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Esercizio 40 sui vettori e le forze – Esercizi svolti – FISICA

La molecola del difluoruro di ossigeno $OF_2$ è una molecola polare poichè la carica al suo interno è distribuita in maniera asimmetrica. La distanza tra il centro dell’atomo di ossigeno e il centro di ciascun atomo di fluoro è di circa $140,5\:pm$ e l’angolo formato è di $103^\circ$ .

Quanto misura la distanza tra i centri dei due atomi di fluoro?

SVOLGIMENTO

Estrapolando il problema geometrico dal suo contesto chimico la domanda potrebbe essere: calcola la base di un triangolo isoscele di lato obliquo $140,5\:pm$ e di angolo al vertice $103^\circ$ . Dalle proprietà del triangolo isoscele, ossia che l’altezza relativa alla base spezza a metà la base ed è bisettrice dell’angolo al vertice, risulta che

$d_{F-F}=2\cdot \sin{103^\circ\over 2}\cdot 140,5\:pm\approx 220\: pm$

Ricordiamo anche che il prefisso pico nelle unità di misura vuol dire $10^{-12}$ .

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Esercizio 39 sui vettori e le forze – Esercizi svolti – FISICA

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I vettori $\vec{A}$ e $\vec{B}$ formano un angolo $\alpha=35^\circ$ tra loro. I moduli dei due vettori sono $A=9,0$ e $B=7,0$ .
Calcola il modulo del prodotto vettoriale $\vec{A}\times\vec{B}$ .
Calcola $A_\perp$ e $B_\perp$ .

SVOLGIMENTO

Per calcolare il modulo del prodotto vettoriale dobbiamo ricordarci la formula, infatti il prodotto vettoriale tra due vettori è un vettore il cui verso e la cui direzione è facilmente ottenibile con la “regola della mano destra”, mentre il modulo è dato dalla formula

$\vec{A}\times\vec{B}=A\cdot B\cdot \sin{\widehat{AB}}$

quindi in questo caso

$\vec{A}\times\vec{B}=9,0\cdot 7,0\cdot \sin{35^\circ}\approx 36,1$

Per quanto riguarda la seconda domanda osserviamo subito che la domanda è quanto meno posta male, infatti dalla domanda non si riesce a determinare il sistema di riferimento nel quale bisogna determinare $A_\perp$ e $B_\perp$ . Noi rispondiamo fissando i sistemi di riferimento prima con la direzione $x$ coincidente con il vettore $\vec{A}$ , e in questo sistema calcoleremo $B_\perp$ , poi nel sistema che ha la direzione $x$ coincidente con il vettore $\vec{B}$ calcoleremo $A_\perp$ . In generale sappiamo che il modulo della componente perpendicolare di un vettore $\vec{u}$ di cui conosciamo l’angolo che forma con l’asse $x$ , ossia $\hat{ux}$ , lo possiamo calcolare con la formula

$u_\perp=u\cdot \sin{\hat{ux}}$

Per cui nella nostra situazione, con i due sistemi di riferimento scelti precedentemente, abbiamo

$A_\perp=A\cdot \sin{\widehat{AB}}=9\cdot \sin{35^\circ}\approx 5,2$

$B_\perp=B\cdot \sin{\widehat{AB}}=7\cdot \sin{35^\circ}\approx 4$

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Esercizio 38 sui vettori e le forze – Esercizi svolti – FISICA

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Un vettore di modulo pari a $4,0\: m$ forma un angolo di $30^\circ$ con una retta orizzontale.
– Calcola la componente orizzontale e quella verticale del vettore.
– Quale angolo forma con la retta verticale?

