Sappiamo che il moto di un proiettile è un particolare moto in due dimensioni dove lungo l’asse l’oggetto si muove di moto rettilineo uniforme mentre lungo l’asse si muove di moto uniformemente accelerato con accelerazione . Una volta ricordato questo possiamo esplicitare la velocità iniziale di un proiettile che parte formando un angolo tramite la seguente formula

   

inoltre sappiamo anche che la massima altezza si calcola tramite la formula

   

mentre la gittata

   

per cui, mettendo a sistema le nostre informazioni, e sostituendo i due angoli complementari otteniamo

   

   

dove la seconda equazione contiene già l’informazione nota che angoli complementari generano la stessa gittata. da cui

   

   

   

   

   

   

   

Una volta fatto questo, e studiate le due formule di duplicazione

   

   

facendo il rapporto tra le due formule ottenute precedentemente otteniamo

   

   

   

   

Una volta determinato l’angolo con la formula scritta prima possiamo determinare la velocità, infatti

   

Sappiamo che il moto di un proiettile è un particolare moto in due dimensioni dove lungo l’asse l’oggetto si muove di moto rettilineo uniforme mentre lungo l’asse si muove di moto uniformemente accelerato con accelerazione . Una volta osservato questo cerchiamo di capire l’angolo di lancio della palla, sappiamo che la velocità iniziale del lancio possiamo scriverla come

   

da cui

   

Una volta osservato questo osserviamo anche che la velocità è tale che nel tempo di volo il pallone percorre di moto rettilineo uniforme lungo la direzione , mentre la velocità permette al pallone di percorrere di moto uniformemente accelerato con accelerazione lungo la direzione , ossia

   

   

   

   

da cui

   

Una volta determinata la velocità possiamo determinare il tempo di volo usando la formula scritta prima

   

Prima di poter iniziare l’esercizio dobbiamo anche assumere che i due giocatori siano alla stessa altezza, altrimenti l’esercizio non può essere risolto. Una volta assunto questo abbiamo diverse considerazioni che possiamo fare, infatti abbiamo che il tempo è sicuramente il tempo di volo mentre la distanza è la gittata di tale “moto di un proiettile”. Per cui abbiamo che al tempo la palla da baseball si trova nel punto di massima altezza, quindi la sua velocità lungo la direzione verticale è nulla; pertanto utilizzando le formule del moto uniformemente accelerato possiamo scrivere che

   

   

Sappiamo che il moto di un proiettile è un particolare moto in due dimensioni dove lungo l’asse l’oggetto si muove di moto rettilineo uniforme mentre lungo l’asse si muove di moto uniformemente accelerato con accelerazione . Pertanto possiamo determinare il tempo di volo della pallina utilizzando il moto uniformemente accelerato lungo la direzione e in seguito utilizzare tale tempo di volo nel moto rettilineo uniforme lungo la direzione . Prima di procedere con il calcolo osserviamo che la velocità iniziale della pallina lungo l’asse è diretta verso il basso, quindi l’accelerazione e la velocità sono concordi. Una volta osservato questo utilizzando le formule del moto uniformemente accelerato possiamo scrivere

   

   

   

Risolvendo questa equazione di secondo grado troviamo le due soluzioni e delle quali la seconda è la soluzione cercata che ci permette di calcolare lo spostamento orizzontale facendo

   

Sappiamo che il moto di un proiettile è un particolare moto in due dimensioni dove lungo l’asse l’oggetto si muove di moto rettilineo uniforme mentre lungo l’asse si muove di moto uniformemente accelerato con accelerazione . Pertanto per determinare l’altezza massima dobbiamo ragionare esclusivamente sul moto che avviene lungo la direzione e utilizzando le formule del moto uniformemente accelerato possiamo determinare che

   

quindi possiamo determinare la componente della prima velocità

   

Utilizzando l’angolo di lancio determiniamo il modulo della velocità iniziale e poi, tramite la formula della gittata, determiniamo le due gittate

   

da cui

   

Prima di procedere con il calcolo della seconda gittata osserviamo che saranno uguali siccome , comunque il calcolo esplicito è

   

Sappiamo che il moto di un proiettile è un particolare moto in due dimensioni dove lungo l’asse l’oggetto si muove di moto rettilineo uniforme mentre lungo l’asse si muove di moto uniformemente accelerato con accelerazione . Pertanto per determinare l’altezza massima dobbiamo ragionare esclusivamente sul moto che avviene lungo la direzione e utilizzando le formule del moto uniformemente accelerato possiamo determinare che

