Una palla da baseball viene lanciata in 
da un giocatore a un compagno di squadra che dista 
. Assumi di poter trascurare l’attrito dell’aria. Determina la velocità inziale della palla nella direzione verticale.
 | TORNA ALLA PAGINA CON GLI ESERCIZI SVOLTI SUL MOTO IN DUE DIMENSIONI |  |
Una pallina è lanciata con una velocità iniziale di 
e con un angolo di inclinazione di 
sotto l’orizzontale. La pallina è lanciata da una finestra posta a 
da terra. Quanto vale lo spostamento orizzontale della pallina prima di colpire il suolo?
| TORNA ALLA PAGINA CON GLI ESERCIZI SVOLTI SUL MOTO IN DUE DIMENSIONI | |
Durante una esercitazione con un cannone di prua montato su una spiaggia, gli allievi meccanici armaioli effettuano due lanci di proietti, con uguale velocità iniziale. Gli allievi regolano l’inclinazione della canna del cannone in modo da formare con l’orizzontale un angolo di 
e di 
. Le altezza massime raggiunte dai due proietti nei due lanci sono rispettivamente 
e 
. Trascura la resistenza dell’aria. Determina il modulo della velocità iniziale nei due lanci. Determina le gittate raggiunte nei due lanci.
| TORNA ALLA PAGINA CON GLI ESERCIZI SVOLTI SUL MOTO IN DUE DIMENSIONI | |
In un laboratorio una biglia è lanciata due volte con lo stesso modulo della velocità e con due angoli complementari. Un sistema di fotocellule misura che le due altezze massime delle traiettorie della biglia sono 
e 
. Calcola le componenti orizzontali e verticali delle velocità iniziali della biglia. Determina le gittate dei due lanci.
| TORNA ALLA PAGINA CON GLI ESERCIZI SVOLTI SUL MOTO IN DUE DIMENSIONI | |
Una palla da cricket che si trova su un molo è colpita da una mazza. La velocità iniziale impressa alla palla ha modulo 
e forma un angolo di 
con l’orizzontale. La palla sale in alto e poi ridiscende fino ad atterrare sulla prua di un’imbarcazione che ha un’altezza di 
rispetto al molo. Determina il tempo di volo e la distanza orizzontale percorsa.
| TORNA ALLA PAGINA CON GLI ESERCIZI SVOLTI SUL MOTO IN DUE DIMENSIONI | |
Un pallavolista in battuta colpisce la palla all’altezza di 
con una velocità iniziale 
. Calcola il tempo di volo della palla e la lunghezza del lancio.
| TORNA ALLA PAGINA CON GLI ESERCIZI SVOLTI SUL MOTO IN DUE DIMENSIONI | |
Un pallone viene lanciato con una velocità di 
e con un’inclinazione di 
rispetto al suolo. Determina la massima altezza che il pallone può raggiungere. Determina quando il pallone si trova a metà dell’altezza massima.
| TORNA ALLA PAGINA CON GLI ESERCIZI SVOLTI SUL MOTO IN DUE DIMENSIONI | |
Un ragazzo lancia un sacchetto di sabbia in cima a un muro alto 
e posto 
davanti a lui. Il sacchetto si stacca dalle mani del ragazzo a un’altezza di 
da terra, come è mostrato in figura. La velocità di lancio è 
, l’angolo con l’orizzontale è 
, l’attrito con l’aria è trascurabile.
Quanto dura il volo del sacchetto di sabbia?
| TORNA ALLA PAGINA CON GLI ESERCIZI SVOLTI SUL MOTO IN DUE DIMENSIONI | |
Una palla è lanciata in direzione obliqua verso l’alto con una velocità iniziale di 
e una inclinazione di rispetto all’orizzontale. Trascurando l’attrito con l’aria, qual è il minimo modulo assunto dalla sua velocità tra l’instante del lancio e il momento in cui essa arriva a terra? Motiva la risposta.
| TORNA ALLA PAGINA CON GLI ESERCIZI SVOLTI SUL MOTO IN DUE DIMENSIONI | |
Un’automobilina giocattolo cade dal bordo di un tavolo alto 
e atterra a una distanza di 
dalla base del tavolo. Quanto è durata la caduta? Qual era il valore della sua velocità iniziale?
