Possiamo modellizzare la situazione attraverso un piano cartesiano nel seguente modo

Pertanto possiamo osservare che conoscendo lo spazio effettivo percorso, cioè la lunghezza del segmento giallo, le distanze orizzontali e verticali le possiamo determinare con le proprietà dei triangoli rettangoli. Quindi determiniamo lo spazio percorso dall’automobile

   

da cui

   

   

L’esercizio si basa sul fatto che, siccome l’insegnante non si muove né in direzione est né in direzione nord, per percorrere quella distanza in realtà dovrà percorrere più spazio. Quindi dobbiamo cercare di determinare quanto spazio deve percorrere. Proviamo a modellizzare la situazione su di un piano cartesiano

Questo schema spiega il punto a), la distanza percorsa dal professore è la lunghezza del segmento verde che è l’ipotenusa di un triangolo rettangolo e la possiamo determinare sapendo che

   

da cui possiamo ricavare il tempo necessario per percorrere tale spazio facendo

   

Per rispondere alla domanda b) osserviamo che il modello del disegno sarebbe lo stesso di a), l’unica differenza sarebbe che lo troveremmo sull’asse , cioè verso nord, e pertanto

   

da cui possiamo ricavare il tempo necessario per percorrere tale spazio facendo

   

Ci troviamo di fronte a un moto circolare uniforme, pertanto l’accelerazione che entra in gioco è l’accelerazione centripeta che non modifica il modulo della velocità, ma ne modifica direzione e verso. Sappiamo che il modulo dell’accelerazione centripeta si calcola con la formula

   

Se immaginiamo di posizionare un piano cartesiano con centro in e asse passante per allora le coordinate del punto e del punto sarebbero

   

   

Per cui il vettore spostamento possiamo ottenerlo come

   

il cui modulo lo possiamo determinare con il teorema di Pitagora nel seguente modo

   

Per calcolare il vettore velocità ci ricordiamo che per definizione

   

il cui modulo lo possiamo determinare con il teorema di Pitagora nel seguente modo

   

Il vettore spostamento è per definizione , pertanto

   

il cui modulo è possibile da calcolare con il teorema di Pitagora

   

Per quanto riguarda il vettore velocità sappiamo essere definito come

   

il cui modulo è possibile da calcolare con il teorema di Pitagora

   

Per definizione la velocità è il rapporto tra lo spazio percorso e il tempo necessario a percorrerlo. In questo esercizio conosciamo il tempo, ma dobbiamo ricavare lo spazio percorso dalla traiettoria dell’oggetto. L’oggetto percorre un segmento che possiamo determinare attraverso il teorema di Pitagora nel seguente modo

   

da cui possiamo ricavare la velocità come

   

Supponiamo di spezzettare la traiettoria in pezzettini talmente piccoli da potersi considerare rettilinei, in questa configurazione è facile osservare che la velocità dovrà essere tangente alla traiettoria, per cui le tre velocità saranno rappresentate nel seguente modo

Per quanto riguarda il modulo del vettore non possiamo dire niente di preciso, infatti il modulo della velocità non dipende tanto dalla traiettoria, l’unica cosa espressa in quel grafico, ma piuttosto dal tempo necessario a percorrere la traiettoria.

Prima di procedere con la risoluzione osserviamo esplicitamente che c’è differenza tra il vettore spostamento e lo spazio percorso durante lo spostamento di Mattia, infatti il vettore spostamento è il vettore che “parte” da e “arriva” a , quindi il suo modulo è calcolabile con il teorema di Pitagora facendo

   

Per calcolare la distanza percorsa effettivamente da Mattia bisogna calcolare la lunghezza dei due cateti rossi, se noi disegnassimo la situazione in un piano cartesiano con i quadretti potremmo vedere facilmente che

da cui

   

Nonostante questo se volessimo risolvere l’esercizio correttamente, cioè senza basarci su evidenze grafiche, dovremmo ragionare sul disegno di partenza nel seguente modo

Il triangolo , il triangolo e il triangolo sono congruenti, essendo triangoli rettangoli con tutti gli angoli rispettivamente congruenti e un cateto uguale, pertanto e quindi e , da cui risulta giustificato il conto visto prima per calcolare il tragitto compiuto da Mattia.

Prima di procedere con la soluzione proviamo a modellizzare la situazione dell’esercizio all’interno di un piano cartesiano

In questo modo possiamo calcolare tutto del vettore spostamento, il vettore verde, con osservazioni di tipo geometrico sui triangoli rettangoli. Infatti possiamo capire che angolo forma il vettore spostamento con l’asse utilizzando l’arcotangente e possiamo calcolare il modulo del vettore spostamento con il teorema di Pitagora, ossia

   

Per concludere l’esercizio calcoliamo la velocità media dell’insetto ricordandoci che il concetto di velocità è un concetto vettoriale e il vettore velocità è un vettore che ha stessa direzione del vettore spostamento e (generalmente) stesso verso (in quanto il tempo è una grandezza scalare generalmente positiva) il cui modulo si può calcolare attraverso la formula

   

Prima di procedere con la soluzione proviamo a modellizzare la situazione dell’esercizio all’interno di un piano cartesiano

In questo modo possiamo calcolare tutto del vettore spostamento, il vettore verde, con osservazioni di tipo geometrico sui triangoli rettangoli. Infatti possiamo capire che angolo forma il vettore spostamento con l’asse utilizzando l’arcotangente

   

e possiamo calcolare il modulo del vettore spostamento con il teorema di Pitagora, quindi

   

Per concludere l’esercizio calcoliamo la velocità media del ciclista ricordandoci che il concetto di velocità è un concetto vettoriale e il vettore velocità è un vettore che ha stessa direzione del vettore spostamento e (generalmente) stesso verso (in quanto il tempo è una grandezza scalare generalmente positiva) il cui modulo si può calcolare attraverso la formula