SVOLGIMENTO

Sappiamo che le due componenti di un vettore, che chiameremo $\vec{u}$ , si calcolano con le due formule

$\vec{u}_x=u\cdot \cos{\hat{ux}}\cdot \hat{x}$

$\vec{u}_y=u\cdot \sin{\hat{ux}}\cdot \hat{y}$

dove ricordiamo che $\hat{x}$ e $\hat{y}$ sono rispettivamente i versori che indicano la direzione dell’asse $x$ e dell’asse $y$ , mentre $\hat{ux}$ è l’angolo formato dal vettore $\vec{u}$ con l’asse $x$ . Ricordate queste formule risulta evidente che

$\vec{u}_x=4,0\: m\cdot \cos{30^\circ}\cdot \hat{x}\approx 3,46\:m\cdot \hat{x}$

$\vec{u}_y=4,0\: m\cdot \sin{30^\circ}\cdot \hat{y}=2\:m\cdot \hat{y}$

Mentre invece l’angolo che $\vec{u}$ forma con l’asse $y$ , siccome i due assi cartesiani sono perpendicolari, sarà

$\hat{uy}=90^\circ-\hat{ux}=60^\circ$

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Esercizio 37 sui vettori e le forze – Esercizi svolti – FISICA

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La figura mostra i vettori $\vec{A}$ e $\vec{B}$ . Il lato di ogni quadratino vale $1$ .

Calcola il modulo del prodotto vettoriale $\vec{A}\times\vec{B}$ . Quale è il verso del vettore $\vec{C}= \vec{A}\times\vec{B}$ ?

SVOLGIMENTO

Il prodotto vettoriale tra due vettori è un vettore del quale verso e direzione sono facili da determinare utilizzando la regola della “mano destra”, per quanto invece riguarda il modulo sappiamo che tale modulo si ricava con la formula

$A\times B=A\cdot B\cdot \sin{ \widehat{AB}}$

Dove $\widehat{AB}$ è l’angolo compreso tra il vettore $\vec{A}$ e il vettore $\vec{B}$ . Siccome conosciamo i moduli dei due vettori l’unica incognita dell’esercizio sarà quindi $\sin{ \widehat{AB}}$ , vediamo come possiamo calcolarlo. Usando le formule trigonometriche sul triangolo rettangolo che ha come ipotenusa il vettore $\vec{B}$ e come cateti due quadratini (lungo il vettore rosso $\vec{A}$ ) e tre quadratini verticalmente dalla punta del vettore $\vec{B}$ fino al vettore $\vec{A}$ , possiamo scrivere che

$3=B\cdot \sin{\widehat{AB}}=\sqrt{2^2+3^2}\cdot \sin{\widehat{AB}}$

da cui

$\sin{\widehat{AB}}={3\over \sqrt{13}}$

per cui

$A\times B=7\cdot \sqrt{13}\cdot {3\over \sqrt{13}}=7\cdot 3=21$

Per determinare il verso attraverso la regola della mano destra bisogna, utilizzando la mano destra, sovrapporre il pollice al vettore $\vec{A}$ e l’indice al vettore $\vec{B}$ , ricordiamo esplicitamente che il prodotto vettoriale non è commutativo, il verso del prodotto vettoriale è il verso del dito medio. Pertanto in questo esercizio il prodotto vettoriale sarà perpendicolare ai vettori $\vec{A}$ e $\vec{B}$ , come sempre, ed “uscirà” dal foglio.

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Esercizio 36 sui vettori e le forze – Esercizi svolti – FISICA

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Il vettore $\vec{u}$ (di modulo $u=6,2$ ) forma un angolo di $60^\circ$ con la direzione orizzontale.
– Scomponi $\vec{u}$ lungo la retta orizzontale $x$ e lungo la retta verticale $y$ .
– Calcola i moduli dei due vettori componenti $\vec{u}_x$ e $\vec{u}_y$ .

