Nella figura è riprodotta la traiettoria di un punto materiale, che passa per i punti A, B, C e D, rispettivamente, negli istanti 
, 
, 
e 
.
Traccia i vettori spostamento da A a B, da A a C e da A a D. Determina il modulo della velocità media del punto materiale durante ciascuno di questi spostamenti.
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La velocità istantanea di un paracadutista che sta planando, scomposta lungo due direzione perpendicolari 
e 
, ha moduli dei vettori componenti pari a 
e 
. Agendo sulle leve del paracadute dopo 
, il paracadutista riesce a dimezzare il modulo del vettore componente verticale e ad aumentare quello del vettore componente orizzontale fino al valore 
. Calcola i moduli dei vettori componenti dell’accelerazione media in questo intervallo di tempo. Quanto vale il modulo del vettore velocità istantanea dopo la manovra?
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Un aereo militare sta viaggiando verso Nord alla velocità di 
. In una manovra di emergenza inverte rapidamente la rotta e dopo 
è diretto verso Sud con una velocità finale di modulo 
. Determina direzione e verso del vettore variazione di velocità. Qual è il modulo dell’accelerazione media dell’aereo in questo intervallo di tempo?
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Un’auto viaggia da Siena verso Arezzo, come mostrato in figura; il valore della velocità è 
.
Quanto tempo impiega per raggiungere Arezzo?
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Mattia si trova nel punto di coordinate 
e si muove verso il punto 
come indicato nella figura. L’angolo fra i due segmenti disegnati nella figura vale 
. Calcola la lunghezza del vettore spostamento. Calcola la distanza totale percorsa.
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Un aereo vola in direzione Nord-Ovest per 
, poi, a causa della rotazione terrestre, deve correggere la sua rotta per giungere a destinazione, e percorrere altri 
in direzione Nord. Disegna i due vettori spostamento. Calcola il valore dello spostamento totale.
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Alessia cammina per 
in direzione Nord, poi svolta a destra di e cammina altri 
, dopo di che svolta di altri verso destra e cammina per altri 
. Disegna gli spostamenti di Alessia in un piano cartesiano. Calcola il valore dello spostamento totale.
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Durante la caccia, un leone cammina lentamente dal punto A al punto B, verso un animale che vuole predare, e poi scatta veloce per il punto C.
Disegna i vettori spostamento da A a B e da B a C. Calcola i valori dei due vettori spostamento disegnati.
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Una pallina di gomma viene lanciata due volte, con lo stesso modulo della velocità e a due angoli complementari. In entrambi i casi la gittata del lancio vale 
. La differenza tra le due quote massime raggiunte dalla pallina nei due lanci vale 
. Determina il modulo della velocità iniziale e il valore dei due angoli di lancio.
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Un cestista si trova a una distanza orizzontale di 
dal canestro, che è posto a 
di altezza. Lancia la palla da un’altezza di 
in modo che la componente verticale della velocità iniziale sia uguale ai tre quarti della componente orizzontale. Calcola il modulo della velocità iniziale della palla e la durata del lancio verso il canestro.
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![\[v={d\over t}\]](https://www.brevilezioni.it/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-d3a78ad20b716d8a9e1963be94f172aa_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[d_{AB}=\sqrt{(1\:m)^2+(1,5\:m)^2}\approx 1,8\:m\]](https://www.brevilezioni.it/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-bb95bf50f162249e659f8b2accde6345_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[d_{AC}=\sqrt{(4\:m)^2+(3,5\:m)^2}\approx 5,3\:m\]](https://www.brevilezioni.it/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-675de0b69fda471886cee61ef7b4516f_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[d_{AD}=\sqrt{(8\:m)^2+(2,5\:m)^2}\approx 8,4\:m\]](https://www.brevilezioni.it/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-5bb7a2771e08a8e87874ed1d894cb02d_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[v_{AB}={d_{AB}\over t_{AB}}={1,8\:m\over 1\:s}=1,8\:m/s\]](https://www.brevilezioni.it/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-70a62f9afa438ea6406351caeac40493_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[v_{AC}={d_{AC}\over t_{AC}}={5,3\:m\over 2,5\:s}=2,1\:m/s\]](https://www.brevilezioni.it/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-7d64f27dcc9af3aafb524e4eef5f42b2_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[v_{AD}={d_{AD}\over t_{AD}}={8,4\:m\over 6,0\:s}=1,4\:m/s\]](https://www.brevilezioni.it/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-3e61e4215d32ff5cad3739800f0dbcf6_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[(a_x\:;\:a_y)=\vec{a}={\Delta \vec{v}\over t}=({\Delta v_x\over t}\:;\:{\Delta v_y\over t})\]](https://www.brevilezioni.it/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-32461dcd5e7bf46a9b47440b9f76bf82_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[(a_x\:;\:a_y)=({18,0\:m/s-11,1\:m/s\over 5\:s}\:;\:{11,9\:m/s-23,8\:m/s\over 5\:s})\approx (1,38\:m/s^2\:;\:-2,38\:m/s^2)\]](https://www.brevilezioni.it/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-9432849edac76ffc86361ab41b2ed19d_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[v=\sqrt{(65\:km/h)^2+(43\:km/h)^2}\approx 78\:km/h\]](https://www.brevilezioni.it/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-7bda8386091ff0d3374509afbdeda312_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[\Delta \vec{v}=\vec{v}_f-\vec{v}_i\]](https://www.brevilezioni.it/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-c4f0dba70fabacf143e7101bfeffee05_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[\Delta v=v_f+v_i=130\:m/s+100\:m/s=230\:m/s\]](https://www.brevilezioni.it/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-a894245db58534caa0e38782060ec42c_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[\vec{a}={\Delta \vec{v}\over t}\Rightarrow a={\Delta v\over t}\]](https://www.brevilezioni.it/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-8115bbe7a6abc7abc78f0491e7d37b42_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[a={\Delta v\over t}={230\:m/s\over 25\:s}=9,2\:m/s^2\]](https://www.brevilezioni.it/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-5e18defaac6c883508bf44dd8d3b9269_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[d=\sqrt{(58\:km)^2+(18\:km)^2}\approx 60,72\:km\]](https://www.brevilezioni.it/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-6feae34cbd9d2eaa40f75f328d5ef852_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[t={d\over v}={60,72\:km\over 44\:km/h}\approx 1,38\:h\approx 1\:h\:23\:min\]](https://www.brevilezioni.it/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-4a0aff691b19fb93aae1248580aa0076_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[s=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}=\sqrt{(1\:m-(-5\:m))^2+(2\:m-4\:m)^2}\approx 6,3\:m\]](https://www.brevilezioni.it/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-7d4bdab17670648c6dcc2bcb9eb16d4f_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
, ovviamente questo metodo non possiamo considerarlo attendibile pertanto proponiamo anche un metodo geometrico. Osserviamo che trovare tale coordinata è uguale a determinare la 
![\[s_1^2+s_2^2=6^2+2^2=40\]](https://www.brevilezioni.it/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-9056355f3cdb36dcc8df802fa0fca549_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[s_1^2=4^2+(6-x)^2=x^2-12x+52\]](https://www.brevilezioni.it/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-d1bcd73e7cc15111270fc6ecdef9429f_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[s_2^2=x^2+2^2=x^2+4\]](https://www.brevilezioni.it/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-89f5737bf3581ad028b7bbce74d42741_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[x^2-6x+8=0\]](https://www.brevilezioni.it/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-895e77588f2cdff1f2e6e3429eb6b6f7_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
e 
che rappresentano i due triangoli rettangoli di cateti rispettivamente 
e 
e 
con il teorema di Pitagora e poi sommarli, da cui![\[s_{tot}=s_1+s_2=\sqrt{(4\:m)^2+(4\:m)^2}+\sqrt{(2\:m)^2+(2\:m)^2}\approx 8,5\:m\]](https://www.brevilezioni.it/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-71d3ae9a1d2de43aac629e6e70ff4321_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[\vec{s}=\vec{s}_{rosso}+\vec{s}_{verde}=495\:km\cdot (\cos135^\circ\:;\:\sin135^\circ)+(0\:km\:;\:500\:km)\]](https://www.brevilezioni.it/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-456b6ed86d89b9e38bf0954e0b6a10b5_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[\vec{s}=(-350\:km\:;\:850\:km)\]](https://www.brevilezioni.it/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-98e9cb46c1a6dafbefd33becf3d080f9_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[s=\sqrt{(-350\:km)^2+(850\:km)^2}\approx 919\:km\]](https://www.brevilezioni.it/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-bef9b98d5aacce9a15121688d7f2ce60_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[s=\sqrt{(5\:m)^2+(1\:m)^2}\approx 5,1\:m\]](https://www.brevilezioni.it/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-716c046cb01e85628ddf4a99633bf867_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[s_{AB}=\sqrt{(2\:m)^2+(1\:m)^2}\approx 2,2\:m\]](https://www.brevilezioni.it/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-9e97334d2b5e4173a392d21532f41bc6_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[s_{BC}=\sqrt{(7\:m)^2+(1\:m)^2}\approx 7,1\:m\]](https://www.brevilezioni.it/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-9cb986d9bedd0625cac7d128d7934f0f_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
. Una volta ricordato questo possiamo esplicitare la velocità iniziale di un proiettile che parte formando un angolo 
