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Esercizi di fisica, L'equilibrio dei solidi

Esercizio 24 sull’equilibrio dei solidi – Esercizi svolti – FISICA

Una coppia di forze, ognuna del valore di $50,0\: N$ , è applicata agli estremi di un’asta lunga $80,0 \: cm$ , vincolata nel centro. Calcola il valore del momento della coppia di forze.

SVOLGIMENTO

Per calcolare il momento di una coppia di forze possiamo calcolare il momento delle singole forze e poi sommarli, facendo attenzione che i momenti delle forze sono vettori e quindi per calcolarne la risultante bisogna fare attenzione al verso del vettore. Per capire il verso dei due momenti si possono usare varie tecniche, la prima è la regola della mano destra, un’altra potrebbe essere pensare alla rotazione che una singola forza causerebbe all’asta, con entrambe queste tecniche si vede che i due momenti sono concordi, inoltre hanno anche uguale modulo perchè i due angoli sono congruenti e le due forze hanno lo stesso modulo, pertanto

$M_{tot}=2\cdot M=2\cdot F\cdot b\cdot \sin{\alpha}=2\cdot 50,0\: N\cdot 0,4\: m \cdot \sin{60^\circ}\approx 34,6\: N\cdot m$

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Esercizio 23 sull’equilibrio dei solidi – Esercizi svolti – FISICA

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Un corpo rigido subisce l’azione di due forze, come mostrato nella figura. Il modulo della forza $\vec{F}_1$ è $20\: N$ , le distanze $d_1$ e $d_2$ hanno valori uguali rispettivamente a $90\: cm$ e $20\: cm$ . Calcola la forze $\vec{F}_2$ e la risultate $\vec{F}_{tot}$ .

SVOLGIMENTO

Abbiamo due forze parallele applicate in due punti diversi di un corpo rigido, e nel dettaglio abbiamo due forze discordi. Sappiamo allora che la forza risultate è una forza applicata in un punto esterno al segmento che unisce $\vec{F}_1$ e $\vec{F}_2$ , dal lato della forza di modulo maggiore. Il modulo è uguale alla sottrazione dei moduli e la direzione e il verso è uguale a quello della forza di modulo maggiore. Inoltre vale la relazione

${d_1\over d_2}={F_2\over F_1}\Rightarrow F_2={d_1\cdot F_1\over d_2}=90\: N$

da cui segue immediatamente che

$F_{tot}=\vec{F}_2-\vec{F}_1=70\: N$

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Esercizio 22 sull’equilibrio dei solidi – Esercizi svolti – FISICA

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Agli estremi di una sbarra sono applicate due forze uguali e opposte, di intensità pari a $65\: N$ . Il momento della coppia applicata dalle due forze sulla sbarra vale $50\: N\cdot m$ . Quanto è lunga la sbarra?

SVOLGIMENTO

Il momento di una coppia di forze è dato dalla somma dei momenti delle forze rispetto al punto medio tra i loro punti di applicazione ed è uguale al prodotto del modulo $F$ delle forze per la distanza $d$ tra le rette d’azione delle due forze. In questo semplice esercizio la distanza $d$ è esattamente la lunghezza della sbarra richiesta, pertanto

$M=d\cdot F\Rightarrow d= {M\over F}= {50\: N\cdot m\over 65\: N}\approx 0,77\: m$

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Esercizio 21 sull’equilibrio dei solidi – Esercizi svolti – FISICA

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Nell’atrio di un teatro un lampadario di $32\: kg$ è tenuto a $1,5\: m$ dal tetto per mezzo di tre cavi identici di lunghezza $2,0\: m$ , come mostrato in figura. Calcola la tensione dei cavi.