| TORNA ALLA PAGINA CON GLI ESERCIZI SVOLTI SUL MOTO IN DUE DIMENSIONI | |
è sicuramente il tempo di volo mentre la distanza 
la palla da baseball si trova nel punto di massima altezza, quindi la sua velocità lungo la direzione verticale è nulla; pertanto utilizzando le ![\[\Delta v=at\Rightarrow v_{0y}=gt\]](https://www.brevilezioni.it/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-838abde2c0c8689d1d5996d99f7ee050_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[v_{0y}=gt=9,81\:m/s^2\cdot 0,325\:s=3,2\:m/s\]](https://www.brevilezioni.it/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-9af3a25f5c664aea74142180aa0f011f_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
l’oggetto si muove di moto rettilineo uniforme mentre lungo l’asse 
si muove di moto uniformemente accelerato con accelerazione 
. Pertanto possiamo determinare il tempo di volo della pallina utilizzando il moto uniformemente accelerato lungo la direzione ![\[y_f=v_yt_v+{1\over 2}gt_v^2\]](https://www.brevilezioni.it/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-a8d8d300fcbce65a3f22e9e0108ba3ac_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[10\:m=\sin(20^\circ)\cdot 12\:m/s\cdot t_v+4,905\:m/s^2\cdot t_v^2\]](https://www.brevilezioni.it/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-fb5efeb1655e0e9e225e719a2f31d488_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[10\:m=4,1\:m/s\cdot t_v+4,905\:m/s^2\cdot t_v^2\]](https://www.brevilezioni.it/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-bf7d6535c94e4aa569c132cc41d38d85_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
e 
delle quali la seconda è la soluzione cercata che ci permette di calcolare lo spostamento orizzontale facendo![\[x=v_xt_v=\cos(20^\circ)\cdot 12\:m/s\cdot 1,1\:s\approx 12,4\:m\]](https://www.brevilezioni.it/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-c2c25bb681219d5840d9280627950924_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[v_{0y}=\sqrt{2y_{max}g}\]](https://www.brevilezioni.it/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-2e605be57f1653eba7c2775468ce9e83_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[v_{0y1}=\sqrt{2y_{1}g}=\sqrt{2\cdot 2400\;m\cdot 9,81\;m/s^2}\approx 217\;m/s\]](https://www.brevilezioni.it/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-8b6894b13a318565ecb26455caae997b_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[v={v_{0y1}\over \sin{\alpha}}={217\;m/s\over \sin{25^\circ}}\approx 513\:m/s\]](https://www.brevilezioni.it/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-b54747aa144a7a6e0612beed3bc510d2_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[L_1={2v^2\cos\alpha\sin\alpha\over g}={2\cdot (513\:m/s)^2\cdot\cos{25^\circ}\cdot\sin{25^\circ}\over 9,81\;m/s^2}\approx 20550\:m\]](https://www.brevilezioni.it/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-222b7378b593e8ac1af54ec1d0c96592_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
, comunque il calcolo esplicito è![\[L_2={2\cdot (513\:m/s)^2\cdot\cos{65^\circ}\cdot\sin{65^\circ}\over 9,81\;m/s^2}\approx 20550\:m\]](https://www.brevilezioni.it/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-632385cceed2156aec33bea382c28d2a_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[v_{0y1}=\sqrt{2y_{1}g}=\sqrt{2\cdot 0,1\;m\cdot 9,81\;m/s^2}\approx 1,4\;m/s\]](https://www.brevilezioni.it/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-0ea0eccb9270108fdbebde7db9201ccc_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[v_{0y2}=\sqrt{2y_{2}g}=\sqrt{2\cdot 0,42\;m\cdot 9,81\;m/s^2}\approx 2,87\;m/s\]](https://www.brevilezioni.it/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-c785622c949503794ac26c0b67d28675_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
che viene utilizzato nel primo lancio sapendo che![\[v_{0y1}=\sin{\alpha}v\]](https://www.brevilezioni.it/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-4de7f891890e70c9e4c8cade7d7b8a21_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[v_{0y2}=\sin{(90^\circ -\alpha)}v=\cos(\alpha)v\]](https://www.brevilezioni.it/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-932cac6735cbd5d8b32f83d3fa181411_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
e viceversa, quindi![\[{v_{0y1}\over\sin{\alpha}}={v_{0y2}\over\cos\alpha}\]](https://www.brevilezioni.it/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-ee1688f6e48b2400ae29ee05e0e42cd3_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[{v_{0y1}\overv_{0y2}}={\sin{\alpha}\over\cos\alpha}=\tan{\alpha}\]](https://www.brevilezioni.it/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-50d3cfe31b2b1129d69623e46ca73606_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[\alpha=\tan^{-1}({v_{0y1}\over v_{0y2}})=\tan^{-1}({1,4\;m/s\over 2,87\;m/s})\approx 26^\circ\]](https://www.brevilezioni.it/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-a5db96bdd57e7c3610925b7a3e916576_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[v={v_{0y1}\over \sin{\alpha}}={1,4\;m/s\over \sin{26^\circ}}\approx 3,2\:m/s\]](https://www.brevilezioni.it/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-bdd2b44bd7756e99dde76ca7a080b541_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[L_1={2v^2\cos\alpha\sin\alpha\over g}={2\cdot (3,2\:m/s)^2\cdot\cos{26^\circ}\cdot\sin{26^\circ}\over 9,81\;m/s^2}\approx 0,82\:m\]](https://www.brevilezioni.it/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-644de2481ee645d747c6e95af9aea09e_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[L_2={2v^2\cos(90^\circ-\alpha)\sin(90^\circ-\alpha)\over g}={2v^2\sin\alpha\cos\alpha\over g}=L_1\]](https://www.brevilezioni.it/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-a766d4015266eeb66858d874e6a1947b_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