tramite la seguente formula ![\[\vec{v}=(v_x\:;\:v_{0y})=v\cdot (\cos\alpha\:;\:\sin\alpha)\]](https://www.brevilezioni.it/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-3e71db04fcebbbce1c9bec5e28b4e6c0_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[y_{max}={v_{0y}^2\over 2g}\]](https://www.brevilezioni.it/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-26c0d6756b7227877a062743101b26d9_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[L={2v_xv_{0y}\over g}\]](https://www.brevilezioni.it/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-8347bce8a709e6311d764a0feac4ce30_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[y_{1max}-y_{2max}=0,693\:m\]](https://www.brevilezioni.it/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-f14cf32b1d5789931fc4a869bd6d3cb5_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[L_1=L_2=5,73\:m\]](https://www.brevilezioni.it/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-d55bea68be52f81f29ceabbed7425475_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[{(v\sin(90^\circ -\alpha))^2\over 2g}-{(v\sin\alpha)^2\over 2g}=0,693\:m\]](https://www.brevilezioni.it/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-3b3b4b0e9214e3d769ed2b0457890087_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[v^2(\cos^2\alpha-\sin^2\alpha)=2g\cdot 0,693\:m\]](https://www.brevilezioni.it/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-d7dc1dd74b0d9d0ea8d32f34ac2e0a84_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[L_1=5,73\:m\]](https://www.brevilezioni.it/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-a2ea5df6d20a9138505f78105291886e_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[{2v_xv_{0y}\over g}=5,73\:m\]](https://www.brevilezioni.it/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-de3a04670406c32497546e5e4ce5784e_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[{2\cdot v^2\cos\alpha\sin\alpha\over g}=5,73\:m\]](https://www.brevilezioni.it/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-63d870b7d10b1864065482f092047412_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[2v^2\cos\alpha\sin\alpha=g\cdot 5,73\:m\]](https://www.brevilezioni.it/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-3a3c438a958b9d59719b2d8042defd33_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[2\sin\alpha\cos\alpha=\sin(2\alpha)\]](https://www.brevilezioni.it/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-4029dd1cdef6989fd8fbaa50e236e8ce_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[cos^2\alpha-\sin^2\alpha=\cos(2\alpha)\]](https://www.brevilezioni.it/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-119135be5606883b44dd0436fb6948f5_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[{\sin(2\alpha)\over \cos(2\alpha)}={g\cdot 5,73\:m\over 2g\cdot 0,693\:m}\]](https://www.brevilezioni.it/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-9c85419113d9abc08f4958f2d0977490_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[\tan(2\alpha)={5,73\:m\over 2\cdot 0,693\:m}\]](https://www.brevilezioni.it/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-9168f7c4502a632a660066bee943cf41_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[\alpha\approx 38,2^\circ\]](https://www.brevilezioni.it/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-79843b8c153adbae8989870f5fc6464c_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[90^\circ-\alpha\approx 51,8^\circ\]](https://www.brevilezioni.it/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-9d9ce6e4fd8b1c7a6676c861bac7579a_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[v=\sqrt{2g\cdot 0,693\:m\over \cos(2\alpha)}=\sqrt{2\cdot 9,81\:m/s^2\cdot 0,693\:m\over \cos(2\cdot 38,2^\circ)}\approx 7,60\:m/s\]](https://www.brevilezioni.it/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-12144928bfec58036d385a173c42cdf8_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[\alpha=\tan^{-1}{v_{0y}\over v_x}=\tan^{-1}{3\over 4}\approx 37^\circ\]](https://www.brevilezioni.it/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-4f23ac469723b10087760a8f1c0d28b1_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
è tale che nel tempo di volo il pallone percorre di moto rettilineo uniforme 
permette al pallone di percorrere 
di moto uniformemente accelerato con accelerazione ![\[t_v={x\over v_x}={x\over \cos\alpha\cdot v}\]](https://www.brevilezioni.it/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-4cd95dabdceda9128026fc6ac660a29b_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[y=v_{0y}t_v-{1\over 2}gt_v^2=\sin\alpha\cdot v\cdot {x\over \cos\alpha\cdot v}-{1\over 2}\cdot g\cdot ({x\over \cos\alpha\cdot v})^2\]](https://www.brevilezioni.it/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-2f686ed2f3757b9a3f4f6460f616db23_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[y=x\tan\alpha-{1\over 2}\cdot g\cdot {x^2\over \cos^2\alpha\cdot v^2}\]](https://www.brevilezioni.it/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-03aad83bd7567b6374fb823ae9ba64d5_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[v=\sqrt{x^2\cdot g\over 2\cdot \cos^2\alpha\cdot(x\cdot tan\alpha-y)}\]](https://www.brevilezioni.it/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-f00545f15ed24903eb3d00e9b52c2065_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[v=\sqrt{(10,5\:m)^2\cdot 9,81\:m/s^2\over 2\cdot \cos^2(37^\circ)\cdot(10,5\:m\cdot tan(37^\circ)-1,15\:m)}\approx 11,2\:m/s\]](https://www.brevilezioni.it/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-cf1046a56aae1b7229fb2d93b4bf2b68_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[t_v={x\over \cos\alpha\cdot v}={10,5\:m\over \cos(37^\circ )\cdot 11,2\:m/s}\approx 1,17\:s\]](https://www.brevilezioni.it/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-27191c5d9f5ac41af4805c3c7163b433_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")