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Esercizi di fisica, Misura e errori di misura

Esercizio 34 sulla misura – Esercizi svolti – FISICA

L’altitudine di un monte è $(3542\pm 4)\: m$ . Il campo base di un gruppo di alpinisti si trova a un’altitudine di $(1844\pm 2)\: m$ . Determina il dislivello che devono superare gli alpinisti per raggiungere la cima del monte.

SVOLGIMENTO

Ci troviamo di fronte a una differenza di misure, in questo caso sappiamo che la misura indiretta dovrà essere fornita nel modo seguente

$d=\bar{d}\pm e$

dove $\bar{d}$ è la differenza delle misure, mentre $e$ è la somma degli errori assoluti sulle singole misure. Pertanto

$d=(3542\:m-1844\: m)\pm (4\: m+2\:m)=1698\: m\pm 6\: m$

Osserviamo esplicitamente che l’errore assoluto è del tutto normale che si calcoli con una addizione e non con una sottrazione, infatti l’errore massimo che si può ottenere nello stimare il dislivello si ottiene commettendo un errore di $2\: m$ sulla posizione del campo base, che quindi in realtà si trova a $1842\: m$ , e un errore di $4\: m$ sulla vetta della montagna, che in realtà di trova a $3546\: m$ . In questa situazione è facile vedere che il dislivello, rispetto al valore $1698\: m$ , si trova a una distanza di $6\: m$ .

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Esercizio 33 sulla misura – Esercizi svolti – FISICA

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Elena misura la temperatura della sua stanza con un termometro che ha una sensibilità di $0,1^\circ C$ . La sua misura è affetta da un’incertezza percentuale dello $0,5\:\%$ . Quanto vale la temperatura della stanza di Elena?

SVOLGIMENTO

Sappiamo che in questo caso la misurazione sarà data nella forma

$T=\bar{T}\pm e$

dove l’errore $e$ sarà la sensibilità dello strumento. Pertanto $e=0,1^\circ C$ , a questo punto ricordiamo anche che l’errore percentuale si calcola

$e_\%={e\over \bar{T}}\cdot 100$

da cui

$\bar{T}={e_\%\cdot 100\over e}={0,1^\circ C\cdot 100\over 0,5}=20^\circ C$

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Esercizio 32 sulla misura – Esercizi svolti – FISICA

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Le dimensioni di una stanza rettangolare sono misurate con una rotella metrica che ha una sensibilità di un centimetro. Le misure sono $(5,15\pm 0,01)\: m$ e $(6,47\pm 0,01)\:m$ .
Stima il perimetro della stanza.

SVOLGIMENTO

Sappiamo che il perimetro è la somma della misura dei lati, inoltre sappiamo che una misura dovrà essere fornita con la seguente scrittura

$p=\bar{p}\pm e$

dove $\bar{p}$ è il valore atteso mentre $e$ è l’incertezza sulla misura. Nell’addizione di misure sappiamo che gli errori assoluti vengono sommati, infatti l’errore massimo che si può ottenere sul misura del perimetro si ottiene quando sulle singole misure si ha l’errore massimo, pertanto risulta evidente che se su ogni misura fatta ci fosse un errore di $1\: cm$ sul perimetro ci sarà un errore di $4\: cm$ . In definitiva

$p=(5,15\: m+6,47\: m,+5,15\: m+6,47\: m)\pm 0,04\: m=23,24\: m\pm0,04\: m$

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Esercizio 31 sulla misura – Esercizi svolti – FISICA

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Giulia ha una bilancia con sensibilità $20\: mg$ con la quale ha misurato 5 volte la massa di una moneta ottenendo un’incertezza percentuale dello $0,8\:\%$ . Poi trova un’altra bilancia che ha una sensibilità peggiore della sua, pari a $40\: mg$ , ma decide di testarla comunque ripetendo la misura con la stessa moneta. Ottiene i seguenti valori:

$12,24\: g\:;\: 12.28\:g\:;\: 12,20\:g\:;\: 12,24\:g\:;\: 12,32\: g$

Le conviene sostituire la sua bilancia con quella nuova? Motiva la risposta.

