Archivi categoria: Esercizi di fisica

Esercizio 50 sui vettori e le forze – Esercizi svolti – FISICA

Sono dati due vettori: $\vec{a}=\hat{x}-\hat{y}$ , $\vec{b}=7\hat{x}-2\hat{y}$ .
Calcola il prodotto scalare tra i due vettori.

SVOLGIMENTO

Sappiamo che il prodotto scalare tra due vettori $\vec{a}=(a_x\:,\:a_y)$ e $\vec{b}=(b_x\:,\:b_y)$ è un numero scalare che può essere calcolato usando le due formule

$\vec{a}\cdot \vec{b}=a\cdot b\cdot \cos{\widehat{ab}}$

$\vec{a}\cdot \vec{b}=a_x\cdot b_x+a_y\cdot b_y$

In questo esercizio sarà ben più comodo utilizzare la seconda versione della formula siccome non conosciamo l’angolo e neanche i moduli (si potrebbero ovviamente calcolare), mente della seconda formula conosciamo tutto, infatti

$\vec{a}=\hat{x}-\hat{y}=(1\:,\:-1)$

$\vec{b}=7\hat{x}-2\hat{y}=(7\:,\:-2)$

da cui

$\vec{a}\cdot \vec{b}=a_x\cdot b_x+a_y\cdot b_y=1\cdot 7+(-1)\cdot (-2)=9$

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Esercizi di fisica, Vettori e forze

Esercizio 49 sui vettori e le forze – Esercizi svolti – FISICA

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Individua le componenti cartesiane dei vettori $\vec{A}$ e $\vec{B}$ mostrati nella figura, dove sono riportati anche i versori $\hat{x}$ e $\hat{y}$ .

SVOLGIMENTO

Per individuare le componenti lungo le due direzioni indicate in figura semplicemente bisogna indicare le coordinate cartesiane della punta della freccia (che rappresenta sostanzialmente il vettore) considerando che il vettore sia centrato nel punto di coordiante $(0\:,\:0)$ , ossia nell’origine. Una volta ricordato questo abbiamo che

$\vec{A}=(2\:,\:1)=2\cdot\hat{x}+1\cdot\hat{y}$

$\vec{B}=(-3\:,\:2)=-3\cdot \hat{x}+2\cdot \hat{y}$

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Esercizi di fisica, Vettori e forze

Esercizio 48 sui vettori e le forze – Esercizi svolti – FISICA

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I vettori $\vec{d}$ ed $\vec{e}$ hanno moduli $d=5,39$ ed $e=4,65$ e formano tra loro un angolo di $120^\circ$ .
Quanto vale il prodotto scalare $k=\vec{d} \cdot \vec{e}$ ?

SVOLGIMENTO

Sappiamo che per definizione il prodotto scalare tra due vettori altro non è che un numero scalare che ha valore uguale a

$\vec{d} \cdot \vec{e}=d\cdot e\cdot \cos{120^\circ}=5,39\cdot 4,65\cdot \cos{120^\circ}=-12,5$

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Esercizi di fisica, Misura e errori di misura

Esercizio 30 sulla misura – Esercizi svolti – FISICA

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Alcuni studenti misurano il periodo di un pendolo, cioè il tempo necessario per compiere un’oscillazione completa. Gli studenti utilizzano un cronometro con sensibilità uguale al centesimo di secondo. Le misure ottenute sono

$1,33\:s\:;\:1,35\:s\:;\:1,46\:s\:;\:1,42\:s\:;\:1,40\:s\:;\:1,47\:s\:;\:1,41\:s\:;\:1,39\:s \:;\:1,46\:s \:;\:1,31\:s$

Determina il valore attendibile del periodo del pendolo.
Calcola lo scarto quadratico medio, è un parametro adatto a esprimere l’incertezza della misura?
Stima il periodo del pendolo.

SVOLGIMENTO

Sappiamo che il valore attendibile di una misura altro non è che la media aritmetica delle misurazioni fatte. Pertanto in questo esercizio avremo:

$\bar{p}={(1,33+1,35+1,46+1,42+1,40+1,47+1,41+1,39+1,46+1,31)\:s\over 10}=1,40\:s$

Invece lo scarto quadratico medio, che è anche l’incertezza nel caso in cui il numero di misurazioni sia molto alto, si calcola facendo

$\sigma=\sqrt{{(p_1-\bar{p})^2+\dots+(p_n-\bar{p})^2\over n}}$

Per cui nel nostro esercizio abbiamo

$\sigma=\sqrt{{(1,33\:s-1,40\:s)^2+(1,35\:s-1,40\:s)^2+(1,46\:s-1,42\:s)^2+\over 10}}\dots$