SVOLGIMENTO

Se il lampadario è in equilibrio significa che le tensioni dei tre fili bilanciano esattamente la forza peso del lampadario, e quindi la somma delle tre componenti perpendicolari delle tre tensioni deve essere in modulo esattamente uguale alla forza peso. Osserviamo anche esplicitamente che la componente parallela delle tre forze di tensione necessariamente si devono annullare tra di loro. In definitiva:

$T_\bot^1+T_\bot^2+T_\bot^3=F_p$

e siccome le tre tensioni devono essere tutte e tre di modulo uguale a $T$ e che $\cos{\theta}={1,5\over2}$ ne segue che

$3\cdot T_\bot=F_p\Rightarrow 3\cdot T\cdot \cos{\theta}=m\cdot g$

$T={32\: kg\cdot 9,81\: N/kg \over 3\cdot {1,5\over2}}\approx 140\: N$

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Esercizio 20 sull’equilibrio dei solidi – Esercizi svolti – FISICA

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Un’asta lunga $120\: cm$ è fatta ruotare intorno a uno dei suoi estremi per mezzo di una forza di intensità pari a $25\: N$ , applicata all’altro estremo e perpendicolare all’asta. Quanto vale il momento della forza applicata rispetto al punto intorno al quale avviene la rotazione?

SVOLGIMENTO

Ricordiamo esplicitamente che il momento di una forza viene definito come

$\vec{M}=\vec{F} \times \vec{r}$

pertanto, siccome l’angolo tra il vettore $\vec{r}$ e la forza $\vec{F}$ è un angolo retto, risulta chiaro che la formula per ottenere il modulo del momento diventa semplicemente

$M=F\cdot r=25\: N\cdot 1,20\: m=30\: N\cdot m$

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Esercizio 19 sull’equilibrio dei solidi – Esercizi svolti – FISICA

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Una sbarra di ferro di $360\: kg$ è sostenuta alle sue estremità da due cavi come mostra la figura. Quale è la tensione in ogni cavo?

SVOLGIMENTO

La tensione del filo è la forza che il filo esercita alla sua estremità e che viene “trasmessa” lungo tutto il filo. In sostanza quindi le due forze di tensione applicate ai due estremi della sbarra di ferro contrastano totalmente la forza peso della sbarra, in più la direzione e il verso delle due forze sono determinate dal filo stesso. Pertanto

$\vec{F}_p=\vec{F}^1+\vec{F}^2$

e siccome le componenti parallele delle due forze di tensione si devono annullare ne segue che

$F_p=F_\bot^1+F_\bot^2\Rightarrow m\cdot g=2\cdot\sin{45^\circ}\cdot T$

dove ripetiamo esplicitamente che le due tensioni devono avere lo stesso modulo siccome gli angoli formati dalle due funi sono congruenti. Per concludere

$T={m\cdot g\over 2\cdot\sin{45^\circ}}={360\: kg\cdot 9,81\:N/kg\over 2\cdot\sin{45^\circ}}\approx 2497\: N$

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Esercizio 18 sull’equilibrio dei solidi – Esercizi svolti – FISICA

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Durante un’escursione in campagna , Silvia si è procurata una distorsione a una caviglia. Per non farla camminare, Marco e Gianni la trasportano seduta su un’asse, che ognuno impugna a una estremità. Silvia è seduta a $50\: cm$ da Marco e Gianni tiene l’altra estremità. L’asse è lunga $1,5\: m$ e, rispetto a Silvia, ha massa trascurabile. Quale ragazzo esercita una forza maggiore? Quanto vale il rapporto tra le due forze esercitate da Marco e Gianni?

SVOLGIMENTO

Le tre forze che agiscono sull’asse sono: la forza peso di Silvia, applicata a $50\: cm$ da Marco, la forza di Marco e la forza di Gianni, applicate alle due estremità dell’asse. Siccome l’asse è in equilibrio vuol dire che le due forze di Marco e Gianni contrastano la forza peso di Silvia, quindi la risultante delle due forze dovrà avere stessa direzione, stesso modulo e verso opposto alla forza peso. In particolare sappiamo esattamente il punto di applicazione della forza risultante. Per concludere la risoluzione ci basta ricordare che vale la relazione

${d_1\over d_2}={F_2\over F_1}$

dove $d_1$ è la distanza tra il punto di applicazione di $\vec{F}_1$ e il punto di applicazione di $\vec{F}_1+\vec{F}_2$ e $d_2$ lo stesso per $\vec{F}_2$ , ne segue che

${F_2\over F_1}={d_1\over d_2}={0,5\:m\over 1\: m}=0,5$

Quindi Marco esercita il doppio della forza di Gianni.

