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Due amici, che programmano una vacanza in bicicletta, partono da Roma e fanno l’ipotesi di mantenere una media di $20\: km/h$ .
Quanti chilometri percorrerebbero in $8,0\: h$ ?
Quanti giorni ci vorrebbero per arrivare a Milano, che dista $575\: km$ , pedalando senza fermarsi?

SVOLGIMENTO

Sappiamo che la definizione di velocità è

$v={\Delta x\over \Delta t}$

cioè lo spazio percorso fratto il tempo necessario a percorrerlo. Pertanto possiamo ricavare da questa formula diretta le due formule inverse

$\Delta x=v\cdot \Delta t$

$\Delta t={\Delta x\over v}$

Una volta ricavate queste due formule risulta evidente che lo spazio percorso in $8,0\: h$ si ottiene facendo

$\Delta x=20\: km/h\cdot 8,0\: h=160\: km$

Mentre il tempo necessario per percorrere $575\: km$ si ottiene facendo

$\Delta t={575\: km\over 20\: km/h}=28,75\: h$

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Esercizi di fisica, Misura e errori di misura

Esercizio 26 sulla misura – Esercizi svolti – FISICA

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Un oggetto di massa incognita viene posto su diverse bilance con sensibilità $1\: mg$ . I valori ottenuti sono

$12,352\: g\:; 12,353\: g\:; 12,346\: g\:; 12,348\: g\:; 12,347\: g\:; 12,351\: g\:; 12,350\: g\:; 12,347\: g$

Determina il valore attendibile della massa incognita.
Calcola lo scarto quadratico medio dei dati.

SVOLGIMENTO

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Esercizi di fisica, Misura e errori di misura

Esercizio 25 sulla misura – Esercizi svolti – FISICA

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Misuriamo dieci volte il diametro di un tubo di plexiglas e otteniamo i seguenti valori in cm:

$6,31\:;\:6,33\:;\:6,32\:;\:6,36\:;\:6,33\:;\:6,30\:;\:6,35\:;\:6,32 \:;\:6,34 \:;\:6,33$

La sensibilità dello strumento utilizzato è $0,01\: cm$ .
Calcola il valore medio dei dati e la semidispersione massima ed esprimi correttamente il risultato della misura.

SVOLGIMENTO

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Esercizi di fisica, Vettori e forze

Esercizio 47 sui vettori e le forze – Esercizi svolti – FISICA

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La figura mostra il vettore $\vec{A}$ di modulo $A=5,0$ e la sua proiezione $\vec{A}_x=-3,0\hat{x}$ sull’asse $x$ .

Calcola l’ampiezza dell’angolo $\alpha$ mostrato nella figura.
Determina la proiezione $\vec{A}_y$ del vettore $\vec{A}$ sull’asse $y$ .

SVOLGIMENTO

Sappiamo che dato un vettore $\vec{A}$ e l’angolo $\widehat{Ax}$ che il vettore forma con l’asse $x$ i moduli delle due proiezioni lungo gli assi cartesiani si determinano con le formule

$A_x=A\cdot\cos{\widehat{Ax}}$

$A_y=A\cdot \sin{\widehat{Ax}}$

Pertanto dalla prima proiezione possiamo determinare l’angolo $\alpha$ per poi inserire tale angolo nella seconda formula e determinare la proiezione lungo l’asse $y$ .

$A_x=A\cdot\cos{(180^\circ-\alpha)}$

Dove osserviamo che nelle formule delle proiezioni l’angolo $\widehat{Ax}$ è un angolo “orientato” quindi per calcolare $\alpha$ che è orientato dalla parte opposta devo fare per forza $\alpha=180^\circ-\widehat{Ax}$ .

$-3,0=5,0\cdot\cos{(180^\circ-\alpha)}\Rightarrow \cos{(180^\circ-\alpha)}={-3,0\over 5,0}$

$\alpha=180^\circ-\cos^{-1}{-3,0\over 5,0}\approx 53,1^\circ$

da cui

$\vec{A}_y=A_y\cdot \hat{y}=A\cdot \sin{(180^\circ-\alpha)}\cdot \hat{y}$

$\vec{A}_y=5,0\cdot \sin{126,9^\circ}\cdot \hat{y}=4\cdot \hat{y}$

Osserviamo infine che l’esercizio richiede proprio la proiezione $\vec{A}_y$ quindi oltre al modulo bisogna anche aggiungere il versore che caratterizza direzione e verso di tale vettore, cioè $\hat{y}$ .