   

quindi possiamo determinare le due componenti della velocità

   

   

una volta determinate le due componenti determiniamo l’angolo che viene utilizzato nel primo lancio sapendo che

   

   

da cui osserviamo che e viceversa, quindi

   

   

   

Una volta determinato l’angolo di lancio determiniamo il modulo della velocità iniziale e poi, tramite la formula della gittata, determiniamo le due gittate

   

da cui

   

   

Sappiamo che il moto di un proiettile è un particolare moto in due dimensioni dove lungo l’asse l’oggetto si muove di moto rettilineo uniforme mentre lungo l’asse si muove di moto uniformemente accelerato con accelerazione . Pertanto per determinare il tempo di volo ci basta ragionare sul moto che avviene lungo l’asse , infatti abbiamo un oggetto che parte con una velocità iniziale da un’altezza di , soggetto ad una accelerazione e che deve raggiungere l’altezza di . Quindi, usando le formule del moto uniformemente accelerato possiamo scrivere

   

   

   

le due soluzioni di questa equazione di secondo grado rappresentano i due istanti in cui la pallina si trova all’altezza della prua della nave, il primo tempo è durante la fase di salita della pallina, mentre il secondo è durante la fase di discesa e quindi è il nostro tempo cercato. Per determinare la distanza orizzontale percorsa ci concentriamo sul moto rettilineo uniforme che avviene lungo l’asse , per cui

   

Sappiamo che il moto di un proiettile è un particolare moto in due dimensioni dove lungo l’asse l’oggetto si muove di moto rettilineo uniforme mentre lungo l’asse si muove di moto uniformemente accelerato con accelerazione . Pertanto possiamo determinare il tempo di volo utilizzando esclusivamente il moto lungo la direzione , infatti la palla toccherà terra quando la sua coordinata sarà uguale a . Quindi utilizzando le formule del moto uniformemente accelerato possiamo determinare il tempo di volo, ossia

   

   

Risolvendo questa equazione di secondo grado otteniamo le due soluzioni e delle quali la soluzione cercata è la seconda. Osserviamo esplicitamente che la prima soluzione rappresenta il tempo in cui la palla sarebbe stata al livello del suolo “indietro nel tempo” ossia se il moto non fosse partito dalle mani del pallavolista, ma da prima. Una volta determinato il tempo di volo, usando il moto rettilineo uniforme che avviene lungo la direzione , possiamo determinare la lunghezza del lancio, quindi

   

Sappiamo che il moto di un proiettile è un particolare moto in due dimensioni dove lungo l’asse l’oggetto si muove di moto rettilineo uniforme mentre lungo l’asse si muove di moto uniformemente accelerato con accelerazione . La massima altezza che il pallone può raggiungere coincide con il punto in cui la velocità verticale del pallone è uguale a , pertanto con le formule del moto uniformemente accelerato è possibile calcolare tale altezza, infatti

   

Per determinare in quali istanti il pallone si trova a metà dell’altezza massima utilizziamo ancora una volta le formule del moto uniformemente accelerato, quindi

   

   

   

e risolvendo questa equazione di secondo grado troviamo le due soluzioni che sono e .

Sappiamo che il moto di un proiettile è un particolare moto in due dimensioni dove lungo l’asse l’oggetto si muove di moto rettilineo uniforme mentre lungo l’asse si muove di moto uniformemente accelerato con accelerazione . Una volta osservato questo possiamo risolvere l’esercizio in due modi diversi, il primo metodo sfrutta il moto rettilineo uniforme lungo la direzione mentre il secondo metodo sfrutta il moto uniformemente accelerato lungo la direzione . Partiamo con il primo metodo; il sacchetto di sabbia per giungere a destinazione deve percorrere di moto rettilineo uniforme alla velocità di per cui

   

Per il secondo metodo osserviamo che lungo l’asse il sacchetto deve percorrere , infatti parte da e arriva a , in moto uniformemente accelerato di accelerazione e velocità , per cui utilizzando le formule del moto uniformemente accelerato ricaviamo

   

   

   

da cui ricaviamo due soluzioni che sono . Osserviamo che queste due soluzioni rappresentano i due istanti in cui il sacco di sabbia passa all’altezza di .