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Esercizio 17 sull’equilibrio dei solidi – Esercizi svolti – FISICA

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Una cassa è ferma in equilibrio su un piano inclinato. Il coefficiente di attrito statico fra la cassa e il piano è $\mu_s=0,80$ . L’angolo $\theta$ che il piano inclinato forma con l’orizzontale è il minimo per il quale il corpo scivola. Calcola l’angolo $\theta$ .

SVOLGIMENTO

L’angolo $\theta$ è l’angolo per cui la componente parallela della forza peso è esattamente uguale alla massima forza di attrito ottenibile, pertanto

$F_\parallel=F_a$

da cui, ricordando che $F_\parallel=\sin{\theta}\cdot m\cdot g$ e $F_a=F_\bot\cdot \mu_s=\cos{\theta}\cdot m\cdot g\cdot \mu_s$ , si ottiene

$\sin{\theta}=\cos{\theta}\cdot \mu_s\Rightarrow {\sin{\theta}\over \cos{\theta}}=\mu_s\Rightarrow \theta=\arctan{\mu_s}\approx 38,7^\circ$

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Esercizio 16 sull’equilibrio dei solidi – Esercizi svolti – FISICA

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Sara e Anna vogliono tirar fuori un secchio di massa $15\: kg$ da un pozzo poco profondo. Al manico del secchio sono legate due funi e ognuna delle due ragazze ne tiene in mano un capo. Tirano le funi con una forza di $57\: N$ ciascuna e le funi formano con la verticale un angolo di $45^\circ$ . Complessivamente che forza esercitano Sara e Anna sul secchio? Riescono a estrarlo?

SVOLGIMENTO

Sul secchio complessivamente agiscono tre forze: la forza peso che tenderebbe a far precipitare il secchio e le forze di Sara e Anna che tenderebbero a sollevare il secchio. Inoltre le due forze esercitate dalle ragazze sono tra loro perpendicolari e la loro somma è sulla stessa direzione della forza peso. Per cui possiamo innanzitutto calcolare il modulo della forza risultante utilizzando il teorema di Pitagora, per cui

$F_r=\sqrt{F_S^2+F_A^2}=\sqrt{(57\: N)^2+(57\: N)^2}\approx 80,6\: N$

Inoltre, per via delle considerazione geometriche che abbiamo già fatto, se questa dovesse risultare maggiore della forza peso del secchio allora Sara e Anna riusciranno ad estrarre il secchio.

$F_p=m\cdot g=15\: kg\cdot 9,81\: N/kg\approx 147\: N$

quindi non riescono assolutamente a sollevare il secchio.

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Esercizio 15 sull’equilibrio dei solidi – Esercizi svolti – FISICA

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Un operaio sta lavorando su un tetto inclinato di $36^\circ$ rispetto all’orizzontale. Riesce a non scivolare grazie all’attrito statico fra le sue scarpe e il tetto. Il valore massimo della forza di attrito statico è $390\: N$ . Calcola la massa dell’operaio.

SVOLGIMENTO

Noi possiamo facilmente calcolare la massa massima che l’operaio può avere, infatti la massa deve essere tale che la componente parallela della forza peso sia inferiore alla forza di attrito, cioè

$F_\parallel < F_a\Rightarrow m\cdot g\cdot \sin{36^\circ}<390\: N$

da cui

$m < {390\: N\over 9,81\: N/kg \cdot \sin{36^\circ}} \approx 67,6\: kg$

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