$\dots{+(1,42\:s-1,40\:s)^2+(1,40\:s-1,40\:s)^2+(1,47\:s-1,40\:s)^2+(1,41\:s-1,40\:s)^2+\over 10}\dots$

$\dots{+(1,39\:s-1,40\:s)^2+(1,46\:s-1,40\:s)^2+(1,31\:s-1,40\:s)^2\over 10}\approx 0,05\: s$

Attenzione che anche nella seconda e terza riga della formula c’è la radice quadrata.
Dalla teoria sull’errore statistico sappiamo che quando il numero di misurazione è grande, generalmente sopra il 4/5, è preferibile utilizzare come incertezza lo scarto quadratico medio. Infatti l’errore assoluto considera esclusivamente la misurazione massima e quella minima, che sappiamo essere le meno attendibili perchè statisticamente meno probabili, mentre al contrario lo scarto quadratico medio considera tutte le misure. Una volta sottolineato questo risulta evidente che il metodo corretto per esprimere la misura è

$p=\bar{b}\pm\sigma=1,40\:s\pm0,05\:s$

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Esercizi di fisica, Misura e errori di misura

Esercizio 29 sulla misura – Esercizi svolti – FISICA

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Una montagna è alta $2150\: m$ . La sua altezza è nota con un’incertezza di $5\: m$ .
Scrivi l’altezza della montagna con la sua incertezza.
Calcola l’incertezza percentuale.
Un alpinista raggiunge la cima e vi pone una pila di sassi alta $0,5\: m$ . Come si modifica la scrittura dell’altezza della montagna?

SVOLGIMENTO

Sappiamo che una misurazione deve essere scritta secondo la scrittura

$h=\bar{h}\pm e$

dove $\bar{h}$ indica il valore attendibile della misura mentre $e$ rappresenta l’incertezza. Pertanto in questo esercizio la scrittura corretta sarà

$h=2150\: m\pm 5\: m$

L’incertezza percentuale invece si calcola a partire dall’incertezza assoluta utilizzando la seguente formula

$e_\%={e\over \bar{h}}\cdot 100={5\: m\over 2150\: m}\cdot 100\approx 0,2\:\%$

Infine ricordiamo che quando scriviamo la misura nella maniera corretta il numero di cifre significative dell’incertezza deve essere uno e che il valore atteso deve avere come ultima cifra significativa la stessa cifra dell’incertezza, quindi quando l’alpinista posiziona una pila di sassi di $0,5\:m$ non fa cambiare la misura della montagna.

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Esercizi di fisica, Misura e errori di misura

Esercizio 28 sulla misura – Esercizi svolti – FISICA

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In un laboratorio vengono fatte quattro misure del tempo di caduta di un oggetto dalla stessa altezza. I tempi sono misurati con un cronometro che ha una sensibilità di un centesimo di secondo. La tabella riporta i tempi misurati

$0,61\:s\:,\:0,64\:s\:,\:0,71\:s\:,\:0,68\:s$

Determina il valore attendibile del tempo di caduta dell’oggetto.
Calcola lo scarto quadratico medio dei dati, è un parametro attendibile per stimare l’incertezza della misura?

SVOLGIMENTO

Sappiamo che su una serie di misura il valore attendibile altro non è che la media aritmetica dei valori, pertanto

$\bar{t}={0,61\:s+0,64\:s+0,71\:s+0,68\:s\over 4}=0,66\: s$

Per quanto invece riguarda lo scarto quadratico medio ci ricordiamo che la formula generale è

$\sigma=\sqrt{{(t_1-\bar{t})^2+\dots+(t_n-\bar{t})^2\over n}}$

Pertanto

$\sigma=\sqrt{{(0,61\:s-0,66\:s)^2+(0,64\:s-0,66\:s)^2+(0,71\:s-0,66\:s)^2+(0,68\:s-0,66\:s)^2\over 4}}$

$\sigma\approx 0,04\: s$

Dalla teoria sull’errore statistico sappiamo che quando il numero di misurazione è grande, generalmente sopra il 4/5, è preferibile utilizzare come incertezza lo scarto quadratico medio. Infatti l’errore assoluto considera esclusivamente la misurazione massima e quella minima, che sappiamo essere le meno attendibili perchè statisticamente meno probabili, mentre al contrario lo scarto quadratico medio considera tutte le misure.

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Esercizi di fisica, Misura e errori di misura

Esercizio 27 sulla misura – Esercizi svolti – FISICA

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Una tua amica misura la lunghezza dell’aula e comunica il risultato dicendo: “la lunghezza dell’aula è compresa fra $890$ e $900\; cm$ “.
Qual è l’incertezza associata alla misura?
Quanto vale l’incertezza percentuale?

