Sappiamo che quando una misura viene fornita nella forma , dove è la sensibilità dello strumento, valgono le formule:

   

   

Pertanto

   

   

Mentre per Alberto

   

   

La media aritmetica si calcola facendo

   

per cui

   

Sappiamo che una volta fornita la misura nella forma abbiamo che

   

   

da cui semplicemente

   

   

Siccome l’errore del termostato è un errore sistematico tale errore sarà presente nello stesso modo sia nella misurazione di sia in quella di , pertanto l’effettivo aumento di temperatura della stanza è di . Quindi

   

Dove osserviamo esplicitamente che il ha come unità di misura perchè rappresenta quanti grammi di pellet servono per aumentare la temperatura di un grado.
Valutiamo infine la reale temperatura della stanza: siccome il termostato commette un errore sistematico per difetto vorrà dire che la lettura sul termostato sottostima la reale temperatura, perciò la reale temperatura sarà di più alta rispetto a quella letta, ossia

   

Sappiamo che il valore attendibile di una grandezza della quale abbiamo fatto un serie di misurazioni è dato dalla media aritmetica delle misure. Pertanto

   

L’errore assoluto si calcola facendo

   

Per scrivere in maniera corretta il risultato dobbiamo però tenere conto che:

• l’incertezza, cioè l’errore assoluto, deve avere solo una cifra significativa
• l’ultima cifra significativa della misura deve essere posizionata nella stessa posizione della cifra significativa dell’incertezza.
  Pertanto la misura dovrà essere scritta come
  

     

Siccome sappiamo la lunghezza della corsia a Roma e a Firenze risulta abbastanza facile calcolare la lunghezza percorsa, infatti:

   

   

Pertanto

   

Effettivamente, per atleti olimpionici che arrivano tutti nell’ordine dei centesimi di secondo, sono tanti e sarebbero sufficienti a giustificare un record, tuttavia la piscina di Firenze non sarà l’unica ad avere un errore per difetto e a misurare , lo stesso costruttore potrebbe aver costruito anche quella di Brindisi e averla fatta lunga . Ovviamente se noi sapessimo che la piscina di Firenze è l’unica al mondo costruita con un errore per difetto allora è plausibile aspettarsi che tutti i record siano fatti in quella piscina.

Ragioniamo sulla misura e lo stesso discorso sarà applicabile per le misure e . La misura si presenta come

   

Sappiamo che per scrivere le misure e le relative incertezze si utilizzano due regole fondamentali:

• l’incertezza di una misura si arrotonda a una cifra significativa;
• l’ultima cifra significativa della misura deve avere la stessa posizione decimale della cifra significativa dell’incertezza.
  Pertanto la misura non è corretta perchè non verifica nessuna di queste due condizioni. Vediamo ora come potremmo scrivere le prime tre misure in maniera corretta
  

     

  
  

     

  
  

     

  
  Mentre la misura è già scritta nella forma corretta.

Sappiamo che gli errori di misura si dividono in due grandi categorie: errori casuali ed errori sistematici. In questo particolare esercizio il contakilometri sbaglia in maniera sistematica (ossia sempre nello stesso modo) la misurazione; questo perchè se così non fosse dopo una misurazione così grande tutti gli errori casuali tenderebbero ad annullarsi tra di loro (una volta un errore casuale in eccesso e una volta in difetto) per definizione stessa di casualità. Quindi possiamo dire che il tipo di errore presente è un errore sistematico.
Per calcolare in che percentuale la misurazione è sbagliata ci basta fare una proporzione, ossia

   

   

   

Rispondiamo infine all’ultima domanda. In il contakilometri ha commesso un errore di , pertanto

   

Osserviamo che il a denominatore è adimensionale perchè rappresenta quanti ci sono in , ossia è il risultato della divisione .

A livello concettuale l’esercizio è abbastanza facile, infatti noi sicuramente sappiamo sia il valore medio che l’errore assoluto commesso nella misurazione, pertanto possiamo scrivere le seguenti equazioni che devono necessariamente valere entrambe:

   

   

nelle quali, sostituendo i numeri che conosciamo, otteniamo

   

   

Una volta fatto questo dalla seconda equazione è possibile ricavare che pertanto sarà la quarta misura a nostra conoscenza, infatti

   

   

   

   

E una volta sostituito questo valore in otteniamo

   

   

   

Sappiamo che la sensibilità è la variazione minima della grandezza che lo strumento è in grado di apprezzare. In questo esercizio, siccome i valori dello strumento 1 sono espressi fino al primo decimale, risulta evidente che lo strumento 1 è più sensibile perchè in grado di percepire la differenza tra e .
Adesso cerchiamo di capire quale dei due strumenti è più preciso. Sappiamo che il concetto di precisione si basa su due punti fondamentali:

• misurando più volte la stessa grandezza, si deve ottenere praticamente sempre lo stesso risultato (ossia un piccolo errore assoluto);
• i valori forniti dallo strumento devono essere in accordo con quelli misurati con un altro strumento di riferimento, noto come affidabile (cioè una media dei valori vicino al valore vero).
  Una volta ricordato questo notiamo che i risultati ottenuti con l’autovelox sono tutti più vicini al valore noto rispetto a quelli ottenuti con . Inoltre i risultati ottenuti da hanno una maggiore variabilità. Infatti i valori misurati rispettivamente da e hanno errore assoluto pari a:
  

     

  
  

     

  
  Quindi l’autovelox è più preciso.
  Per queste ragioni io utilizzerei il secondo autovelox nella realtà.