $0,5\:m$ verso sinistra, pertanto

$x^f(t_a)=-0,5\: m+0,25\: m/s\cdot t_a$

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Esercizi di fisica, Velocità e moto rettilineo uniforme

Esercizio 50 sulla velocità e sul moto rettilineo uniforme – Esercizi svolti – FISICA

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Il ghepardo reale è in grado di raggiungere picchi di velocità tra i $110$ e i $120\: km/h$ , la velocità più elevata tra tutti i mammiferi terrestri. Che distanza riesce a percorrere, al massimo della sua velocità, in un arco di tempo pari a $3,0\: s$ ?

SVOLGIMENTO

La domanda quindi è la distanza percorsa da un oggetto che viaggia a $120\: km/h$ nel tempo di $3,0\: s$ . Per fare questo o convertiamo la velocità in $m/s$ , scelta consigliata, oppure trasformiamo i $3,0\: s$ in $ore$ . Optiamo per la prima scelta, per cui

$v_g=120\: km/h={120\over 3,6}\: m/s={100\over 3}\: m/s$

A questo punto, ricordando che

$v_m={\Delta x\over \Delta t}\Rightarrow \Delta x=v_m\cdot \Delta t$

risulta chiaro che

$\Delta x={100\over 3}\: m/s\cdot 3,0\: s=100\: m$

Osserviamo che se avessimo optato per la seconda strada, ossia convertire il tempo in ore, avremmo ottenuto il risultato in chilometri.

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Esercizi di fisica, Velocità e moto rettilineo uniforme

Esercizio 49 sulla velocità e sul moto rettilineo uniforme – Esercizi svolti – FISICA

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Nell’antico osservatorio astronomico Jaipur in India, che esiste ancora oggi, l’ombra dello gnomone di una gigantesca meridiana orizzontale si muove alla velocità di un quarto di millimetro al secondo e il suo movimento è perfettamente percettibile. Che distanza percorre in $10\: min$ ?

SVOLGIMENTO

Abbiamo la velocità espressa nell’insolita unità di misura del $mm/s$ , pertanto se moltiplichiamo tale velocità per il tempo espresso in secondi riusciremo a calcolare lo spazio percorso espresso in millimetri, ossia

$\Delta x=v_m\cdot \Delta t={1\over 4}\: mm/s\cdot 600\: s=150\: mm=15\: cm$

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