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Esercizi di fisica, L'equilibrio dei solidi

Esercizio 14 sull’equilibrio dei solidi – Esercizi svolti – Fisica

Un libro che pesa $26,4\: N$ è appoggiato sullo scaffale di una libreria. Un perno dello scaffale cede e il ripiano si inclina di $25^\circ$ . Per tenere in equilibrio il libro serve una forza di $11\: N$ . Il coefficiente d’attrito tra il libro e lo scaffale è $0,51$ . Il libro scivola o rimane in equilibrio?

SVOLGIMENTO

Le forze che agiscono sul libro sono la forza peso e la forza di attrito. Vediamo cosa conosciamo di queste due forze. La forza peso viene scomposta nelle sue componenti parallela al piano inclinato e perpendicolare al piano inclinato, la prima ne provoca lo scivolamento sul piano, mentre la seconda ne determina la forza di attrito. Quindi la forza che farebbe scivolare il libro è:

$F_\parallel=\sin{25^\circ}\cdot F_p=\sin{25^\circ}\cdot 26,4\: N\approx 11\: N$

Notiamo esplicitamente che l’esercizio già ci forniva questo valore. Quindi se la forza di attrito sarà superiore a questo valore possiamo con certezza affermare che il libro non scivolerà

$F_a=F_\bot\cdot \mu=F_p\cdot \cos{25^\circ}\cdot \mu=26,4\: N\cdot \cos{25^\circ}\cdot 0,51\approx 12,2\: N$

quindi il libro non scivolerà.

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Esercizio 13 sull’equilibrio dei solidi – Esercizi svolti – FISICA

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Due operai tirano con delle funi una grossa cassa a terra, nel tentativo di spostarla. Le funi dei due operai sono parallele al terreno e formano un angolo di $90^\circ$ tra di loro e applicano una forza di modulo $120\: N$ ciascuna. Nonostante gli sforzi, la cassa non si muove. Calcola la forza di attrito statico tra la cassa e il terreno.

SVOLGIMENTO

Ovviamente la forza di attrito statico è la forza che contrasta quella applicata da due operai, quindi necessariamente ha stessa direzione, stesso modulo e verso apposto alla somma delle due forze applicate dagli operai. Inoltre, siccome le due forze applicate sulla cassa sono perpendicolari, il modulo della somma lo posso calcolare utilizzando il teorema di Pitagora, per cui:

$F_a=\sqrt{F_1^2+F_2^2}=\sqrt{(120\: N)^2+(120\: N)^2}\approx 169,7 \:N$

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Esercizio 12 sull’equilibrio dei solidi – Esercizi svolti – FISICA

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Per tenere in equilibrio un carrello della spesa su un piano inclinato lungo $4,00\: m$ e alto $0,75\: m$ è necessaria una forza di $92\: N$ . Quale è la massa del carrello?

SVOLGIMENTO

Ancora una volta ci troviamo in uno schema classico dove la forza parallela del carrello viene contrastata da una forza esterna che tiene in equilibrio il tutto. Per completare l’esercizio occorre trovare il seno dell’angolo del piano inclinato. Il piano inclinato in questione forma un triangolo rettangolo dove l’ipotenusa è $4,00\: m$ mentre il cateto opposto all’angolo cercato $\theta$ è lungo $0,75\: m$ , per cui

$\sin{\theta}\cdot 4,00\: m=0,75\:m\Rightarrow \sin{\theta}={0,75\: m\over 4,00\: m}=0,1875$

Per cui da $\sin{\theta}\cdot m\cdot g=F_e$ ricaviamo

$m={F_e\over \sin{\theta}\cdot g}={92\: N\over 0,1875\cdot 9,81\:N/kg}\approx 50\: kg$

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Esercizio 11 sull’equilibrio dei solidi – Esercizi svolti – FISICA

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Lucio tenta di tirare un carretto di $8,4\: kg$ con una forza di $24\: N$ inclinata di $20^\circ$ rispetto alla direzione orizzontale. Il coefficiente di attrito tra il carretto e il terreno è $0,35$ . Riuscirà Lucio a spostare il carretto? Quale è il modulo della forza di attrito?