SVOLGIMENTO

A prima vista sembrerebbe migliore la prima bilancia perchè offre una sensibilità migliore. Se andiamo però ad analizzare la misura fatta con la seconda bilancia possiamo notare che il valore dell’errore percentuale, calcolato facendo:

$e_\%={e_a\over \bar{p}}\cdot 100$

dove $\bar{p}$ è la media aritmetica delle misura, è minore nel secondo caso. Questo presumibilmente si traduce in una bilancia più precisa, quindi una bilancia capace di fare misurazioni più vicine al valore reale. Finiamo l’esercizio calcolando effettivamente l’errore percentuale.

$\bar{p}={12,24\: g+12.28\:g+12,20\:g+12,24\:g+12,32\: g\over 5}\approx 12,26\: g$

$e_a={p_{max}-p_{min}\over 2}=0,06\: g$

approssimando il valore atteso ed errore assoluto al numero di cifre significative delle misurazioni. Dopo

$e_\%={0,06\:g\over 12.26\: g}\cdot 100\approx 0,5\:\%$

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Esercizio 30 sulla misura – Esercizi svolti – FISICA

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Alcuni studenti misurano il periodo di un pendolo, cioè il tempo necessario per compiere un’oscillazione completa. Gli studenti utilizzano un cronometro con sensibilità uguale al centesimo di secondo. Le misure ottenute sono

$1,33\:s\:;\:1,35\:s\:;\:1,46\:s\:;\:1,42\:s\:;\:1,40\:s\:;\:1,47\:s\:;\:1,41\:s\:;\:1,39\:s \:;\:1,46\:s \:;\:1,31\:s$

Determina il valore attendibile del periodo del pendolo.
Calcola lo scarto quadratico medio, è un parametro adatto a esprimere l’incertezza della misura?
Stima il periodo del pendolo.

SVOLGIMENTO

Sappiamo che il valore attendibile di una misura altro non è che la media aritmetica delle misurazioni fatte. Pertanto in questo esercizio avremo:

$\bar{p}={(1,33+1,35+1,46+1,42+1,40+1,47+1,41+1,39+1,46+1,31)\:s\over 10}=1,40\:s$

Invece lo scarto quadratico medio, che è anche l’incertezza nel caso in cui il numero di misurazioni sia molto alto, si calcola facendo

$\sigma=\sqrt{{(p_1-\bar{p})^2+\dots+(p_n-\bar{p})^2\over n}}$

Per cui nel nostro esercizio abbiamo

$\sigma=\sqrt{{(1,33\:s-1,40\:s)^2+(1,35\:s-1,40\:s)^2+(1,46\:s-1,42\:s)^2+\over 10}}\dots$

$\dots{+(1,42\:s-1,40\:s)^2+(1,40\:s-1,40\:s)^2+(1,47\:s-1,40\:s)^2+(1,41\:s-1,40\:s)^2+\over 10}\dots$

$\dots{+(1,39\:s-1,40\:s)^2+(1,46\:s-1,40\:s)^2+(1,31\:s-1,40\:s)^2\over 10}\approx 0,05\: s$

Attenzione che anche nella seconda e terza riga della formula c’è la radice quadrata.
Dalla teoria sull’errore statistico sappiamo che quando il numero di misurazione è grande, generalmente sopra il 4/5, è preferibile utilizzare come incertezza lo scarto quadratico medio. Infatti l’errore assoluto considera esclusivamente la misurazione massima e quella minima, che sappiamo essere le meno attendibili perchè statisticamente meno probabili, mentre al contrario lo scarto quadratico medio considera tutte le misure. Una volta sottolineato questo risulta evidente che il metodo corretto per esprimere la misura è

$p=\bar{b}\pm\sigma=1,40\:s\pm0,05\:s$

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Esercizio 29 sulla misura – Esercizi svolti – FISICA

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Una montagna è alta $2150\: m$ . La sua altezza è nota con un’incertezza di $5\: m$ .
Scrivi l’altezza della montagna con la sua incertezza.
Calcola l’incertezza percentuale.
Un alpinista raggiunge la cima e vi pone una pila di sassi alta $0,5\: m$ . Come si modifica la scrittura dell’altezza della montagna?