SVOLGIMENTO

L’incertezza associata alla misura sappiamo essere l’errore. Pertanto in questa misurazione avremo un errore di $5\: cm$ , infatti la misura scritta in maniera corretta è:

$l=895\: cm\pm 5\: cm$

Per quanto invece riguarda l’incertezza percentuale bisogna calcolarla utilizzando la formula (che viene da una proporzione)

$e_\%={e_a\over \bar{l}}\cdot 100={5\:cm\over 895\: cm}\cdot 100\approx 0,6\: \%$

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Esercizi di fisica, Velocità e moto rettilineo uniforme

Esercizio 55 sulla velocità e sul moto rettilineo uniforme – Esercizi svolti – FISICA

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In una pista di forma circolare di raggio $63,7\: m$ , un corridore percorre un giro in $48\: s$ . Calcola:
la velocità media;
la velocità media sul percorso rettificato.

SVOLGIMENTO

Per rispondere alla prima domanda bisogna ragionare sul concetto di velocità media nel suo complesso, infatti

$\vec{v}_m={\Delta \vec{x}\over \Delta t}$

ossia il vettore velocità media si ottiene calcolando la variazione del vettore spostamento fratto il tempo necessario per compiere tale spostamento. Osserviamo inoltre che generalmente non consideriamo mai il vettore velocità semplicemente perchè i moti studiati sono moti rettilinei, quindi il vettore $\Delta \vec{x}$ coincide con il numero scalare $\Delta x$ , mentre in questo caso va considerato. Una volta ricordato questo osserviamo che nella prima domanda il vettore $\Delta \vec{x}$ è il vettore nullo, questo perchè punto di partenza e di arrivo sono coincidenti, pertanto

$\vec{v}_m=\vec{0}\: m/s$

Per rispondere alla seconda domanda, siccome il moto è rettilineo, possiamo considerare esclusivamente i moduli del vettore spostamento, pertanto

$v_m={\Delta x\over \Delta t}={2\cdot r\cdot \pi\over \Delta t}$

$v_m={2\cdot 63,7\: m\cdot \pi\over 48\: s}\approx 8,34\: m/s$

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Esercizi di fisica, Velocità e moto rettilineo uniforme

Esercizio 54 sulla velocità e sul moto rettilineo uniforme – Esercizi svolti – FISICA

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Il fronte di migrazione di un gruppo di uccelli migratori procede a una velocità media pari a circa $40\: km$ al $giorno$ .
Quanto vale la velocità media del fronte di migrazione in $km/h$ e in $m/s$ ?
Quanto tempo impiega il gruppo di uccelli a percorrere $1000\: km$ ?

SVOLGIMENTO

La prima domanda è una questione di equivalenze tra unità di misura diverse di una stessa grandezza fisica, infatti dovremo convertire i $km/giorno$ in $km/h$ e poi in $m/s$ . Allora

$40\:{km\over giorno}=40\:{km\over 24\:h}={40\over 24}\:{km/h}={5\over 3}\: km/h$

Sappiamo inoltre che con un ragionamento simile a quello appena fatto si scopre che per passare da $km/h$ e $m/s$ basta dividere per $3,6$ , quindi

$40\:{km\over giorno}={5\over 3}\:km/h\approx 0,46\: m/s$

Per rispondere alla seconda domanda basta ricordare la definizione di velocità, ossia

$v={\Delta x\over \Delta t}$

quindi spazio percorso fratto il tempo necessario a percorrerlo, pertanto

$\Delta t={\Delta x\over v}={1000\: km\over 40\: km/giorno}=25\: giorni$

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Esercizi di fisica, Velocità e moto rettilineo uniforme

Esercizio 53 sulla velocità e sul moto rettilineo uniforme – Esercizi svolti – FISICA

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Giulia percorre $1,7\: metri$ ogni $secondo$ , Silvia percorre $5,0\: km$ in un’ $ora$ . Chi è più veloce?

SVOLGIMENTO

Questo esercizio è analogo a un esercizio di conversione di unità di misura. Infatti per sapere chi dei due è più veloce basta convertire le unità di misura presenti nell’esercizio (Giulia $m/s$ mentre Silvia $km/h$ ) alla stessa unità di misura. Per risolverlo convertiamo i $m/s$ di Giulia in $km/h$ . Ricordiamo che per fare questa conversione è sufficiente moltiplicare per $3,6$ infatti

$1,7\:{m\over s}=1,7\:{0,001km\over 1/3600 h}=1,7\cdot 0,001\cdot 3600\:km/h=6,12\: km/h$

Ne segue pertanto che Giulia si muove più velocemente di Silvia.

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