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Esercizi di fisica, Vettori e forze

Esercizio 46 sui vettori e le forze – Esercizi svolti – FISICA

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I vettori $\vec{a}$ e $\vec{b}$ hanno moduli $a=6,82$ e $b=9,47$ e formano tra loro un angolo di $45^\circ$ .
Quanto vale il prodotto scalare $c=\vec{a}\cdot \vec{b}$ ?

SVOLGIMENTO

Sappiamo che il prodotto scalare tra due vettori è un numero che si può calcolare con la formula

$c=\vec{a}\cdot \vec{b}=a\cdot b\cdot \cos{\widehat{ab}}$

pertanto in questo esercizio conosciamo tutto per utilizzare direttamente questa formula, pertanto

$c=6,82\cdot 9,47\cdot \cos{45^\circ}\approx 45,7$

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Esercizi di fisica, Vettori e forze

Esercizio 45 sui vettori e le forze – Esercizi svolti – FISICA

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Il modulo del prodotto vettoriale tra i vettori $\vec{A}$ e $\vec{B}$ è uguale a $24$ . I moduli dei due vettori sono $A=5,0$ e $B=6,0$ . Calcola il prodotto scalare tra $\vec{A}$ e $\vec{B}$ .

SVOLGIMENTO

Partiamo ricordando le definizioni di prodotto scalare e prodotto vettoriale. Il prodotto scalare tra due vettori è un numero il cui valore si calcola con la formula

$\vec{A}\cdot \vec{B}=A\cdot B\cdot \cos{\widehat{AB}}$

mentre il prodotto vettoriale è un vettore la cui direzione è perpendicolare ai vettori $\vec{A}$ e $\vec{B}$ e il cui verso è determinabile con la regola della “mano destra”, per finire il modulo si determina con la formula

$\vec{A}\times\vec{B}=A\cdot B\cdot\sin{\widehat{AB}}$

Una volta detto questo la risoluzione dell’esercizio consiste nel calcolare l’angolo utilizzando il prodotto vettoriale e poi inserire l’angolo nella formula del prodotto scalare. Infatti

$\vec{A}\times\vec{B}=A\cdot B\cdot\sin{\widehat{AB}}$

$24=5,0\cdot 6,0\cdot\sin{\widehat{AB}}\Rightarrow \sin{\widehat{AB}}={24\over 5,0\cdot 6,0}$

$\widehat{AB}=\sin^{-1}{24\over 30}\approx 53,1^\circ$

da cui

$\vec{A}\cdot \vec{B}=A\cdot B\cdot \cos{\widehat{AB}}$

$\vec{A}\cdot \vec{B}=5,0\cdot 6,0\cdot \cos{53,1^\circ}=18$

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Esercizi di fisica, Vettori e forze

Esercizio 44 sui vettori e le forze – Esercizi svolti – FISICA

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Il prodotto scalare tra i vettori $\vec{a}$ e $\vec{b}$ è uguale a $19$ e il modulo di $\vec{a}$ è $7$ .
Quanto vale la componente di $\vec{b}$ lungo $\vec{a}$ ?
Puoi determinare il modulo di $\vec{b}$ ?

SVOLGIMENTO

Sappiamo che il prodotto scalare, tra i vari modi, si può anche calcolare facendo

$\vec{a}\cdot \vec{b}=a\cdot b_a$

pertanto risulta evidente che

$b_a={\vec{a}\cdot\vec{b}\over a}={19\over 7}\approx 2,7$

Per rispondere alla seconda domanda cerchiamo di ricordare cosa sia a livello matematico al proiezione di $\vec{b}$ lungo $\vec{a}$ , ma

$b_a=b\cdot \cos{\widehat{ab}}$

pertanto a livello matematico sicuramente questa equazione non si può risolvere perchè presenta due incognite completamenti indipendenti l’una dall’altra. A livello geometrico tale situazione deriva dal fatto che vettori diversi possono avere la stessa proiezione lungo $\vec{a}$ basta semplicemente “allargare” l’angolo $\widehat{ab}$ mentre si “allunga” il vettore $\vec{b}$ .

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Esercizi di fisica, Vettori e forze

Esercizio 43 sui vettori e le forze – Esercizi svolti – FISICA

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La figura mostra i vettori $\vec{A}$ e $\vec{B}$ . I moduli dei due vettori sono $A=5,0$ e $B=3,0$ . Il lato di ogni quadratino vale $1$ .

Calcola il modulo di $B_\perp$ . Verso dove è diretto il vettore $\vec{C}=\vec{A}\times\vec{B}$ .