SVOLGIMENTO

La forza applicata da Lucio non sarà totalmente utilizzata per spostare il carretto in avanti, ma parte di quella forza sarà utilizzata per contrastare la forza peso del carretto. In particolare la forza si può scomporre in due forze, quella parallela al suolo, che sposterà il carretto in avanti, e quella perpendicolare al suolo, che contrasterà la forza peso. In particolare

$F^L_\parallel=\cos{20^\circ}\cdot F^L=\cos{20^\circ}\cdot 24\: N \approx 22,6\: N$

$F^L_\bot=\sin{20^\circ}\cdot F^L=\sin{20^\circ}\cdot 24\: N\approx 8,2\: N$

A questo punto calcoliamo la forza di attrito facendo attenzione che la forza premente del carretto NON è la forza peso in quanto la componente perpendicolare della forza di Lucio annullerà parte di tale forza, per cui

$F^C_\bot=F^C_p-F^L_\bot=8,4\: kg\cdot 9,81\: N/kg -8,2\: N\approx 74,2\: N$

pertanto

$F_a=\mu \cdot F^C_\bot=0,35\cdot 74,2\: N=26\: N$

Quindi Lucio non riuscirà con una forza di circa $23\: N$ a contrastare una forza di attrito di circa $26\: N$ e il carretto non si muoverà.

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Esercizio 10 sull’equilibrio dei solidi – Esercizi svolti – FISICA

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Un’automobile è parcheggiata su una strada in discesa, con il freno a mano tirato. La pendenza della strada è del $10\%$ . La massa dell’automobile è di $840\: kg$ . Quale è il valore della forza di attrito che tiene ferma l’automobile agendo sugli pneumatici?

SVOLGIMENTO

La forza di attrito che tiene in equilibrio la macchina (cioè la tiene ferma) dovrà equilibrare la forza parallela della macchina che tende a farla scendere lungo la discesa, quindi

$F_a=F_\parallel$

l’unico dubbio da risolvere è calcolare l’angolo di inclinazione della strada. Ci ricordiamo che $p=\tan{\theta}$ , dove $\theta$ è l’angolo di inclinazione del piano inclinato, per cui $\theta=\arctan{0,1}\approx 5,7^\circ$ , per cui

$F_a=\sin{5,7^\circ}\cdot 840\: kg\cdot 9,81\: N/kg \approx 820\: N$

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Esercizio 9 sull’equilibrio dei solidi – Esercizi svolti – FISICA

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I due piani inclinati nella figura presentano attrito trascurabile; la massa $M$ vale $200\: g$ . Determina il valore della massa $m$ che garantisce l’equilibrio del sistema in ciascuno dei due casi.

SVOLGIMENTO

Nella prima figura abbiamo che tutta la forza peso del pesetto $m$ contrasta la forza parallela del pesetto $M$ , per cui per avere l’equilibrio abbiamo

$F^m_{p}=F^M_\parallel\Rightarrow m\cdot g=\sin{30^\circ}\cdot M\cdot g$

da cui

$m=\sin{30^\circ}\cdot M=\sin{30^\circ}\cdot 0,200\: kg=0,1\: kg$

Mentre nella seconda immagine non sarà tutta la forza peso del pesetto $m$ a contrastare la componente parallela di $M$ , ma solo la componente parallela, cioè

$F^m_\parallel=F^M_\parallel\Rightarrow \sin{60^\circ}\cdot m\cdot g=\sin{30^\circ}\cdot M\cdot g$

da cui

$m={\sin{30^\circ}\cdot M\over \sin{60^\circ}}={\sin{30^\circ}\cdot 0,200\: kg\over \sin{60^\circ}}\approx 0,115\: kg$

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Esercizio 8 sull’equilibrio dei solidi – Esercizi svolti – FISICA

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Un sasso di massa $0,85\: kg$ si trova in un sentiero di montagna. La pendenza del sentiero è del $17\%$ . Calcola l’intensità della reazione vincolare.

SVOLGIMENTO

Ricordiamo prima di tutto che la pendenza è legata all’angolo di inclinazione $\theta$ nel seguente modo

$p=\tan{\theta}\Rightarrow 0,17=\tan{\theta}$

quindi nel nostro caso $\theta\approx 9,65^\circ$ . Una volta calcolato questo sappiamo che la forza peso sul piano inclinato si scompone nella componente perpendicolare e nella componente parallela e di queste due componenti quella perpendicolare è quella che viene contrastata dalla reazione vincolare del piano, per cui

$F_\bot=F_{vincolare}\Rightarrow F_{vincolare}=\cos{\theta}\cdot m\cdot g=\cos{9,65^\circ}\cdot 0,85\: kg\cdot 9,81\:N/kg\approx 8,2\: N$

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Esercizio 7 sull’equilibrio dei solidi – Esercizi svolti – FISICA

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Una scatola di massa $m=5,0\: kg$ è ferma sopra un ripiano inclinato (la discussione sul piano inclinato la puoi trovare qui). Sulla scatola agisce una forza esterna di modulo $F=42\: N$ parallela al ripiano inclinato. Trascura l’attrito fra la scatola e il ripiano e calcola l’angolo di inclinazione $\theta$ del ripiano.