SVOLGIMENTO

Sappiamo che una misurazione deve essere scritta secondo la scrittura

$h=\bar{h}\pm e$

dove $\bar{h}$ indica il valore attendibile della misura mentre $e$ rappresenta l’incertezza. Pertanto in questo esercizio la scrittura corretta sarà

$h=2150\: m\pm 5\: m$

L’incertezza percentuale invece si calcola a partire dall’incertezza assoluta utilizzando la seguente formula

$e_\%={e\over \bar{h}}\cdot 100={5\: m\over 2150\: m}\cdot 100\approx 0,2\:\%$

Infine ricordiamo che quando scriviamo la misura nella maniera corretta il numero di cifre significative dell’incertezza deve essere uno e che il valore atteso deve avere come ultima cifra significativa la stessa cifra dell’incertezza, quindi quando l’alpinista posiziona una pila di sassi di $0,5\:m$ non fa cambiare la misura della montagna.

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Esercizio 28 sulla misura – Esercizi svolti – FISICA

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In un laboratorio vengono fatte quattro misure del tempo di caduta di un oggetto dalla stessa altezza. I tempi sono misurati con un cronometro che ha una sensibilità di un centesimo di secondo. La tabella riporta i tempi misurati

$0,61\:s\:,\:0,64\:s\:,\:0,71\:s\:,\:0,68\:s$

Determina il valore attendibile del tempo di caduta dell’oggetto.
Calcola lo scarto quadratico medio dei dati, è un parametro attendibile per stimare l’incertezza della misura?

SVOLGIMENTO

Sappiamo che su una serie di misura il valore attendibile altro non è che la media aritmetica dei valori, pertanto

$\bar{t}={0,61\:s+0,64\:s+0,71\:s+0,68\:s\over 4}=0,66\: s$

Per quanto invece riguarda lo scarto quadratico medio ci ricordiamo che la formula generale è

$\sigma=\sqrt{{(t_1-\bar{t})^2+\dots+(t_n-\bar{t})^2\over n}}$

Pertanto

$\sigma=\sqrt{{(0,61\:s-0,66\:s)^2+(0,64\:s-0,66\:s)^2+(0,71\:s-0,66\:s)^2+(0,68\:s-0,66\:s)^2\over 4}}$

$\sigma\approx 0,04\: s$

Dalla teoria sull’errore statistico sappiamo che quando il numero di misurazione è grande, generalmente sopra il 4/5, è preferibile utilizzare come incertezza lo scarto quadratico medio. Infatti l’errore assoluto considera esclusivamente la misurazione massima e quella minima, che sappiamo essere le meno attendibili perchè statisticamente meno probabili, mentre al contrario lo scarto quadratico medio considera tutte le misure.

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Esercizio 27 sulla misura – Esercizi svolti – FISICA

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Una tua amica misura la lunghezza dell’aula e comunica il risultato dicendo: “la lunghezza dell’aula è compresa fra $890$ e $900\; cm$ “.
Qual è l’incertezza associata alla misura?
Quanto vale l’incertezza percentuale?

SVOLGIMENTO

L’incertezza associata alla misura sappiamo essere l’errore. Pertanto in questa misurazione avremo un errore di $5\: cm$ , infatti la misura scritta in maniera corretta è:

$l=895\: cm\pm 5\: cm$

Per quanto invece riguarda l’incertezza percentuale bisogna calcolarla utilizzando la formula (che viene da una proporzione)

$e_\%={e_a\over \bar{l}}\cdot 100={5\:cm\over 895\: cm}\cdot 100\approx 0,6\: \%$

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Esercizio 26 sulla misura – Esercizi svolti – FISICA

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Un oggetto di massa incognita viene posto su diverse bilance con sensibilità $1\: mg$ . I valori ottenuti sono

$12,352\: g\:; 12,353\: g\:; 12,346\: g\:; 12,348\: g\:; 12,347\: g\:; 12,351\: g\:; 12,350\: g\:; 12,347\: g$

Determina il valore attendibile della massa incognita.
Calcola lo scarto quadratico medio dei dati.

SVOLGIMENTO

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Esercizio 25 sulla misura – Esercizi svolti – FISICA

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Misuriamo dieci volte il diametro di un tubo di plexiglas e otteniamo i seguenti valori in cm:

$6,31\:;\:6,33\:;\:6,32\:;\:6,36\:;\:6,33\:;\:6,30\:;\:6,35\:;\:6,32 \:;\:6,34 \:;\:6,33$

La sensibilità dello strumento utilizzato è $0,01\: cm$ .
Calcola il valore medio dei dati e la semidispersione massima ed esprimi correttamente il risultato della misura.

SVOLGIMENTO

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