SVOLGIMENTO

Calcoliamo direttamente i moduli delle due componenti $\vec{u}_x$ e $\vec{u}_y$ . Per fare questo il modo normale di operare è utilizzare entrambe le funzioni trigonometriche coseno e seno nel seguente modo

$u_x=u\cdot \cos{60^\circ}=6,2\cdot \cos{60^\circ}=3,1$

$u_y=u\cdot \sin{60^\circ}=6,2\cdot \sin{60^\circ}\approx 5,4$

Naturalmente si sarebbe potuto anche utilizzare per $\vec{u}_y$ il coseno (o per $\vec{u}_x$ il seno) calcolando l’angolo complementare di $60^\circ$ e facendo

$u_y=u\cdot \cos{(90^\circ-60^\circ)}=6,2\cdot \cos{30^\circ}\approx 5,4$

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Esercizio 35 sui vettori e le forze – Esercizi svolti – FISICA

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La figura mostra i vettori $\vec{A}$ e $\vec{B}$ e l’angolo $\alpha$ tra essi. I moduli dei vettori sono $A=6,3$ e $B=3,6$ . L’angolo $\alpha$ misura $38^\circ$ . Calcola il modulo del prodotto vettoriale $\vec{A}\times\vec{B}$ . Quale è il verso del vettore $\vec{C}=\vec{A}\times\vec{B}$ ?

SVOLGIMENTO

$A\times B=A\cdot B\cdot \sin{ \alpha}=6,3\cdot 3,6\cdot \sin{38^\circ}\approx 14$

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Esercizio 34 sui vettori e le forze – Esercizi svolti – FISICA

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Il vettore $\vec{z}$ è scomposto lungo due direzioni $a$ e $b$ perpendicolari tra loro. I due vettori componenti così ottenuti hanno moduli $z_a=10,2$ e $z_b=13,6$ . Determina il modulo del vettore $\vec{z}$ .

SVOLGIMENTO

Sappiamo che quando scomponiamo un vettore lungo due direzioni perpendicolari siamo in una situazione analoga a quella del piano cartesiano, pertanto il modulo del vettore $\vec{z}$ è calcolabile tramite il teorema di Pitagora. Pertanto

$z=\sqrt{z_a^2+z_b^2}=\sqrt{10,2^2+13,6^2}=17$

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Esercizio 33 sui vettori e le forze – Esercizi svolti – FISICA

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La figura mostra i vettori $\vec{A}$ e $\vec{B}$ e l’angolo $\alpha$ tra essi. I moduli dei vettori sono $A=2,8$ e $B=4,5$ . L’angolo $\alpha$ misura $72^\circ$ .

Calcola il modulo del prodotto vettoriale $\vec{A}\times\vec{B}$ . Quale è il verso del vettore $\vec{C}= \vec{A}\times\vec{B}$ ?

SVOLGIMENTO

$A\times B=A\cdot B\cdot \sin{ \alpha}=2,8\cdot 4,5\cdot \sin{72^\circ}\approx 12$

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Esercizio 32 sui vettori e le forze – Esercizi svolti – FISICA

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I vettori $\vec{A}$ e $\vec{B}$ hanno moduli $A=7,0$ e $B=13$ e il modulo del prodotto vettoriale è $62$ . Calcola l’angolo tra i due vettori.

SVOLGIMENTO

$A\times B=A\cdot B\cdot \sin{ \widehat{AB}}$

dove sappiamo che $\widehat{AB}$ è l’angolo formato da i due vettori. Per cui

$62=7,0\cdot 13\cdot \sin{ \widehat{AB}}$

$0,68=\sin{ \widehat{AB}}\Rightarrow \widehat{AB}=\sin^{-1}{0,68}\approx 43^\circ$

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Esercizio 31 sui vettori e le forze – Esercizi svolti – FISICA

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Come fai a ottenere un versore che ha la stessa direzione del vettore $\vec{a}=3\hat{x}+4\hat{y}$ ?

SVOLGIMENTO

Ricordiamo che un versore è un vettore con modulo unitario, quindi partendo da un vettore qualunque, in questo caso $\vec{a}$ , si può ottenere un versore semplicemente facendo

$\hat{a}={\vec{a}\over a}$

Per cui nel nostro esercizio particolare risulta

$\hat{a}={3\hat{x}+4\hat{y}\over \sqrt{3^2+4^2}}={3\hat{x}+4\hat{y}\over \sqrt{25}}={3\over 5}\hat{x}+{4\over 5}\hat{y}$

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