SVOLGIMENTO

Sulla scatola agiscono due forze, la forza peso e la forza esterna descritta nel testo dell’esercizio. Come sempre la forza che tenderebbe a far cadere la scatola dal ripiano è la forza parallela, ne consegue che la forza esterna equilibra esattamente la forza parallela, da cui

$F_\parallel=F_e\Rightarrow \sin{\theta}\cdot m\cdot g=F_e$

$\sin{\theta}={F_e\over m\cdot g}={42\: N\over 5,0\: kg\cdot 9,81\: N/kg}\approx 0,86 \Rightarrow \theta\approx 59^\circ$

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Esercizio 6 sull’equilibrio dei solidi – Esercizi svolti – FISICA

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Uno scivolo di un parco giochi è alto $1,8\: m$ e lungo $4,5\: m$ . Su di esso si trova un bimbo che ha massa $28\: kg$ . Con quale forza si deve afferrare al bordo dello scivolo per rimanere fermo? Trascuriamo l’attrito del bimbo con lo scivolo.

SVOLGIMENTO

Possiamo considerare il bambino sullo scivolo come un oggetto che si trova su di un piano inclinato. Sappiamo che sul piano inclinato di un angolo $\alpha$ la forza peso si scompone nella forza perpendicolare $F_\bot=\cos{\alpha}\cdot F_p$ , contrastata dalla reazione vincolare del piano, e nella forza parallela $F_\parallel=\sin{\alpha}\cdot F_p$ che è la forza che fa scendere l’oggetto sul piano inclinato. Detto questo risulta evidente che il bambino per stare fermo deve contrastare solo la forza parallela, quindi il modulo della forza che deve applicare sarà quello della forza parallela. Ricordiamo anche come matematicamente si può determinare il seno dell’angolo $\alpha$ . Il piano inclinato forma un triangolo rettangolo di ipotenusa $4,5\: m$ e cateto $1,8\: m$ , per cui

$\sin{\alpha}\cdot 4,5\: m=1,8\: m\Rightarrow \sin{\alpha}={1,8\: m\over 4,5\: m}=0,4$

Detto questo

$F_{bambino}=\sin{\alpha}\cdot F_p=0,4\cdot 28\: kg\cdot 9,81 \:N/kg\approx 110\: N$

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Esercizio 5 sull’equilibrio dei solidi – Esercizi svolti – FISICA

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Un asciugamano bagnato di massa $3,0\: kg$ , è steso al centro di uno stendibiancheria. La tensione del filo è $140\: N$ . Di quale angolo rispetto all’orizzontale sono inclinate le due parti del filo ai lati dell’asciugamano?

SVOLGIMENTO

La tensione del filo è la forza che il filo esercita sull’asciugamano, quindi in questo particolare esercizio le due tensioni, quella che viene esercitata ai due estremi dell’asciugamano dal filo, contrastano esattamente la forza peso e l’asciugamano pertanto è in equilibrio. Quindi

$\vec{T}_1+\vec{T}_2+\vec{F}_p=0$

da cui

$\vec{F}_p=-\vec{T}_1-\vec{T}_2$

Consideriamo prima direzione e verso di tali vettori, se vogliamo che la somma delle tensioni annulli la forza peso necessariamente gli angoli formati dal filo a destra e sinistra devono essere uguali (chiamiamo tali angoli $\alpha$ ), inoltre a livello di moduli dobbiamo avere

$\sin{\alpha}\cdot T_1+\sin{\alpha}\cdot T_2=m\cdot g$

dove osserviamo esplicitamente che $\sin{\alpha}\cdot T_1$ è la componente verticale della tensione mentre le componenti orizzontali si annullano tra di loro, allora

$\sin{\alpha}\cdot 140\: N+\sin{\alpha}\cdot 140\: N=3,0\: kg\cdot 9,81\:N/kg\Rightarrow \sin{\alpha}={3,0\: kg\cdot 9,81\:N/kg\over 2\cdot 140\: N}$

$\sin{\alpha}\approx 0,11 \Rightarrow \alpha\approx 6^\circ$

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