da un’altezza di 
, soggetto ad una accelerazione ![\[y_f=y_0+v_{0y}t_v-{1\over 2}gt_v^2\]](https://www.brevilezioni.it/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-7111061f7ce48b5b30b0fe37f31280a3_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[y_f=\sin(30^\circ)vt_v-{1\over 2}gt_v^2\]](https://www.brevilezioni.it/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-2d643d96d90817042ad28ce7b1ec2d3d_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[2,30\:m=9,7\:m/s\cdot t_v-4,905\:m/s^2\cdot t_v^2\]](https://www.brevilezioni.it/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-9de65242364324411d5e4a588bafaae9_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
è durante la fase di salita della pallina, mentre il secondo 
è durante la fase di discesa e quindi è il nostro tempo cercato. Per determinare la distanza orizzontale percorsa ci concentriamo sul moto rettilineo uniforme che avviene lungo l’asse ![\[x=v_xt_v=\cos(30^\circ)vt_v=16,8\:m/s\cdot 1,71\:s\approx 28,8\:m\]](https://www.brevilezioni.it/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-93c9305f70ff44a1e2b097eb2ac68fbe_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[y_f=y_i+v_{0y}t_v-{1\over 2}gt_v^2\]](https://www.brevilezioni.it/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-6845a40b1c6856dd4ddd6d0741446938_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[0\:m=1,8\:m+8,8\:m/s\cdot t_v-{1\over 2}\cdot 9,81\:m/s^2\cdot t_v^2\]](https://www.brevilezioni.it/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-9cf1c499fde28f06ea24ee8c072de9dd_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
e 
delle quali la soluzione cercata è la seconda. Osserviamo esplicitamente che la prima soluzione rappresenta il tempo in cui la palla sarebbe stata al livello del suolo “indietro nel tempo” ossia se il moto non fosse partito dalle mani del pallavolista, ma da prima. Una volta determinato il tempo di volo, usando il moto rettilineo uniforme che avviene lungo la direzione ![\[x=v_x\cdot t_v=1,98\:s\cdot 7,0\:m/s\approx 14\:m\]](https://www.brevilezioni.it/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-cb85e8a9e03ed635897fb0d38812b6dc_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
, pertanto con le ![\[y={v_f^2-v_i^2\over 2a}={(0\:m/s)^2-(\sin(60^\circ)v)^2\over -2g}={-(\sin(60^\circ)\cdot 8,7\:m/s)^2\over -2\cdot 9,81\:m/s^2}\approx 2,89\:m\]](https://www.brevilezioni.it/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-8825b880a3af9852f9c4188cee88667d_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[y=v_yt-{1\over 2}gt^2\]](https://www.brevilezioni.it/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-efc9e07d6cff2e9e0ac2b641382bb708_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[y=\sin(60^\circ)vt-{1\over 2}gt^2\]](https://www.brevilezioni.it/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-971b9a6f8a5727d5529a5534e076e016_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[1,45\:m=7,5\:m/s\cdot t-4,905\:m/s^2\cdot t^2\]](https://www.brevilezioni.it/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-58f3a2f60bd2885f8d779397984ca0c8_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
e 
.
per cui ![\[t={x\over \cos(80^\circ)v}={1,3\:m\over \cos(80^\circ)\cdot 7,5\:m/s}\approx 1\:s\]](https://www.brevilezioni.it/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-0c6595b3ee42d09c15e5fbcd3f272e62_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
, infatti parte da 
, per cui utilizzando le ![\[y=\sin(80^\circ)vt-{1\over 2}gt^2\]](https://www.brevilezioni.it/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-1bb896853debc168a9b302bad29d7ba6_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[2,5\:m=7,39\:m/s\cdot t-{1\over 2}\cdot 9,81\:m/s^2\cdot t^2\]](https://www.brevilezioni.it/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-a196e37ba1af6c1b306d34bd2fba220b_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
. Osserviamo che queste due soluzioni rappresentano i due istanti in cui il sacco di sabbia passa all’altezza di ![\[v=\sqrt{v_x^2+v_y^2}\]](https://www.brevilezioni.it/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-fa38f2a4c9dc40fc44ab7ae3016668c2_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
e in quel caso sarà esattamente uguale a 
, da cui![\[v_{min}=v_x=\cos(60^\circ)\cdot v_{ini}=\cos(60^\circ)\cdot 6,0\:m/s=3,0\:m/s\]](https://www.brevilezioni.it/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-868e9c43e99a2964923976d9b28247bc_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[y={1\over 2}gt_v^2\Rightarrow t_v=\sqrt{2y\over g}\]](https://www.brevilezioni.it/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-a2e64dca2fd0a8df607d44f3d09954ec_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[t_v=\sqrt{2y\over g}=\sqrt{2\cdot 1,2\:m\over 9,81\:m/s^2}\approx 0,5\:s\]](https://www.brevilezioni.it/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-ce1779a82e5d6d985f6b37dbf08ec356_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[v_x={x\over t_v}={0,80\:m\over 0,5\:s}=1,6\:m/s\]](https://www.brevilezioni.it/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-e071922b916428372dfb5cd8fae81ce6_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")