SVOLGIMENTO

Per poter calcolare $B_\perp$ , cioè la componente perpendicolare del vettore $\vec{B}$ rispetto alla direzione del vettore $\vec{A}$ abbiamo la necessità di calcolare l’angolo $\widehat{AB}$ , quindi per prima cosa calcoliamo quell’angolo li.
Per calcolare questo angolo osserviamo che tale angolo è formato da un angolo di $90^\circ$ più l’angolo che il vettore $\vec{A}$ forma con l’asse orizzontale (che chiameremo $\alpha$ ). Tale angolo si può calcolare concentrandoci sul triangolo rettangolo formato dal vettore rosso come ipotenusa e i due cateti di $3$ e $4$ quadretti. Pertanto

$\tan{\alpha}={3\over 4}\Rightarrow \alpha=\tan^{-1}{3\over 4}\approx 36,9^\circ$

Da cui

$\widehat{AB}=126,9$

Una volta calcolato questo angolo la componente $B_\perp$ si calcola facendo

$B_\perp=B\cdot \sin{\widehat{AB}}=3\cdot \sin{126,9^\circ}=2,4$

Per quanto riguarda invece il verso del prodotto vettoriale ricordiamo che tale verso si può determinare utilizzando la “regola della mano destra”, quindi allineiamo il pollice al vettore $\vec{A}$ e l’indice al vettore $\vec{B}$ e il verso puntato dal dito medio sarà il verso del vettore $\vec{C}$ che in questo caso sarà ovviamente perpendicolare ai due vettori $\vec{A}$ e $\vec{B}$ e bucherà il foglio uscendo dalla parte posteriore.

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Esercizi di fisica, Vettori e forze

Esercizio 42 sui vettori e le forze – Esercizi svolti – FISICA

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Il vettore $\vec{a}$ di modulo $a=13$ ha componente $a_b=9$ lungo la direzione di un secondo vettore $\vec{b}$ . Quanto vale l’angolo tra i vettori $\vec{a}$ e $\vec{b}$ .

SVOLGIMENTO

Sappiamo che, chiamato l’angolo tra i due vettori $\widehat{ab}$ , che la componente di $\vec{a}$ lungo il vettore $\vec{b}$ si calcola facendo

$a_b=a\cdot \cos{\widehat{ab}}$

pertanto

$\cos{\widehat{ab}}={a_b\over a}\Rightarrow \widehat{ab}=\cos^{-1}{a_b\over a}$

ossia

$\widehat{ab}=\cos^{-1}{9\over 13}\approx 46,2^\circ$

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Esercizi di fisica, Vettori e forze

Esercizio 41 sui vettori e le forze – Esercizi svolti – FISICA

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I vettori $\vec{A}$ e $\vec{B}$ formano un angolo $\alpha=60^\circ$ tra loro. I moduli dei due vettori sono $A=B=6,0$ .
Calcola il prodotto scalare tra i due vettori usando la componente di $\vec{B}$ lungo $\vec{A}$ .
Calcola il prodotto scalare tra i due vettori con la formula in cui compaiono i moduli e l’angolo tra i due vettori.

SVOLGIMENTO

Facciamo un po’ di chiarezza sulle domande fatte dal problema: in generale sappiamo che il prodotto scalare tra due vettori è un numero scalare (quindi non un vettore) di valore

$\vec{A}\cdot \vec{B}=A\cdot B\cdot \cos{\widehat{AB}}$

Quindi per rispondere alla seconda domanda possiamo semplicemente utilizzare questa formula (che ripetiamo è la formula classica per il calcolo del prodotto scalare), quindi

$\vec{A}\cdot \vec{B}=6,0\cdot 6,0\cdot \cos{60^\circ}=18$

Per rispondere alla prima domanda bisogna invece pensare a cosa sia geometricamente la componente di $\vec{B}$ lungo $\vec{A}$ . Questa componente, per definizione, si calcola facendo

$B_A=B\cdot \cos{\widehat{AB}}$

pertanto risulta evidente che il prodotto scalare lo potrei anche scrivere con

$\vec{A}\cdot \vec{B}=A\cdot B\cdot \cos{\widehat{AB}}=A\cdot B_A$

Da cui

$B_A=B\cdot \cos{\widehat{AB}}=6,0\cdot \cos{60^\circ}=3$

$\vec{A}\cdot \vec{B}=A\cdot B_A=6,0\cdot 3=18$

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Brevi lezioni

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Esercizio 52 sulla velocità e sul moto rettilineo uniforme – Esercizi svolti – FISICA

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